التقريب الديوفانتي

العدد الذي يصعب تقريبه هو عدد x الذي يوجد له ثابت موجب c بحيث يكون لدينا لكل عدد نسبي p / q

${\displaystyle \left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .}$

الأعداد التي يصعب تقريبها هي تحديداً تلك التي لها نواتج قسمة جزئية محدودة . ^{[ 6 ]}

وبصورة مكافئة، يكون العدد قابلاً للتقريب بشكل سيئ إذا وفقط إذا كان ثابت ماركوف الخاص به محدودًا أو بصورة مكافئة يكون كسره المستمر البسيط محدودًا.

عدد نسبي${\textstyle \alpha ={\frac {a}{b}}}$يمكن تقريبها بشكل واضح ومثالي بواسطة${\textstyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {i\,a}{i\,b}}}$لكل عدد صحيح موجب i .

لو${\textstyle {\frac {p}{q}}\not =\alpha ={\frac {a}{b}}\,,}$لدينا

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}},}$

لأن${\displaystyle |aq-bp|}$هو عدد صحيح موجب وبالتالي فهو ليس أقل من 1. وبالتالي فإن دقة التقريب سيئة مقارنة بالأعداد غير النسبية (انظر الأقسام التالية).

تجدر الإشارة إلى أن البرهان السابق يستخدم صيغة معدلة من مبدأ خانة الحمام : العدد الصحيح غير السالب الذي لا يساوي صفرًا ليس أصغر من 1. هذه الملاحظة التي تبدو تافهة تستخدم في كل برهان تقريبًا للحدود الدنيا للتقريبات الديوفانتية، حتى أكثرها تعقيدًا.

باختصار، يمكن تقريب العدد النسبي بشكل مثالي بواسطة نفسه، ولكن يمكن تقريبه بشكل سيئ بواسطة أي عدد نسبي آخر.

في أربعينيات القرن التاسع عشر، حصل جوزيف ليوفيل على أول حد أدنى لتقريب الأعداد الجبرية : إذا كان x عددًا جبريًا غير نسبي من الدرجة n على مجموعة الأعداد النسبية، فإنه يوجد ثابت c ( x ) > 0 بحيث

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}}$

ينطبق هذا على جميع الأعداد الصحيحة p و q حيث q > 0 .

وقد مكّنته هذه النتيجة من إنتاج أول مثال مثبت لعدد متسامٍ، وهو ثابت ليوفيل.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots \,,}$

وهو ما لا يحقق نظرية ليوفيل، بغض النظر عن الدرجة n المختارة.

لا تزال هذه الصلة بين التقريبات الديوفانتية ونظرية الأعداد المتسامية قائمة حتى يومنا هذا. وتتشارك العديد من أساليب البرهان بين المجالين.

على مدى أكثر من قرن، بُذلت جهودٌ حثيثة لتحسين نظرية ليوفيل: فكل تحسين للحدّ يمكّننا من إثبات أن المزيد من الأعداد متسامية. تعود التحسينات الرئيسية إلى أكسل ثو ( 1909 ) ، وسيجل ( 1921 ) ، وفريمان دايسون ( 1947 ) ، وكلاوس روث ( 1955 ) ، مما أدى في النهاية إلى نظرية ثو-سيجل-روث: إذا كان x عددًا جبريًا غير نسبي و ε > 0 ، فإنه يوجد عدد حقيقي موجب c ( x , ε ) بحيث    

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}}$

ينطبق هذا على كل عدد صحيح p و q بحيث يكون q > 0 .

بمعنى ما، هذه النتيجة مثالية، لأن النظرية ستكون خاطئة مع ε  =  0. هذه نتيجة مباشرة للحدود العليا الموضحة أدناه.

لاحقًا، عمّم فولفغانغ م. شميدت _{هذا ليشمل حالة التقريبات المتزامنة، مُثبتًا أنه: إذا كانت x₁, ..., xₙ أعدادًا} جبرية _بحيث تكون x₁ , ... , xₙ مستقلة خطيًا على الأعداد النسبية، و ε أي عدد حقيقي موجب مُعطى، فإنه يوجد عدد محدود فقط من المجموعات النسبية n _- tuples ( p₁ / q _, ... , pₙ / _q ) بحيث

${\displaystyle \left|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.}$

مرة أخرى، هذه النتيجة مثالية بمعنى أنه لا يمكن إزالة ε من الأس.

جميع الحدود الدنيا السابقة غير فعّالة ، بمعنى أن البراهين لا تُقدّم أي طريقة لحساب الثابت المُضمّن في العبارات. هذا يعني أنه لا يُمكن استخدام النتائج أو براهينها للحصول على حدود لحجم حلول المعادلات الديوفانتية ذات الصلة. مع ذلك، يُمكن في كثير من الأحيان استخدام هذه التقنيات والنتائج لتقييد عدد حلول هذه المعادلات.

مع ذلك، فإن تحسينًا لنظرية بيكر من قِبل فيلدمان يُقدّم حدًا فعالًا: إذا كان x عددًا جبريًا من الدرجة n على الأعداد النسبية، فإنه توجد ثوابت قابلة للحساب بشكل فعال c ( x )  >  0 و 0  < d ( x ) < n بحيث   

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)}}}}$

ينطبق هذا على جميع الأعداد الصحيحة النسبية.

ومع ذلك، كما هو الحال بالنسبة لكل نسخة فعالة من نظرية بيكر، فإن الثوابت d و 1/ c كبيرة جدًا بحيث لا يمكن استخدام هذه النتيجة الفعالة عمليًا.

أول نتيجة مهمة تتعلق بالحدود العليا للتقريبات الديوفانتية هي نظرية تقريب ديريشليه ، والتي تعني أنه لكل عدد غير نسبي α ، يوجد عدد لا نهائي من الكسور.${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$بحيث

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.}$

وهذا يعني مباشرة أنه لا يمكن حذف ε في نص نظرية ثو-سيجل-روث.

عزز أدولف هورويتز (1891) ^{[ 7 ]} هذه النتيجة، مُثبتًا أنه لكل عدد غير نسبي α ، يوجد عدد لا نهائي من الكسور${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$بحيث

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.}$

لذلك،${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}}$يمثل هذا حدًا أعلى للتقريبات الديوفانتية لأي عدد غير نسبي. ولا يمكن تحسين الثابت في هذه النتيجة أكثر من ذلك دون استبعاد بعض الأعداد غير النسبية (انظر أدناه).

أظهر إميل بوريل (1903) ^{[ 8 ]} أنه في الواقع، بالنظر إلى أي عدد غير نسبي α ، وبالنظر إلى ثلاثة متقاربات متتالية من α ، يجب أن يحقق واحد منها على الأقل المتباينة الواردة في نظرية هورويتز.

التعريف : عددان حقيقيان${\displaystyle x,y}$تُسمى متكافئة ^{[ 9 ] [ 10 ]} إذا كانت هناك أعداد صحيحة${\displaystyle a,b,c,d\;}$مع${\displaystyle ad-bc=\pm 1\;}$بحيث:

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.}$

إذن، يتم تعريف التكافؤ بواسطة تحويل موبيوس صحيح على الأعداد الحقيقية، أو بواسطة عنصر من المجموعة المعيارية${\displaystyle {\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )}$، وهي مجموعة المصفوفات القابلة للعكس من الرتبة 2 × 2 على الأعداد الصحيحة. كل عدد نسبي مكافئ للصفر؛ وبالتالي فإن الأعداد النسبية هي فئة تكافؤ لهذه العلاقة.

يمكن قراءة التكافؤ على تمثيل الكسر المستمر المنتظم، كما هو موضح في نظرية سيريت التالية :

نظرية : يكون العددان غير النسبيين x و y متكافئين إذا وفقط إذا وُجد عددان صحيحان موجبان h و k بحيث تكون تمثيلات الكسور المستمرة المنتظمة لـ x و y

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,\\y&=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,\end{aligned}}}$

مُرضٍ

${\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i}}$

لكل عدد صحيح غير سالب i . ^{[ 11 ]}

وبالتالي، باستثناء التسلسل الأولي المحدود، فإن الأعداد المتكافئة لها نفس تمثيل الكسر المستمر.

الأعداد المتكافئة قابلة للتقريب بنفس الدرجة، بمعنى أن لها نفس ثابت ماركوف .

كما ذُكر أعلاه، لا يمكن تحسين الثابت في نظرية بوريل، كما بيّن أدولف هورويتز في عام 1891. ^{[ 12 ]} ليكن${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ليكن النسبة الذهبية . إذن، لأي ثابت حقيقي c حيث${\displaystyle c>{\sqrt {5}}\;}$يوجد عدد محدود فقط من الأعداد النسبية p / q بحيث

${\displaystyle \left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.}$

وبالتالي، لا يمكن تحقيق التحسين إلا إذا كانت الأرقام التي تعادل${\displaystyle \phi }$مستثناة. بتعبير أدق: ^{[ 13 ] [ 14 ]} لكل عدد غير نسبي${\displaystyle \alpha }$، وهو ما لا يعادل${\displaystyle \phi }$هناك عدد لا نهائي من الكسور${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$بحيث

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.}$

عن طريق الاستبعاد المتتالي - يجب على العنصر التالي استبعاد الأرقام المكافئة لـ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$— مع ازدياد فئات التكافؤ، يمكن توسيع الحد الأدنى. القيم التي يمكن توليدها بهذه الطريقة هي أعداد لاغرانج ، وهي جزء من طيف لاغرانج . تتقارب هذه الأعداد إلى العدد 3 وترتبط بأعداد ماركوف . ^{[ 15 ] [ 16 ]}

مثال مهم على الدالة${\displaystyle \psi }$الدالة التي يمكن تطبيق نظرية خينشين عليها${\displaystyle \psi _{c}(q)=q^{-c}}$حيث c  >  1 عدد حقيقي. بالنسبة لهذه الدالة، تتقارب المتسلسلة ذات الصلة، وبالتالي تنص نظرية خينشين على أن كل نقطة تقريبًا ليست${\displaystyle \psi _{c}}$قابلة للتقريب. وبالتالي، فإن مجموعة الأرقام التي${\displaystyle \psi _{c}}$تشكل المجموعة التقريبية مجموعة جزئية من خط الأعداد الحقيقية ذي قياس ليبيغ الصفري. وتنص نظرية جارنيك-بيسيكوفيتش، التي وضعها ف. جارنيك وأ . س. بيسيكوفيتش ، على أن بُعد هاوسدورف لهذه المجموعة يساوي${\displaystyle 1/c}$[ ^{19 ] على وجه الخصوص} ، مجموعة الأرقام التي هي${\displaystyle \psi _{c}}$-تقريبي بالنسبة لبعض${\displaystyle c>1}$(المعروفة باسم مجموعة الأعداد القابلة للتقريب بشكل جيد جدًا ) لها بُعد هاوسدورف يساوي واحدًا، بينما مجموعة الأعداد التي${\displaystyle \psi _{c}}$- قابلة للتقريب للجميع${\displaystyle c>1}$(المعروفة باسم مجموعة أعداد ليوفيل ) لها بُعد هاوسدورف يساوي صفرًا.

ومن الأمثلة المهمة الأخرى الوظيفة${\displaystyle \psi _{\varepsilon }(q)=\varepsilon q^{-1}}$، أين${\displaystyle \varepsilon >0}$هو عدد حقيقي. بالنسبة لهذه الدالة، فإن المتسلسلة ذات الصلة متباعدة، وبالتالي تنص نظرية خينشين على أن كل عدد تقريبًا هو${\displaystyle \psi _{\varepsilon }}$قابل للتقريب. وهذا يعني أن كل عدد من هذا النوع قابل للتقريب بشكل جيد ، حيث يُطلق على العدد اسم قابل للتقريب بشكل جيد إذا لم يكن قابلاً للتقريب بشكل سيئ. لذا، ينبغي أن يتعلق نظير مناسب لنظرية جارنيك-بيسيكوفيتش بالبعد الهاوسدورفي لمجموعة الأعداد القابلة للتقريب بشكل سيئ. وبالفعل، أثبت ف. جارنيك أن البعد الهاوسدورفي لهذه المجموعة يساوي واحدًا. وقد حسّن و. م. شميدت هذه النتيجة ، حيث بيّن أن مجموعة الأعداد القابلة للتقريب بشكل سيئ غير قابلة للانضغاط ، أي أنه إذا${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$إذا كانت متتالية من خرائط ثنائية ليبشيتز ، فإن مجموعة الأعداد x التي${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots }$جميعها قابلة للتقريب بشكل سيئ ولها بُعد هاوسدورف واحد. كما عمم شميدت نظرية جارنيك إلى أبعاد أعلى، وهو إنجاز مهم لأن حجة جارنيك أحادية البعد أساسًا، وتعتمد على أدوات الكسور المستمرة.