مشغل هيك

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 35 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وخاصة في نظرية الأشكال النمطية ، فإن عامل هيك ، الذي درسه إريك هيك ( 1937 أ، 1937 ب ) ، هو نوع معين من عامل "المتوسط" الذي يلعب دورًا مهمًا في بنية فضاءات المتجهات للأشكال النمطية والتمثيلات الذاتية الأكثر عمومية . 

الوصف الرياضي

يمكن تطبيق معاملات هيك في عدد من السياقات. أبسط معانيها هو المعنى التوافقي، أي أخذ عدد صحيح معين.ن{\displaystyle n}بعض الوظائفو(Λ){\textstyle f(\Lambda )}معرفة على الشبكات ذات الرتبة الثابتة إلى

∑و(Λ′){\displaystyle \sum f(\Lambda ')}

مع احتساب المجموع على جميعΛ′{\textstyle \Lambda '}وهي مجموعات فرعية منΛ{\textstyle \Lambda }فهرسن{\displaystyle n}على سبيل المثال، معن=2{\textstyle n=2}وفي بعدين، هناك ثلاثة من هذا القبيلΛ′{\textstyle \Lambda '}الأشكال النمطية هي أنواع خاصة من الدوال للشبكة، تخضع لشروط تجعلها دوال تحليلية ومتجانسة فيما يتعلق بالتماثلات ، بالإضافة إلى النمو المعتدل عند اللانهاية؛ يتم الحفاظ على هذه الشروط عن طريق الجمع، وبالتالي فإن عوامل هيك تحافظ على فضاء الأشكال النمطية ذات الوزن المعطى .

هناك طريقة أخرى للتعبير عن مؤثرات هيك وهي باستخدام المجموعات المشاركة المزدوجة في المجموعة النمطية . في المنهج الأديلي المعاصر ، يُترجم هذا إلى مجموعات مشاركة مزدوجة بالنسبة لبعض المجموعات الفرعية المدمجة.

الصيغة الصريحة

يتركمم{\textstyle M_{m}}لتكن مجموعة2×2{\textstyle 2\times 2}المصفوفات التكاملية ذات المحددم{\displaystyle m}وΓ=م1{\textstyle \Gamma =M_{1}}كن المجموعة المعيارية الكاملةSL2(Z){\textstyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}. بالنظر إلى شكل نمطيو(z){\textstyle f(z)}وزنك{\displaystyle k}، الم{\displaystyle m}يعمل عامل هيك وفقًا للصيغة

تيمو(z)=مك-1∑(أبجد)∈Γ∖مم(جz+د)-كو(أz+بجz+د)،{\displaystyle T_{m}f(z)=m^{k-1}\sum _{\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma \backslash M_{m}}(cz+d)^{-k}f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right),}

أينz{\textstyle z}يقع في النصف العلوي من المستوى وثابت التطبيعمك-1{\textstyle m^{k-1}}يضمن ذلك أن صورة شكل ذي معاملات فورييه صحيحة لها معاملات فورييه صحيحة. ويمكن إعادة كتابة ذلك بالشكل التالي

تيمو(z)=مك-1∑أد=مأ،د>01دك∑ب(تعديلد)و(أz+بد)،{\displaystyle T_{m}f(z)=m^{k-1}\sum _{\begin{smallmatrix}ad=m\\a,d>0\end{smallmatrix}}{\frac {1}{d^{k}}}\sum _{b{\pmod {d}}}f\left({\frac {az+b}{d}}\right),}

مما يؤدي إلى صيغة معاملات فورييه لـتيم(و(z))=∑ب(ن)qن{\textstyle T_{m}(f(z))=\sum b(n)q^{n}}بدلالة معاملات فورييه لـو(z)=∑أ(ن)qن{\textstyle f(z)=\sum a(n)q^{n}}:

ب(ن)=∑د|(م،ن)دك-1أ(مند2).{\displaystyle b(n)=\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right).}

يمكن للمرء أن يرى من هذه الصيغة الصريحة أن مؤثرات هيك ذات المؤشرات المختلفة تتبادل، وأنه إذاأ(0)=0{\textstyle a(0)=0}ثمب(0)=0b(0)=0}، لذا فإن الفضاء الجزئيSك{\textstyle S_{k}}من أشكال الوزن ذات الحدينك{\displaystyle k}يتم الحفاظ عليها بواسطة عوامل هيك. إذا كان شكل الحدبة (غير الصفري)و{\displaystyle f}هو نموذج متزامن لجميع مشغلي Heckeتيم{\textstyle T_{m}}مع القيم الذاتيةλم{\textstyle \lambda _{m}}ثمأ(م)=λمأ(1){\textstyle a(m)=\lambda _{m}a(1)}وأ(1)≠1{\textstyle a(1)\neq 1}. يتم تطبيع الأشكال الذاتية Hecke بحيثأ(1)=0{\textstyle a(1)=0}، ثم

تيمو=أ(م)و،أ(م)أ(ن)=∑د|(م،ن)دك-1أ(مند2)،م،ن≥1.{\displaystyle T_{m}f=a(m)f,\quad a(m)a(n)=\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right),\quad m,n\geq 1.}

وبالتالي بالنسبة للأشكال الذاتية المعيارية ذات الحدين لهيك ذات الوزن الصحيح، فإن معاملات فورييه الخاصة بها تتطابق مع قيمها الذاتية لهيك.

تاريخ

استخدم مورديل ( 1917 ) مؤثرات هيك على الأشكال النمطية في بحثٍ حول الشكل الحدبي الخاص لرامانوجان ، قبل النظرية العامة التي قدمها هيك ( 1937أ، 1937ب ) . أثبت مورديل علاقات هيك لدالة تاو لرامانوجان ، مما يعني أنها دالة ضربية ، وهي خاصية افترضها رامانوجان. تعود الفكرة إلى أعمال سابقة لأدولف هورويتز ، الذي تناول التطابقات الجبرية بين المنحنيات النمطية التي تُجسد بعض مؤثرات هيك الفردية.  

جبر هيك

تُسمى جبريات مؤثرات هيك "جبريات هيك"، وهي حلقات تبديلية . في نظرية الأشكال النمطية الإهليلجية الكلاسيكية ، مؤثرات هيكتين{\textstyle T_{n}}معن{\textstyle n}تكون الأعداد الأولية نسبيًا للمستوى المؤثر على فضاء الأشكال الحدية ذات الوزن المحدد مترافقة ذاتيًا بالنسبة للجداء الداخلي لبيترسون . لذلك، تشير نظرية الطيف إلى وجود أساس من الأشكال النمطية التي تمثل دوالًا ذاتية لمؤثرات هيك هذه. يمتلك كل شكل من هذه الأشكال الأساسية جداء أويلر . وبشكل أدق، فإن تحويل ميلين الخاص به هو متسلسلة ديريشليه التي لها جداءات أويلر مع العامل المحلي لكل عدد أولي.ص{\textstyle p}هو معكوس متعددة حدود هيك ، وهي متعددة حدود تربيعية فيص-s{\textstyle p^{-s}}في الحالة التي تناولها مورديل، يكون فضاء الأشكال الحدية ذات الوزن 12 بالنسبة للمجموعة النمطية الكاملة أحادي البعد. ويترتب على ذلك أن شكل رامانوجان له جداء أويلر، مما يثبت خاصية الضرب لدالة تاو الخاصة برامانوجان.τ(ن){\textstyle \tau (n)}.

تُسمى الحلقات الرياضية الأخرى ذات الصلة أيضًا "جبر هيك"، على الرغم من أن الصلة بمؤثرات هيك قد لا تكون واضحة تمامًا في بعض الأحيان. تشمل هذه الجبريات بعض نواتج قسمة جبريات مجموعات الجدائل . يلعب وجود جبر المؤثرات التبادلية هذا دورًا هامًا في التحليل التوافقي للأشكال النمطية وتعميماتها.

انظر أيضاً

مراجع