محرك الفرق

📅 آخر تحديث: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 22 صور
الموسوعة الحرة
محرك الفروق في متحف العلوم بلندن ، وهو أول محرك تم بناؤه وفقًا لتصميم باباج. يتميز بنفس الدقة في جميع الأعمدة، باستثناء حساب كثيرات الحدود، حيث قد تكون الدقة أقل في الأعمدة ذات الرتبة الأعلى.

آلة الفروق هي آلة حاسبة ميكانيكية آلية مصممة لجدولة الدوال متعددة الحدود . صُممت في عشرينيات القرن التاسع عشر، وابتكرها تشارلز باباج . يُشتق اسم " آلة الفروق" من طريقة الفروق المحدودة ، وهي طريقة لاستكمال أو جدولة الدوال باستخدام مجموعة صغيرة من معاملات متعددة الحدود. تُبنى بعض الدوال الرياضية الأكثر شيوعًا في الهندسة والعلوم والملاحة من الدوال اللوغاريتمية والمثلثية ، والتي يمكن تقريبها باستخدام متعددات الحدود، لذا يمكن لآلة الفروق حساب العديد من الجداول المفيدة .

تاريخ

صورة مقرّبة لآلة الفرق في متحف العلوم بلندن، تُظهر بعض عجلات الأرقام وتروس القطاعات بين الأعمدة. تظهر أسنان التروس القطاعية على اليسار بوضوح تام، حيث يكون ارتفاعها مزدوجًا. أما التروس القطاعية في المنتصف إلى اليمين، فتواجه الجهة الخلفية للآلة، لكن أسنانها ذات الارتفاع الواحد ظاهرة بوضوح. لاحظ كيف أن العجلات معكوسة، سواءً كان العد تصاعديًا من اليسار إلى اليمين أو تنازليًا من اليسار إلى اليمين. لاحظ أيضًا اللسان المعدني بين الرقمين "6" و"7". يُفعّل هذا اللسان ذراع الحمل في الخلف عندما ينتقل الرقم "9" إلى الرقم "0" في الأمام خلال خطوات الجمع (الخطوتين 1 و3).

يمكن تتبع فكرة الآلة الحاسبة الميكانيكية للوظائف الرياضية إلى آلية أنتيكيثيرا في القرن الثاني قبل الميلاد ، بينما تُنسب الأمثلة الحديثة المبكرة إلى باسكال وليبنيز في القرن السابع عشر.

في عام 1784، ابتكر المهندس يوهان هاينريش مولر ، من الجيش الهيسي ، آلة جمع ، ووصف المبادئ الأساسية لآلة الفرق في كتاب نُشر عام 1786 (يعود تاريخ أول إشارة مكتوبة إلى آلة الفرق إلى عام 1784)، لكنه لم يتمكن من الحصول على تمويل لمواصلة تطوير الفكرة. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

محركات الفرق لتشارلز باباج

بدأ تشارلز باباج في بناء محرك فرق صغير حوالي عام 1819 [ 4 ] وأتمه بحلول عام 1822 (محرك الفرق 0). [ 5 ] أعلن عن اختراعه في 14 يونيو 1822، في ورقة بحثية قدمها إلى الجمعية الفلكية الملكية ، بعنوان "ملاحظة حول تطبيق الآلات في حساب الجداول الفلكية والرياضية". [ 6 ] استخدم هذا الجهاز نظام الأرقام العشرية وكان يعمل عن طريق تدوير مقبض. أبدت الحكومة البريطانية اهتمامًا بالأمر، نظرًا لأن إنتاج الجداول كان يستغرق وقتًا طويلاً ومكلفًا، وكانوا يأملون أن يجعل محرك الفرق هذه المهمة أكثر اقتصادية. [ 7 ]

في عام 1823، منحت الحكومة البريطانية باباج 1700 جنيه إسترليني لبدء العمل على المشروع. ورغم أن تصميم باباج كان قابلاً للتنفيذ، إلا أن تقنيات تشكيل المعادن في ذلك العصر لم تكن تسمح بإنتاج الأجزاء بالدقة والكمية المطلوبة اقتصاديًا. ولذلك، أثبت التنفيذ أنه أكثر تكلفة وأقل نجاحًا بكثير من التقدير الأولي للحكومة. ووفقًا لتصميم عام 1830 لمحرك الفروق رقم 1، كان من المفترض أن يحتوي على حوالي 25000 جزء، ويزن 4 أطنان ، [ 8 ] ويعمل على أرقام مكونة من 20 خانة باستخدام الفروق من الدرجة السادسة. وفي عام 1832، أنتج باباج وجوزيف كليمنت نموذجًا عمليًا صغيرًا (سُبع التصميم الأصلي)، [ 5 ] يعمل على أرقام مكونة من 6 خانات باستخدام الفروق من الدرجة الثانية. [ 9 ] [ 10 ] وصفت الليدي بايرون رؤيتها للنموذج الأولي العامل عام 1833 قائلةً: "ذهبنا كلانا لرؤية آلة التفكير (أو هكذا يبدو) يوم الاثنين الماضي. رفعت الآلة عدة أعداد إلى القوتين الثانية والثالثة، واستخرجت جذر معادلة تربيعية." [ 11 ] لاحقًا، انبهرت ابنة الليدي بايرون، آدا لوفليس، بهذا الأمر، وعملت على إنشاء أول برنامج حاسوبي مصمم لحل معادلة برنولي باستخدام محرك الفروق. توقف العمل على المحرك الأكبر عام 1833.

بحلول الوقت الذي تخلت فيه الحكومة عن المشروع عام ١٨٤٢، [ ١٠ ] [ ١٢ ] كان باباج قد تلقى وأنفق أكثر من ١٧٠٠٠ جنيه إسترليني على التطوير، وهو ما لم يُؤدِّ إلى إنتاج محرك عامل. لم تُقدِّر الحكومة سوى مُخرَج الآلة (الجداول المُنتَجة اقتصاديًا)، وليس تطوير الآلة نفسها (بتكلفة غير مُتوقَّعة). رفض باباج الاعتراف بهذا المأزق. [ ٧ ] في هذه الأثناء، تحوَّل اهتمام باباج إلى تطوير محرك تحليلي ، مما زاد من تقويض ثقة الحكومة في النجاح النهائي لمحرك الفروق. من خلال تحسين المفهوم كمحرك تحليلي، جعل باباج مفهوم محرك الفروق عتيقًا، وجعل مشروع تنفيذه فاشلاً تمامًا في نظر الحكومة. [ ٧ ]

تم عرض محرك الفرق غير المكتمل رقم 1 للجمهور في المعرض الدولي لعام 1862 في ساوث كنسينغتون ، لندن. [ 13 ] [ 14 ]

واصل باباج تصميم محركه التحليلي الأكثر عمومية، ثم صمم لاحقًا تصميمًا مُحسَّنًا لـ"محرك الفروق رقم 2" (أعداد مكونة من 31 رقمًا وفروق من الرتبة السابعة)، [ 9 ] بين عامي 1846 و1849. وقد تمكن باباج من الاستفادة من الأفكار التي طُوِّرت للمحرك التحليلي لجعل محرك الفروق الجديد يُجري العمليات الحسابية بسرعة أكبر مع استخدام عدد أقل من الأجزاء. [ 15 ] [ 16 ]

محرك حساب شوتزيان

محرك الفرق الثالث لجورج شوتز، معروض في متحف العلوم بلندن

استلهم المخترع السويدي بير جورج شوتز من آلة الفروق التي ابتكرها باباج عام 1834، فقام ببناء عدة نماذج تجريبية. وفي عام 1837، اقترح ابنه إدوارد بناء نموذج عملي من المعدن، وفي عام 1840 أنجز الجزء الحسابي، القادر على حساب المتسلسلات ذات الأعداد المكونة من خمسة أرقام والفروق من الدرجة الأولى، والتي تم توسيعها لاحقًا لتشمل الفروق من الدرجة الثالثة (1842). وفي عام 1843، وبعد إضافة جزء الطباعة، اكتمل النموذج.

في عام 1851، وبتمويل من الحكومة، بدأ بناء آلة أكبر وأكثر تطورًا (تحتوي على أرقام مكونة من 15 خانة وفروق من الدرجة الرابعة)، وانتهى بناؤها في عام 1853. عُرضت الآلة في المعرض العالمي في باريس عام 1855، ثم بيعت في عام 1856 إلى مرصد دادلي في ألباني، نيويورك . سُلّمت الآلة في عام 1857، وكانت أول آلة حاسبة للطباعة تُباع. [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] في عام 1857، طلبت الحكومة البريطانية آلة شوتز التالية للفروق، والتي بُنيت في عام 1859. [ 20 ] [ 21 ] كانت لها نفس البنية الأساسية للآلة السابقة، ويبلغ وزنها حوالي 10 قنطار (1100 رطل ؛ 510 كجم ) . [ 19 ]   

آحرون

قام مارتن ويبرغ بتحسين تصميم شوتز ( حوالي عام 1859 ، وكانت آلته بنفس قدرة آلة شوتز: 30 رقمًا ورتبة سادسة) ولكنه استخدم جهازه فقط لإنتاج ونشر الجداول المطبوعة (جداول الفائدة في عام 1860، والجداول اللوغاريتمية في عام 1875). [ 22 ]

قام ألفريد ديكون من لندن في حوالي عام 1862 بإنتاج محرك فرق صغير (أرقام مكونة من 20 خانة وفروق من الدرجة الثالثة). [ 17 ] [ 23 ]

بدأ الأمريكي جورج ب. غرانت العمل على آلة حاسبة عام 1869، دون أن يكون على دراية بأعمال باباج وشويتز (شينتز). بعد عام (1870)، تعرّف على محركات الفروق، فشرع في تصميم واحدة بنفسه، ووصف تصميمه عام 1871. وفي عام 1874، جمع نادي بوسطن الخميسي تبرعات لبناء نموذج كبير الحجم، والذي تم بناؤه عام 1876. وكان من الممكن توسيعه لزيادة دقته، وبلغ وزنه حوالي 910 كيلوغرامات (2000 رطل) . [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] 

صنعت كريستل هامان آلة واحدة (لحساب الأعداد المكونة من 16 رقمًا والفروق من الدرجة الثانية) عام 1909 لـ"جداول باوشينغر وبيترز" ("جداول لوغاريتمية مثلثية بثمانية منازل عشرية")، والتي نُشرت لأول مرة في لايبزيغ عام 1910. وكان وزنها حوالي 40 كيلوغرامًا (88 رطلاً) . [ 23 ] [ 26 ] [ 27 ] 

قامت شركة بوروز في حوالي عام 1912 ببناء آلة لمكتب التقويم البحري، استُخدمت كمحرك فرق من الدرجة الثانية. [ 28 ] : 451 [ 29 ] ثم استُبدلت لاحقًا في عام 1929 بآلة بوروز من الفئة 11 (أرقام مكونة من 13 خانة وفروق من الدرجة الثانية، أو أرقام مكونة من 11 خانة وفروق من الدرجة الخامسة [على الأقل] ). [ 30 ]

قام ألكسندر جون طومسون، حوالي عام 1927، ببناء آلة تكامل وتفاضل (لأعداد مكونة من 13 رقمًا وفروق من الرتبة الخامسة) لجدول اللوغاريتمات الخاص به "Logarithmetica britannica". تألفت هذه الآلة من أربع آلات حاسبة معدلة من طراز Triumphator. [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]

وصف ليزلي كومري في عام 1928 كيفية استخدام آلة برونزفيغا -دوبلا الحاسبة كمحرك فرق من الدرجة الثانية (أعداد مكونة من 15 رقمًا). [ 28 ] كما أشار في عام 1931 إلى إمكانية استخدام آلة المحاسبة الوطنية من الفئة 3000 كمحرك فرق من الدرجة السادسة. [ 23 ] : 137-138

بناء محركين تفاضليين رقم 2 عاملين

خلال ثمانينيات القرن العشرين، درس آلان جي. بروملي ، الأستاذ المشارك بجامعة سيدني في أستراليا ، الرسومات الأصلية التي وضعها باباج لمحركي الفروق والتحليل في مكتبة متحف العلوم بلندن. [ 34 ] وقد أدى هذا العمل إلى قيام متحف العلوم ببناء قسم حسابي عامل لمحرك الفروق رقم 2 في الفترة من 1985 إلى 1991، تحت إشراف دورون سويد ، أمين قسم الحوسبة آنذاك. وكان ذلك احتفالًا بالذكرى المئوية الثانية لميلاد باباج عام 1991. وفي عام 2002، اكتمل أيضًا بناء الطابعة التي صممها باباج في الأصل لمحرك الفروق. [ 35 ] وكشف تحويل رسومات التصميم الأصلية إلى رسومات مناسبة لاستخدام مصنعي المعدات الهندسية عن بعض الأخطاء الطفيفة في تصميم باباج (ربما أُدخلت كإجراء وقائي في حال سرقة المخططات)، [ 36 ] والتي كان لا بد من تصحيحها. صُممت آلة التفاضل والطابعة وفقًا لدقة القياسات التي كانت متاحة في القرن التاسع عشر، مما حسم جدلًا طويل الأمد حول إمكانية نجاح تصميم باباج باستخدام أساليب الهندسة في العصر الجورجي. تحتوي الآلة على 8000 قطعة ويبلغ وزنها حوالي 5 أطنان. [ 37 ]

يتمثل الغرض الأساسي للطابعة في إنتاج ألواح الطباعة النمطية لاستخدامها في المطابع، وذلك عن طريق ضغط الحروف على الجبس اللين لتكوين قالب . كان باباج ينوي أن تُنقل نتائج المحرك مباشرةً إلى الطباعة بكميات كبيرة، بعد أن أدرك أن العديد من الأخطاء في الجداول السابقة لم تكن ناتجة عن أخطاء حسابية بشرية، بل عن زلات في عملية التنضيد اليدوي . [ 7 ] يُعدّ ناتج الورق من الطابعة وسيلةً أساسيةً للتحقق من أداء المحرك.

إضافةً إلى تمويل بناء آلية الإخراج لمحرك الفروق في متحف العلوم، كلّف ناثان ميرفولد ببناء محرك فروق ثانٍ كامل، عُرض في متحف تاريخ الحاسوب في ماونتن فيو، كاليفورنيا ، من مايو 2008 إلى يناير 2016. [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] ثم نُقل لاحقًا إلى شركة إنتلكتشوال فنتشرز في سياتل، حيث يُعرض خارج الردهة الرئيسية مباشرةً. [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]

عملية

محرك فرق يعمل بكامل طاقته في متحف تاريخ الحاسوب في ماونتن فيو، كاليفورنيا
آلة ماونتن فيو أثناء العمل

تتكون وحدة حساب الفروق من عدد من الأعمدة، مرقمة من 1 إلى N. تستطيع الوحدة تخزين عدد عشري واحد في كل عمود. ولا يمكنها سوى جمع قيمة العمود n  +  1 مع قيمة العمود n لإنتاج القيمة الجديدة لـ n . يستطيع العمود N تخزين قيمة ثابتة فقط، بينما يعرض العمود 1 (وربما يطبع ) قيمة العملية الحسابية في التكرار الحالي .

تتم برمجة المحرك بتعيين قيم ابتدائية للأعمدة. يُعيّن العمود 1 بقيمة متعددة الحدود عند بدء الحساب. ويُعيّن العمود 2 بقيمة مُستمدة من المشتقة الأولى والمشتقات الأعلى لمتعددة الحدود عند نفس قيمة X. ويُعيّن كل عمود من الأعمدة من 3 إلى N بقيمة مُستمدة من...(ن-1){\displaystyle (n-1)}المشتقات الأولى وما فوقها لكثير الحدود. [ 44 ]

توقيت

في تصميم باباج، تتم دورة واحدة (أي مجموعة كاملة من عمليات الجمع والحمل ) لكل دورة للعمود الرئيسي. وتؤدي الأعمدة الفردية والزوجية بالتناوب عملية جمع في دورة واحدة. تسلسل العمليات للعمودن{\displaystyle n}وبالتالي: [ 44 ]

  1. قم بالعد تصاعديًا، واحصل على القيمة من العمودن+1{\displaystyle n+1}(خطوة الجمع)
  2. قم بتنفيذ عملية نشر الحمل على القيمة المحسوبة.
  3. العد التنازلي حتى الصفر، وإضافة إلى العمودن-1{\displaystyle n-1}
  4. أعد ضبط قيمة العد التنازلي إلى قيمتها الأصلية

تحدث الخطوات 1 و2 و3 و4 لكل عمود فردي، بينما تحدث الخطوات 3 و4 و1 و2 لكل عمود زوجي.

رغم أن تصميم باباج الأصلي وضع ذراع التدوير مباشرةً على العمود الرئيسي، إلا أنه تبيّن لاحقًا أن القوة اللازمة لتدوير الآلة ستكون كبيرة جدًا بحيث يصعب على الإنسان التعامل معها بسهولة. لذلك، يتضمن النموذجان اللذان تم بناؤهما تروس تخفيض بنسبة 4:1 عند ذراع التدوير، ويتطلب الأمر أربع دورات لذراع التدوير لإتمام دورة كاملة.

خطوات

تُنتج كل دورة نتيجة جديدة، ويتم ذلك في أربع خطوات تُقابل أربع دورات كاملة للمقبض الموضح في أقصى اليمين في الصورة أدناه. الخطوات الأربع هي:

  1. تُضاف جميع الأعمدة ذات الأرقام الزوجية (2، 4، 6، 8) إلى جميع الأعمدة ذات الأرقام الفردية (1، 3، 5، 7) في آنٍ واحد. يقوم ذراع داخلي بتدوير كل عمود زوجي، مما يؤدي إلى تناقص الرقم الموجود على كل عجلة حتى يصل إلى الصفر. عند وصول العجلة إلى الصفر، تُنقل قيمتها إلى ترس قطاعي يقع بين العمودين الفردي والزوجي. تُنقل هذه القيم إلى العمود الفردي، مما يؤدي إلى تزايده. أي قيمة في العمود الفردي تنتقل من "9" إلى "0" تُفعّل ذراع الحمل .
  2. بالنسبة للأعمدة الفردية، تؤدي أي أذرع ترحيل في حالة التفعيل إلى زيادة الرقم المجاور بمقدار 1. تُطبق عملية الترحيل هذه بالتتابع للسماح بانتشار الترحيل. في الوقت نفسه، تُعاد الأعمدة الزوجية إلى قيمها الأصلية.
  3. هذه الخطوة مشابهة للخطوة الأولى، باستثناء أنها تتضمن جمع الأعمدة الفردية (3، 5، 7) مع الأعمدة الزوجية (2، 4، 6)، ويتم نقل قيم العمود الأول بواسطة ترس قطاعي إلى آلية الطباعة الموجودة في الطرف الأيسر من المحرك. أي قيمة في العمود الزوجي تنتقل من "9" إلى "0" تُفعّل ذراع نقل. تُرسل قيمة العمود الأول، وهي نتيجة متعددة الحدود، إلى آلية الطباعة الملحقة.
  4. هذا يشبه الخطوة 2، ولكن لإجراء عمليات الحمل على الأعمدة الزوجية، وإعادة الأعمدة الفردية إلى قيمها الأصلية.

الطرح

يُمثل المحرك الأعداد السالبة باستخدام نظام المتمم العشري . وتُعادل عملية الطرح جمع عدد سالب. وتعمل هذه العملية بنفس الطريقة التي تُجري بها الحواسيب الحديثة عملية الطرح، والمعروفة بنظام المتمم الثنائي .

طريقة الفروق

يعتمد مبدأ محرك الفروق على طريقة نيوتن للفروق المقسمة . إذا حُسبت القيمة الابتدائية لكثير الحدود (وفروقه المحدودة ) بطريقة ما لقيمة معينة لـ X ، فإن محرك الفروق يستطيع حساب أي عدد من القيم القريبة، باستخدام الطريقة المعروفة عمومًا باسم طريقة الفروق المحدودة . على سبيل المثال، لنأخذ كثيرة الحدود التربيعية.

ص(x)=2x2-3x+2{\displaystyle p(x)=2x^{2}-3x+2\,}

بهدف جدولة القيم p (0)، p (1)، p (2)، p (3)، p (4)، وهكذا. يُبنى الجدول أدناه على النحو التالي: يحتوي العمود الثاني على قيم متعددة الحدود، ويحتوي العمود الثالث على الفروق بين القيمتين المجاورتين لها من اليسار في العمود الثاني، ويحتوي العمود الرابع على الفروق بين القيمتين المجاورتين لها من اليمين في العمود الثالث.

xp ( x ) = 2x² - 3x + 2diff1( x ) = ( p ( x + 1) − p( x ) )     diff2( x ) = (  diff1( x  +  1)  −  diff1( x )  )
02-14
1134
2474
31111
422

الأرقام في العمود الثالث ثابتة. في الواقع، بالبدء بأي متعددة حدود من الدرجة n ، سيكون رقم العمود n  +  1 ثابتًا دائمًا. هذه هي الحقيقة الأساسية وراء نجاح هذه الطريقة.

This table was built from left to right, but it is possible to continue building it from right to left down a diagonal in order to compute more values. To calculate p(5) use the values from the lowest diagonal. Start with the fourth column constant value of 4 and copy it down the column. Then continue the third column by adding 4 to 11 to get 15. Next continue the second column by taking its previous value, 22 and adding the 15 from the third column. Thus p(5) is 22 + 15 = 37. In order to compute p(6), we iterate the same algorithm on the p(5) values: take 4 from the fourth column, add that to the third column's value 15 to get 19, then add that to the second column's value 37 to get 56, which is p(6). This process may be continued ad infinitum. The values of the polynomial are produced without ever having to multiply. A difference engine only needs to be able to add. From one loop to the next, it needs to store 2 numbers—in this example (the last elements in the first and second columns). To tabulate polynomials of degree n, one needs sufficient storage to hold n numbers.

Babbage's difference engine No. 2, finally built in 1991, can hold 8 numbers of 31 decimal digits each and can thus tabulate 7th degree polynomials to that precision. The best machines from Scheutz could store 4 numbers with 15 digits each.[45]

Initial values

The initial values of columns can be calculated by first manually calculating N consecutive values of the function and by backtracking (i.e. calculating the required differences).

Col 10{\displaystyle 1_{0}} gets the value of the function at the start of computation f(0){\displaystyle f(0)}. Col 20{\displaystyle 2_{0}} is the difference between f(1){\displaystyle f(1)} and f(0){\displaystyle f(0)}...[46]

If the function to be calculated is a polynomial function, expressed as

f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a2x2+a1x+a0{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,}

the initial values can be calculated directly from the constant coefficients a0, a1,a2, ..., an without calculating any data points. The initial values are thus:

  • Col 10{\displaystyle 1_{0}} = a0
  • Col 20{\displaystyle 2_{0}} = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an
  • Col 30{\displaystyle 3_{0}} = 2a2 + 6a3 + 14a4 + 30a5 + ...
  • Col 40{\displaystyle 4_{0}} = 6a3 + 36a4 + 150a5 + ...
  • Col 50{\displaystyle 5_{0}}= 24 أ 4 + 240 أ 5 + ...
  • كول60{\displaystyle 6_{0}}= 120 أ 5 + ...
  • ...{\displaystyle ...}

استخدام المشتقات

العديد من الدوال الشائعة الاستخدام هي دوال تحليلية ، يمكن التعبير عنها كمتسلسلات قوى ، مثل متسلسلة تايلور . يمكن حساب القيم الأولية بدقة متناهية؛ فإذا تم ذلك بشكل صحيح، سيعطي المحرك نتائج دقيقة لأول N خطوة. بعد ذلك، سيعطي المحرك تقريبًا للدالة فقط.

تُعبّر متسلسلة تايلور عن الدالة كمجموع مشتقاتها عند نقطة واحدة. بالنسبة للعديد من الدوال، يكون حساب المشتقات العليا أمرًا بسيطًا؛ على سبيل المثال، دالة الجيب عند الصفر لها قيم تساوي صفرًا أو±1{\displaystyle \pm 1}لجميع المشتقات. بوضع الصفر كنقطة بداية للحساب، نحصل على متسلسلة ماكلورين المبسطة

∑ن=0∞و(ن)(0)ن! xن{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\ x^{n}}

يمكن استخدام نفس طريقة حساب القيم الأولية من المعاملات كما هو الحال مع الدوال متعددة الحدود. ستكون معاملات الثوابت متعددة الحدود الآن هي القيمة

أن≡و(ن)(0)ن!{\displaystyle a_{n}\equiv {\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}

ملاءمة المنحنيات

تكمن مشكلة الطرق المذكورة أعلاه في تراكم الأخطاء، مما يؤدي إلى انحراف المتسلسلة عن الدالة الحقيقية. يتمثل الحل الذي يضمن حدًا أقصى ثابتًا للخطأ في استخدام تقنية مطابقة المنحنيات . يتم حساب N قيمة على الأقل موزعة بانتظام على طول نطاق الحسابات المطلوبة. باستخدام تقنية مطابقة المنحنيات، مثل تقنية الاختزال الغاوسي، يتم إيجاد استيفاء متعدد الحدود من الدرجة N -1 للدالة. [ 46 ] باستخدام متعدد الحدود المُحسَّن، يمكن حساب القيم الأولية كما سبق.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑Johann Helfrich von Müller, Beschreibung seiner neu erfundenen Rechenmachine, nach ihrer Gestalt, ihrem Gebrauch und Nutzen [Description of his newly invented calculating machine, according to its form, its use and benefit] (Frankfurt and Mainz, Germany: Varrentrapp Sohn & Wenner, 1786); pages 48–50. The following Web site (in German) contains detailed photos of Müller's calculator as well as a transcription of Müller's booklet, Beschreibung …: https://www.fbi.h-da.de/fileadmin/vmi/darmstadt/objekte/rechenmaschinen/mueller/index.htmArchived 2016-03-05 at the Wayback Machine . An animated simulation of Müller's machine in operation is available on this Web site (in German): https://www.fbi.h-da.de/fileadmin/vmi/darmstadt/objekte/rechenmaschinen/mueller/simulation/index.htmArchived 2016-03-06 at the Wayback Machine .
  2. ↑Michael Lindgren (Craig G. McKay, trans.), Glory and Failure: The Difference Engines of Johann Müller, Charles Babbage, and Georg and Edvard Scheutz (Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1990), pages 64 ff.
  3. ↑Swedin, E.G.; Ferro, D.L. (2005). Computers: The Life Story of a Technology. Greenwood Press, Westport, Connecticut. p. 14. ISBN 978-0-313-33149-7.
  4. ↑Dasgupta, Subrata (2014). It Began with Babbage: The Genesis of Computer Science. Oxford University Press. p. 22. ISBN 978-0-19-930943-6.
  5. 12Copeland, B. Jack; Bowen, Jonathan P.; Wilson, Robin; Sprevak, Mark (2017). The Turing Guide. Oxford University Press. p. 251. ISBN 9780191065002.
  6. ↑O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1998). "Charles Babbage". MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Archived from the original on 2006-06-16. Retrieved 2006-06-14.
  7. 1234Campbell-Kelly, Martin (2004). Computer: A History of the Information Machine 2nd ed. Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 978-0-8133-4264-1.
  8. ↑"The Engines | Babbage Engine". Computer History Museum. Retrieved 2022-07-10.
  9. 1 2 أوريجان، جيرارد (2012). تاريخ موجز للحوسبة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 204. ISBN  978-1-4471-2359-0.
  10. 1 2 سنايدر، لورا ج. (2011). نادي الإفطار الفلسفي: أربعة أصدقاء بارزين أحدثوا ثورة في العلم وغيروا العالم . كراون/أركيتايب. الصفحات 192، 210، 217. ISBN  978-0-307-71617-0.
  11. ↑ تول، بيتي ألكسندرا؛ لوفليس ، آدا (1998). آدا، ساحرة الأرقام . ميل فالي، كاليفورنيا: دار ستروبيري للنشر. ص 38. ISBN  978-0912647180. OCLC 40943907 . 
  12. ↑ ويلد، تشارلز ريتشارد (1848). تاريخ الجمعية الملكية: مع مذكرات الرؤساء . جي دبليو باركر. الصفحات 387-390 . 
  13. ↑ توملينسون، تشارلز (1868). موسوعة الفنون المفيدة، الميكانيكية والكيميائية، والصناعات، والتعدين، والهندسة: في ثلاثة مجلدات، مزودة بـ 63 نقشًا فولاذيًا و3063 نقشًا خشبيًا . فيرتو وشركاه، ص 136. 
  14. ↑ الكتالوج الرسمي للقسم الصناعي . 1862. ص 49 . 
  15. ↑ سنايدر، لورا ج. (2011). نادي الإفطار الفلسفي . نيويورك: برودواي بروكس. ISBN 978-0-7679-3048-2.
  16. ↑ موريس، تشارلز ر. (23 أكتوبر 2012). فجر الابتكار: الثورة الصناعية الأمريكية الأولى . بابليك أفيرز. ص 63. ISBN  9781610393577.
  17. 1 2 شوتز، جورج؛ شوتز، إدوارد (1857). نماذج من الجداول، محسوبة، مصبوبة بالستيريو، ومطبوعة بواسطة الآلات . ويتنيج. الصفحات VIII– XII، XIV– XV، 3. 
  18. ↑ "محرك شوتز التفاضلي" . المتحف الوطني للتاريخ الأمريكي التابع لمؤسسة سميثسونيان . تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 يونيو 2019 .
  19. 1 2 ميرزباخ، أوتا سي .؛ ريبلي، إس. ديلون؛ ميرزباخ، أوتا سي. الآلة الحاسبة، الطبعة الأولى . الصفحات 8-9 ، 13، 25-26 ، 29-30 . CiteSeerX 10.1.1.639.3286 .  
  20. ↑ سويد، دورون (29 أكتوبر 2002). محرك الفرق: تشارلز باباج والسعي لبناء أول حاسوب . كتب بنغوين. 4 ، 207 صفحة. ISBN  9780142001448.
  21. ↑ واتسون، إيان (2012). الآلة العالمية: من فجر الحوسبة إلى الوعي الرقمي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 37-38 . ISBN  978-3-642-28102-0.
  22. ↑ أرشيبالد، ريموند كلير (1947). "مارتن ويبرغ، وجدوله ومحرك الفروق" (ملف PDF) . الجداول الرياضية وغيرها من الوسائل المساعدة في الحساب . 2 (20): 371-374 .
  23. 1 2 3 4 كامبل-كيلي، مارتن (2003). تاريخ الجداول الرياضية: من سومر إلى جداول البيانات . مطبعة جامعة أكسفورد. الصفحات 132-136 . ISBN 978-0-19-850841-0.
  24. ↑ "تاريخ الحواسيب والحوسبة، باباج، نيكست، المحركات التفاضلية، هامان" . history-computer.com . مؤرشف من الأصل بتاريخ 25 فبراير 2012. تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 سبتمبر 2017 .
  25. ↑ ساند هيرست، فيليب ت. (1876). المعرض المئوي العظيم: وصف نقدي ورسوم توضيحية . بي دبليو زيغلر وشركاه. الصفحات 423 ، 427. 
  26. ^ بوشينغر، يوليوس. بيترز، جان (1958). اللوغاريتمات المثلثية مع الأرقام العشرية، تتضمن اللوغاريتمات لكل زحلة من 1 إلى 200000 ووظائف اللوغاريتمات المثلثية لجميع الستات الثانية من الربع: Bd. مكرر 200000. إتش آر إنجلمان ص . 
  27. ^ بوشينغر، يوليوس. بيترز، ج. (جان) (1910). تتضمن الرياضيات اللوغاريتمية المثلثية، مع الأرقام العشرية، اللوغاريتمات التي تبلغ 1 إلى 200000 ووظائف اللوغاريتمات المثلثية لجميع الستات المربعة. نيو berechnet وhrsg. فون جيه بوشينجر وجي بيترز. الصورة النمطية (في المانيا). جيرستين - جامعة تورنتو. لايبزيغ دبليو إنجلمان. ص. اينليتونج السادس. 
  28. 1 2 كومري، إل جيه (1928-03-01). "حول تطبيق آلة برونزفيغا دوبلا الحسابية على الجمع المزدوج مع الفروق المحدودة" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 88 (5): 451، 453-454 ، 458-459 . رمز Bibcode : 1928MNRAS..88..447C . doi : 10.1093/mnras/88.5.447 . ISSN 0035-8711 – عبر نظام بيانات الفيزياء الفلكية . 
  29. ↑ هورسبرغ، إي إم (1914). الأدوات والأساليب الحديثة للحساب : دليل لمعرض نابير المئوي الثالث . لندن: جي. بيل. ص 127-131 .  
  30. ↑ كومري، إل جيه (1932-04-01). "آلة بوروز لمكتب التقويم البحري" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 92 (6): 523-524 ، 537-538 . رمز Bibcode : 1932MNRAS..92..523C . doi : 10.1093/mnras/92.6.523 . ISSN 0035-8711 – عبر نظام بيانات الفيزياء الفلكية . 
  31. ↑ تومسون، ألكسندر جون (1924). لوغاريتمات بريتانيكا: جدول معياري للوغاريتمات حتى عشرين منزلة عشرية . أرشيف مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات V/VI، XXIX، LIV– LVI، LXV (الأرشيف: الصفحات 7، 30، 55–59 ، 68). ISBN  9781001406893.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) رابط بديل
  32. ↑ "تاريخ الحواسيب والحوسبة، باباج، محركات تفاضلية نيكست، ألكسندر جون طومسون" . history-computer.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22-09-2017 .
  33. ↑ فايس، ستيفان. "المنشورات" . mechrech.info . محركات الفروق في القرن العشرين . نُشر لأول مرة في وقائع الاجتماع الدولي السادس عشر لهواة جمع أدوات الحساب التاريخية، سبتمبر 2010، ليدن. الصفحات 160-163 . تاريخ الاسترجاع: 22 سبتمبر 2017 . 
  34. ↑ حوليات IEEE لتاريخ الحوسبة ، 22(4)، أكتوبر–ديسمبر 2000 .
  35. ↑ "تكملة حديثة | محرك باباج" . متحف تاريخ الحاسوب.
  36. ↑ أخيرًا، تعمل طابعة باباج، بحسب بي بي سي نيوز نقلاً عن ريج كريك. تم الاطلاع عليه في 17 مايو 2012
  37. 1 2 بيانات صحفية | تاريخ الحاسوب
  38. ↑ "محرك باباج للفرق رقم 2" . متحف تاريخ الحاسوب . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26-10-2018 .
  39. ↑ تيرديمان، دانيال (10 أبريل 2008). "محرك الفرق الرائع لتشارلز باباج يصل إلى وادي السيليكون" . أخبار سي نت .
  40. ↑ نواك، مارك (29 يناير 2016). "متحف الكمبيوتر يودع محرك باباج" . Mv-voice.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 يوليو 2022 .
  41. ↑ بويل، آلان (11 سبتمبر 2016). "داخل مصنع الاختراعات: نظرة خاطفة على مختبر إنتلكتشوال فنتشرز" . تم الاسترجاع في 21 أبريل 2024 .
  42. ↑ "Intellectual Ventures على LinkedIn: #ivlab #coolscience" . www.linkedin.com . تاريخ الاسترجاع: 21 أبريل 2024 .
  43. ↑ مشاريع فكرية (1 سبتمبر 2016). "اختراعات IV المفضلة: آلة باباج" . مشاريع فكرية . تم الاسترجاع في 24 مارس 2024 .
  44. 1 2 لاردنر، د. (يوليو 1834). "آلة باباج الحاسبة" . مجلة إدنبرة : 263-327 . تم الاطلاع عليه في 11 أكتوبر 2022. موجود في ويكي مصدر ، وأعيد طبعه أيضًا في أعمال تشارلز باباج، المجلد 2، ص 119 وما بعدها .
  45. ↑ أوريجان، جيرارد (2012). تاريخ موجز للحوسبة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 201. ISBN  978-1-4471-2359-0.
  46. 1 2 ثيلين، إد (2008). "محرك فرق باباج رقم 2 - كيفية تهيئة الآلة -" .

للمزيد من القراءة