شكل الحدبة

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الأعداد ، يُعد شكل الذروة نوعًا خاصًا من الأشكال النمطية ذات معامل ثابت صفري في توسيع متسلسلة فورييه الخاصة بها .

مقدمة

يتم تمييز شكل الذروة في حالة الأشكال النمطية للمجموعة النمطية من خلال تلاشي المعامل الثابت a 0 في توسيع متسلسلة فورييه (انظر توسيع q ).

∑أنqن.{\displaystyle \sum a_{n}q^{n}.}

يوجد هذا التوسع الفورييه نتيجة لوجود تأثير المجموعة النمطية على النصف العلوي من المستوى عبر التحويل

z↦z+1.{\displaystyle z\mapsto z+1.}

بالنسبة للمجموعات الأخرى، قد يكون هناك انتقال عبر عدة وحدات، وفي هذه الحالة يكون توسيع فورييه بدلالة مُعامل مختلف. مع ذلك، في جميع الحالات، تكون النهاية عندما q → 0 هي النهاية في النصف العلوي من المستوى عندما يكون الجزء التخيلي من z → ∞. بأخذ خارج القسمة على المجموعة النمطية، تُقابل هذه النهاية نقطة انعطاف لمنحنى نمطي (بمعنى نقطة مُضافة للتكثيف ). لذا، يُختزل التعريف إلى القول بأن شكل نقطة الانعطاف هو شكل نمطي يتلاشى عند نقطة الانعطاف. في حالة المجموعات الأخرى، قد يكون هناك عدة نقاط انعطاف، ويصبح التعريف شكلاً نمطياً يتلاشى عند جميع نقاط الانعطاف. قد يتضمن هذا عدة توسيعات.

الأبعاد

يمكن حساب أبعاد فضاءات الأشكال الحدية، من حيث المبدأ، باستخدام نظرية ريمان-روخ . على سبيل المثال، تنشأ دالة تاو رامانوجان τ ( n ) كمتتالية معاملات فورييه للشكل الحدي ذي الوزن 12 للمجموعة النمطية، حيث a = 1. فضاء هذه الأشكال له بُعد 1، مما يعني أن هذا التعريف ممكن؛ وهذا يفسر تأثير مؤثرات هيك على الفضاء عن طريق الضرب القياسي (برهان مورديل لهويات رامانوجان). وبالتحديد، هو المميز النمطي.   

Δ(z،q)،{\displaystyle \Delta (z,q),}

والتي تمثل (حتى ثابت التوحيد ) مميز التكعيب على الجانب الأيمن من معادلة فايرشتراس لمنحنى إهليلجي ؛ والقوة الرابعة والعشرون لدالة ديديكيند إيتا . معاملات فورييه هنا مكتوبة τ(ن){\displaystyle \tau (n)} وتسمى " دالة تاو رامانوجان "، مع التطبيع τ (1) = 1.

المنتج الداخلي لبيترسون

إن حقيقة أن أشكال الذروة تتلاشى عند الذروة، بدلاً من أن تكون هولومورفية هناك كما هو الحال مع الأشكال النمطية الأكثر عمومية ، تعني وجود جداء داخلي ثابت على أشكال الذروة ذات الوزنك{\displaystyle k}، مقدمة من ⟨و،ز⟩ك=∫Γ∖حو(z)ز(z)¯yكدxدyy2.{\displaystyle \langle f,g\rangle _{k}=\int _{\Gamma \setminus {\mathcal {H}}}f(z){\overline {g(z)}}y^{k}{\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.} إن خاصية الحدية هي ما يلزم لجعل هذا التكامل محدودًا.

وبشكل أعم، يظل التكامل محدودًا إذاو{\displaystyle f}هو شكل ذو قمة مدببة وز{\displaystyle g}هو شكل معياري، وكلاهما من حيث الوزنك{\displaystyle k}فيما يتعلق بهذا المنتج الداخلي، يوجد تحليل متعامد مك(Γ)=هـك(Γ)⊕Sك(Γ){\displaystyle M_{k}(\Gamma )=E_{k}(\Gamma )\oplus S_{k}(\Gamma )} أينمك(Γ){\displaystyle M_{k}(\Gamma )}هو فضاء الأشكال المعيارية،Sك(Γ){\displaystyle S_{k}(\Gamma )}مساحة الأشكال المدببة، وهـك(Γ){\displaystyle E_{k}(\Gamma )}هو فضاء سلسلة أيزنشتاين ، وكلها ذات وزنك{\displaystyle k}.

في سياق أوسع للأشكال التلقائية ، تُكمّل الأشكال الحدّية متسلسلات أيزنشتاين ، ضمن تمييز الطيف المتقطع / الطيف المتصل ، أو تمثيل المتسلسلات المتقطعة / التمثيل المُستحث ، وهو تمييز شائع في أجزاء مختلفة من نظرية الأطياف . أي أن متسلسلات أيزنشتاين يُمكن "تصميمها" لتأخذ قيمًا مُحددة عند النقاط الحدّية. توجد نظرية عامة واسعة، تعتمد على نظرية معقدة للغاية للمجموعات الجزئية المكافئة، والتمثيلات الحدّية المُقابلة لها .

يعتبرP=ميو{\displaystyle P=MU}مجموعة فرعية مكافئة قياسية من مجموعة اختزاليةجي{\displaystyle G}(زيادةأ{\displaystyle \mathbb {A} }، حلقة أديل )، شكل ذاتيϕ{\displaystyle \phi }علىيو(أ)م(ك)∖جي{\displaystyle U(\mathbb {A} )M(k)\backslash G}يُطلق عليه اسم "مدبب" إذا كان لجميع المجموعات الفرعية المكافئةP′{\displaystyle P'}بحيثP0⊂P′⊊P{\displaystyle P_{0}\subset P'\subsetneq P}لديناϕP′=0{\displaystyle \phi _{P'}=0}، أينP0{\displaystyle P_{0}}هي المجموعة الفرعية المكافئة الدنيا القياسية.ϕP{\displaystyle \phi _{P}}لP=ميو{\displaystyle P=MU}يُعرَّف بأنهϕP(ز)=∫يو(ك)∖يو(أ)ϕ(uز)دu{\displaystyle \phi _{P}(g)=\int _{U(k)\backslash U(\mathbb {A} )}\phi (ug)du}.

مراجع