تعبير مغلق الشكل

في الرياضيات ، الصيغة المغلقة هي صيغة تتكون من ثوابت ومتغيرات ومجموعة من الدوال الأساسية ، وترتبط هذه الدوال بعمليات حسابية ( الجمع، الطرح، الضرب، القسمة ، وقوى الأعداد الصحيحة ) وتركيب الدوال . عادةً، تشمل الدوال الأساسية المسموح بها في الصيغ المغلقة الجذر النوني ، والدالة الأسية ، واللوغاريتم ، والدوال المثلثية . ^{[ أ ]} مع ذلك، فإن مجموعة الدوال الأساسية تعتمد على السياق. على سبيل المثال، إذا أضفنا جذورًا متعددة الحدود إلى الدوال الأساسية، فإن الدوال التي لها صيغة مغلقة تُسمى الدوال الأولية .

تنشأ مشكلة الشكل المغلق عندما يتم إدخال طرق جديدة لتحديد الكائنات الرياضية، مثل النهايات والمتسلسلات والتكاملات : بالنظر إلى كائن محدد بهذه الأدوات ، فإن المشكلة الطبيعية هي إيجاد تعبير مغلق لهذا الكائن، إن أمكن؛ أي تعبير لهذا الكائن بدلالة الطرق السابقة لتحديده.

الصيغة التربيعية

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$$

هي صيغة مغلقة لحلول المعادلة التربيعية العامة${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

بشكل أعم، في سياق المعادلات متعددة الحدود ، فإن الصيغة المغلقة للحل هي حل في الجذور ؛ أي تعبير مغلق تكون فيه الدوال المسموح بها هي فقط الجذور النونية وعمليات الحقل.${\displaystyle (+,-,\times ,/).}$في الواقع، تسمح نظرية المجال بإثبات أنه إذا كان لحل معادلة متعددة الحدود شكل مغلق يتضمن الدوال الأسية أو اللوغاريتمية أو الدوال المثلثية، فإنه يحتوي أيضًا على شكل مغلق لا يتضمن هذه الدوال.

توجد تعابير جذرية لجميع حلول المعادلات التكعيبية (من الدرجة الثالثة) والمعادلات الرباعية (من الدرجة الرابعة). ويزداد حجم هذه التعابير بشكل ملحوظ مع ازدياد درجة المعادلة، مما يحد من فائدتها.

في درجات أعلى، تنص نظرية أبيل-روفيني على وجود معادلات لا يمكن التعبير عن حلولها بالجذور، وبالتالي، ليس لها صيغ مغلقة. ومن الأمثلة البسيطة على ذلك المعادلة${\displaystyle x^{5}-x-1=0.}$توفر نظرية غالوا طريقة حسابية لتحديد ما إذا كان من الممكن حل معادلة متعددة الحدود معينة باستخدام الجذور.

يتألف التكامل الرمزي أساسًا من البحث عن صيغ مغلقة للدوال الأصلية للدوال المحددة بتعبيرات مغلقة. في هذا السياق، تشمل الدوال الأساسية المستخدمة لتعريف الصيغ المغلقة عادةً اللوغاريتمات ، والدوال الأسية، وجذور كثيرات الحدود . تُسمى الدوال التي لها صيغة مغلقة لهذه الدوال الأساسية بالدوال الأولية ، وتشمل الدوال المثلثية ، والدوال المثلثية العكسية ، والدوال الزائدية ، والدوال الزائدية العكسية .

وبالتالي فإن المشكلة الأساسية للتكامل الرمزي هي، بالنظر إلى دالة أولية محددة بتعبير مغلق الشكل، تحديد ما إذا كانت الدالة الأصلية دالة أولية، وإذا كانت كذلك، إيجاد تعبير مغلق الشكل لهذه الدالة الأصلية.

بالنسبة للدوال الكسرية ؛ أي بالنسبة لكسور دالتين كثيرتي الحدود ؛ فإن الدوال الأصلية ليست دائمًا كسورًا كسرية، بل هي دائمًا دوال أولية قد تتضمن لوغاريتمات وجذورًا كثيرة الحدود. ويُثبت ذلك عادةً باستخدام تحليل الكسور الجزئية . وتُوضح الصيغة الحاجة إلى اللوغاريتمات وجذور كثيرات الحدود.

$${\displaystyle \int {\frac {f(x)}{g(x)}}\,dx=\sum _{\alpha \in \operatorname {Roots} (g(x))}{\frac {f(\alpha )}{g'(\alpha )}}\ln(x-\alpha ),}$$

وهو أمر صحيح إذا${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$كثيرات حدود أولية فيما بينها بحيث${\displaystyle g}$خالٍ من المربعات و${\displaystyle \deg f<\deg g.}$

إن تغيير الدوال الأساسية لتشمل دوالًا إضافية قد يُغير مجموعة المعادلات ذات الحلول المغلقة. لا يمكن التعبير عن العديد من دوال التوزيع التراكمي بصيغة مغلقة، إلا إذا اعتُبرت دوال خاصة، مثل دالة الخطأ أو دالة غاما، دوالًا أساسية. من الممكن حل المعادلة من الدرجة الخامسة إذا أُضيفت دوال فوق هندسية عامة ، على الرغم من أن الحل معقد جبريًا لدرجة تجعله غير عملي. بالنسبة للعديد من التطبيقات الحاسوبية العملية، من المنطقي تمامًا افتراض أن دالة غاما وغيرها من الدوال الخاصة دوال أساسية، نظرًا لتوافر تطبيقات عددية واسعة النطاق.

هذا مصطلح يُفهم أحيانًا على أنه مرادف للصيغة المغلقة (انظر "Wolfram Mathworld") .) لكن هذا الاستخدام محل خلاف (انظر "Math Stackexchange" ) .). من غير الواضح مدى استخدام هذا المصطلح فعلياً مقارنةً بكونه نتيجة لإصدارات سابقة غير موثقة من هذه الصفحة.

لا تتضمن الصيغ المغلقة المتسلسلات اللانهائية أو الكسور المستمرة ؛ كما لا تتضمن التكاملات أو النهايات . في الواقع، وفقًا لنظرية ستون-ويرستراس ، يمكن التعبير عن أي دالة متصلة على الفترة [0, 1] كحد لكثيرات الحدود، لذا فإن أي فئة من الدوال التي تحتوي على كثيرات الحدود وتكون مغلقة تحت النهايات ستشمل بالضرورة جميع الدوال المتصلة.

وبالمثل، يُقال إن للمعادلة أو نظام المعادلات حلاً مغلقاً إذا وفقط إذا أمكن التعبير عن حل واحد على الأقل بصيغة مغلقة؛ ويُقال إن لها حلاً تحليلياً إذا وفقط إذا أمكن التعبير عن حل واحد على الأقل بصيغة تحليلية. ثمة فرق دقيق بين " الدالة المغلقة " و" العدد المغلق " في مناقشة "الحل المغلق"، كما ورد في ( تشاو، 1999 ) وفيما يلي . يُشار أحياناً إلى الحل المغلق أو التحليلي بالحل الصريح (على عكس المعادلات الضمنية ).

تم اقتراح ثلاثة حقول فرعية من الأعداد المركبة C لتجسيد مفهوم "العدد ذي الصيغة المغلقة"؛ وهي، مرتبة تصاعديًا حسب عموميتها، أعداد ليوفيل (لا ينبغي الخلط بينها وبين أعداد ليوفيل بمعنى التقريب النسبي)، وأعداد EL، والأعداد الأولية . تُشكل أعداد ليوفيل ، التي يُرمز لها بـ L ، أصغر حقل فرعي مغلق جبريًا من C مغلق تحت الأسس واللوغاريتمات (بشكل رسمي، تقاطع جميع هذه الحقول الفرعية) - أي الأعداد التي تتضمن الأسس واللوغاريتمات بشكل صريح ، ولكنها تسمح بوجود كثيرات حدود صريحة وضمنية (جذور كثيرات الحدود)؛ وقد تم تعريف ذلك في ( ريت 1948 ، ص 60) . كان يُشار إلى L في الأصل بالأعداد الأولية ، ولكن هذا المصطلح يُستخدم الآن على نطاق أوسع للإشارة إلى الأعداد المُعرّفة بشكل صريح أو ضمني بدلالة العمليات الجبرية والأسس واللوغاريتمات. يُعرَّف هذا الحقل، الذي طُرِحَ تعريفٌ أضيق في ( تشاو، ١٩٩٩ ، ص ٤٤١-٤٤٢) ، ويُرمز إليه بالرمز E ، ويُشار إليه بأعداد EL ، بأنه أصغر حقل فرعي من C مغلق تحت عمليتي الأس واللوغاريتم - ولا يشترط أن يكون هذا الحقل مغلقًا جبريًا، ويتوافق مع العمليات الجبرية والأسية واللوغاريتمية الصريحة . يشير الرمز "EL" إلى "الأسي-اللوغاريتمي" وإلى "الأساسي".

يرتبط كون العدد ذا صيغة مغلقة بكونه عددًا متساميًا . رسميًا، تحتوي أعداد ليوفيل والأعداد الأولية على الأعداد الجبرية ، وتشمل بعض الأعداد المتسامية وليس جميعها. في المقابل، لا تحتوي أعداد EL على جميع الأعداد الجبرية، ولكنها تشمل بعض الأعداد المتسامية. يمكن دراسة الأعداد ذات الصيغة المغلقة من خلال نظرية الأعداد المتسامية ، حيث تُعد نظرية جيلفوند-شنايدر إحدى أهم نتائجها، بينما تُعد حدسية شانيل من أهم المسائل المفتوحة .

لأغراض الحسابات العددية، لا يُشترط عمومًا استخدام الصيغة المغلقة، إذ يمكن حساب العديد من النهايات والتكاملات بكفاءة. بعض المعادلات لا تملك حلًا بصيغة مغلقة، مثل تلك التي تمثل مسألة الأجسام الثلاثة أو نموذج هودجكين-هكسلي . لذلك، يجب حساب الحالات المستقبلية لهذه الأنظمة عدديًا.

توجد برامج تحاول إيجاد تعابير مغلقة للقيم العددية، بما في ذلك RIES، ^{[ 3 ]} وidentific في Maple ^{[ 4 ]} و SymPy ، ^{[ 5 ]} و Pluffe's Inverter، ^{[ 6 ]} و Inverse Symbolic Calculator . ^{[ 7 ]}

• الحل الجبري – حل معادلة متعددة الحدود باستخدام الجذور. صفحات تعرض وصفًا موجزًا ​​للأهداف المراد إعادة توجيهها 
• المحاكاة الحاسوبية – عملية نمذجة رياضية تُجرى على جهاز حاسوب 
• الدالة الأولية - نوع من الدوال الرياضية 
• العمليات المنتهية – الجمع، الضرب، القسمة، ... صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
• الحل العددي – طرق التقريب العددي. صفحات تعرض وصفًا موجزًا ​​لأهداف إعادة التوجيه. 
• دالة ليوفيل – الدوال الأولية وتكاملاتها المتكررة المحدودة 
• الانحدار الرمزي – نوع من أنواع تحليل الانحدار 
• مشكلة جبر المدرسة الثانوية لتارسكي – مشكلة رياضية 
• المصطلح (المنطقي) - مكونات الصيغة الرياضية أو المنطقية 
• صيغة تابر المرجعية الذاتية - صيغة تمثل نفسها بصريًا عند تمثيلها بيانيًا 

• ريت، جيه إف (1948)، التكامل في الحدود المحدودة
• تشاو، تيموثي واي. (مايو 1999)، "ما هو العدد ذو الصيغة المغلقة؟"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 106 (5): 440-448 ، arXiv : math/9805045 ، doi : 10.2307/2589148 ، JSTOR 2589148 
• جوناثان م. بورواين وريتشارد إي. كراندال (يناير 2013)، "الصيغ المغلقة: ماهيتها ولماذا نهتم بها"، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 60 (1): 50-65 ، doi : 10.1090/noti936

• وايسشتاين، إريك دبليو. "الحل المغلق" . عالم الرياضيات .
• الشبكات العصبية ذات الشكل المغلق والمستمرة الزمن