التعبير الجبري

في الرياضيات ، التعبير الجبري هو تعبير يتكون من ثوابت (عادةً أعداد جبرية )، ومتغيرات ، والعمليات الجبرية الأساسية : الجمع (+)، والطرح (−)، والضرب (×)، والقسمة (÷)، وقوى الأعداد الصحيحة ، والجذور ( قوى الأعداد الكسرية )، دون استخدام أي علامات نسبية مثل = أو <. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} . على سبيل المثال ، $3x^{2}-2xy+c$ ⁠ هو تعبير جبري. وبما أن أخذ الجذر التربيعي هو نفسه رفع العدد إلى القوة ⁠ 1 / 2 ⁠ ، فإن ما يلي هو أيضًا تعبير جبري:

${\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}$

المعادلة الجبرية هي معادلة تتضمن كثيرات الحدود ، والتي قد تكون التعبيرات الجبرية حلولاً لها .

إذا اقتصرت مجموعة الثوابت على الأعداد ، يُمكن تسمية أي تعبير جبري بتعبير حسابي . مع ذلك، يُمكن استخدام التعبيرات الجبرية على كائنات أكثر تجريدًا، كما هو الحال في الجبر المجرد . إذا اقتصرت الثوابت على الأعداد الصحيحة ، تُسمى مجموعة الأعداد التي يُمكن وصفها بتعبير جبري بالأعداد الجبرية .

على النقيض من ذلك، فإن الأعداد المتسامية مثل $π$ و $e$ ليست أعدادًا جبرية، لأنها لا تُشتق من ثوابت صحيحة أو عمليات جبرية. عادةً ما يُبنى $π$ كعلاقة هندسية، ويتطلب تعريف $e$ عددًا لا نهائيًا من العمليات الجبرية. وبشكل أعم، تُسمى التعبيرات التي تكون مستقلة جبريًا عن ثوابتها و/أو متغيراتها بالأعداد المتسامية .

مصطلحات

يستخدم علم الجبر مصطلحاته الخاصة لوصف أجزاء التعبير:

1 – الأس (القوة)، 2 – المعامل، 3 – الحد، 4 – المؤثر، 5 – الثابت، $x,y$ - المتغيرات

الاتفاقيات

المتغيرات

بحسب العرف، الحروف في بداية الأبجدية (مثل $a,b,c$ تُستخدم الرموز عادةً لتمثيل الثوابت ، وتلك التي تقع في نهاية الأبجدية (مثل $x,y$ و $z$ تُستخدم ) لتمثيل المتغيرات . ^{[ 4 ]} وعادةً ما تُكتب بخط مائل. ^{[ 5 ]}

الأسس

بحسب الاصطلاح، تُكتب الحدود ذات أعلى قوة ( أس ) على اليسار، على سبيل المثال، $x^{2}$ مكتوب على يسار $x$ عندما يكون المعامل واحدًا، فإنه عادةً ما يُحذف (مثلاً) $1x^{2}$ مكتوب $x^{2}$ ^{[ 6 ]} وبالمثل ، عندما يكون الأس (القوة) واحدًا، (مثلًا $3x^{1}$ مكتوب $3x$ ), ^{[ 7 ]} وعندما يكون الأس صفرًا، تكون النتيجة دائمًا 1 (مثلًا $3x^{0}$ مكتوب $3$ ، منذ $x^{0}$ هو دائماً $1$ ). ^{[ 8 ]}

في جذور كثيرات الحدود

يمكن دائمًا كتابة جذور تعبير متعدد الحدود من الدرجة n، أو ما يكافئها حلول معادلة متعددة الحدود، على شكل تعبيرات جبرية إذا كانت n < 5 ( انظر الصيغة التربيعية ، والدالة التكعيبية ، والمعادلة الرباعية ) . يُسمى هذا النوع من حلول المعادلة بالحل الجبري . لكن تنص نظرية أبيل-روفيني على أن الحلول الجبرية غير موجودة لجميع هذه المعادلات (بل لبعضها فقط) إذا كانت n < 5 $\geq$ 5.

التعبيرات النسبية

بفرض وجود كثيرتي حدود $P(x)$ و $Q(x)$ يُطلق على ناتج قسمتهمااسم التعبير النسبي أو ببساطة الكسر النسبي .^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} التعبير النسبي ${\textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$ يُطلق عليه اسم مناسب إذا $\deg P(x)<\deg Q(x)$ وإلا فهو غير صحيح . على سبيل المثال، الكسر ${\tfrac {2x}{x^{2}-1}}$ صحيح، والكسور ${\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}$ و ${\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}$ هي كسور غير فعلية. يمكن التعبير عن أي كسر نسبي غير فعلي كمجموع كثير حدود (قد يكون ثابتًا) وكسر نسبي فعلي. في المثال الأول لكسر غير فعلي لدينا

${\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},$

حيث يكون الحد الثاني كسرًا نسبيًا حقيقيًا. ومجموع كسرين نسبيين حقيقيين هو أيضًا كسر نسبي حقيقي. وتُسمى العملية العكسية للتعبير عن كسر نسبي حقيقي كمجموع كسرين أو أكثر بتحليله إلى كسور جزئية . على سبيل المثال،

${\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.$

هنا، يُطلق على الحدين الموجودين على اليمين اسم الكسور الجزئية.

الكسر غير النسبي

الكسر غير النسبي هو الكسر الذي يحتوي على المتغير تحت أس كسري. ^{[ 12 ]} مثال على الكسر غير النسبي هو

${\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.$

تُعرف عملية تحويل الكسر غير النسبي إلى كسر نسبي بالترشيد . يمكن ترشيد أي كسر غير نسبي تكون جذوره أحادية الحد بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأسس الجذور، واستبدال المتغير بمتغير آخر يكون أسه هو المضاعف المشترك الأصغر. في المثال المذكور، المضاعف المشترك الأصغر هو 6، لذا يمكننا استبداله بـ 6. $x=z^{6}$ للحصول على

${\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.$

التعبيرات الجبرية وغيرها من التعبيرات الرياضية

يلخص الجدول أدناه كيفية مقارنة التعبيرات الجبرية بالعديد من أنواع التعبيرات الرياضية الأخرى حسب نوع العناصر التي قد تحتويها، وفقًا للاتفاقيات الشائعة ولكن ليست العالمية.

v ت هـ	التعبيرات الحسابية	التعبيرات متعددة الحدود	التعبيرات الجبرية	التعبيرات المغلقة	التعبيرات التحليلية	التعبيرات الرياضية
ثابت	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم
العمليات الحسابية الأساسية	نعم	الجمع والطرح والضرب فقط	نعم	نعم	نعم	نعم
مجموع محدود	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم
المنتج المحدود	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم
الكسر المستمر المحدود	نعم	لا	نعم	نعم	نعم	نعم
عامل	لا	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم
الأس الصحيح	لا	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم
الجذر النوني الصحيح	لا	لا	نعم	نعم	نعم	نعم
الأس النسبي	لا	لا	نعم	نعم	نعم	نعم
مضروب العدد الصحيح	لا	لا	نعم	نعم	نعم	نعم
الأس غير النسبي	لا	لا	لا	نعم	نعم	نعم
الدالة الأسية	لا	لا	لا	نعم	نعم	نعم
اللوغاريتم	لا	لا	لا	نعم	نعم	نعم
الدالة المثلثية	لا	لا	لا	نعم	نعم	نعم
الدالة المثلثية العكسية	لا	لا	لا	نعم	نعم	نعم
دالة زائدية	لا	لا	لا	نعم	نعم	نعم
دالة القطع الزائد العكسية	لا	لا	لا	نعم	نعم	نعم
جذر متعدد الحدود الذي ليس حلاً جبرياً	لا	لا	لا	لا	نعم	نعم
دالة غاما ومضروب عدد غير صحيح	لا	لا	لا	لا	نعم	نعم
دالة بيسل	لا	لا	لا	لا	نعم	نعم
وظيفة خاصة	لا	لا	لا	لا	نعم	نعم
المجموع اللانهائي (المتسلسلة) (بما في ذلك متسلسلات القوى )	لا	لا	لا	لا	متقارب فقط	نعم
المنتج اللانهائي	لا	لا	لا	لا	متقارب فقط	نعم
الكسر المستمر اللانهائي	لا	لا	لا	لا	متقارب فقط	نعم
حد	لا	لا	لا	لا	لا	نعم
المشتق	لا	لا	لا	لا	لا	نعم
أساسي	لا	لا	لا	لا	لا	نعم

التعبير الجبري النسبي هو تعبير جبري يمكن كتابته على شكل خارج قسمة كثيرتي حدود ، مثل $x²$ $+$ $4x$ $+$ $4.$ أما التعبير الجبري غير النسبي فهو تعبير غير نسبي، مثل $\sqrtx$ $+$ $4$ .

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ تعريف "الدالة الجبرية" مؤرشف بتاريخ 26-10-2020 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) ضمن موسوعة ديفيد ج. دارلينج للعلوم على الإنترنت
↑ موريس، كريستوفر ج. (1992). قاموس أكاديميك برس للعلوم والتكنولوجيا . دار جلف بروفيشنال للنشر. ص 74. تعبير جبري على حقل .
↑ "العملية الجبرية | موسوعة.كوم" . www.encyclopedia.com . تاريخ الاسترجاع: 27 أغسطس 2020 .
↑ ويليام ل. هوش (محرر)، دليل بريتانيكا للجبر وعلم المثلثات ، منشورات بريتانيكا التعليمية، مجموعة روزن للنشر، 2010، رقم ISBN 1615302190، 9781615302192، الصفحة 71
↑ جيمس إي. جنتل، الجبر الخطي العددي لتطبيقات في الإحصاء ، الناشر: سبرينغر، 1998، رقم ISBN 0387985425، 9780387985428، 221 صفحة، [جيمس إي. جنتل، الصفحة 183]
↑ ديفيد آلان هيرتسوغ، علّم نفسك الجبر بصريًا ، الناشر جون وايلي وأولاده، 2008، رقم ISBN 04701855979780470185599، 304 صفحات، الصفحة 72
↑ جون سي. بيترسون، الرياضيات التقنية مع حساب التفاضل والتكامل ، الناشر سينجايج ليرنينج، 2003، رقم ISBN 07668618999780766861893، 1613 صفحة، الصفحة 31
^ جيروم إي. كوفمان، كارين إل. شويترز، الجبر لطلاب الكلية ، الناشر Cengage Learning، 2010، ISBN 05387335439780538733540، 803 صفحات، الصفحة 222
↑ فينبرغ، إرنست بوريسوفيتش (2003). دورة في الجبر . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 131. ISBN 9780821883945.
↑ غوبتا، بارماناند. الرياضيات الشاملة للصف الثاني عشر . منشورات لاكشمي. ص 739. ISBN 9788170087410.
↑ لال، بانسي (2006). موضوعات في حساب التكامل . منشورات لاكشمي. ص 53. ISBN 9788131800027.
↑ مكارتني، واشنطن (1844). مبادئ التفاضل والتكامل؛ وتطبيقها على الهندسة . ص 203.

مراجع

جيمس، روبرت كلارك؛ جيمس، جلين (1992). قاموس الرياضيات . سبرينغر. ص 8. ISBN 9780412990410.

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "التعبير الجبري" . عالم الرياضيات .

[1] تعريف "الدالة الجبرية" مؤرشف بتاريخ 26-10-2020 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) ضمن موسوعة ديفيد ج. دارلينج للعلوم على الإنترنت

[2] موريس، كريستوفر ج. (1992). قاموس أكاديميك برس للعلوم والتكنولوجيا . دار جلف بروفيشنال للنشر. ص 74. تعبير جبري على حقل .

[3] "العملية الجبرية | موسوعة.كوم" . www.encyclopedia.com . تاريخ الاسترجاع: 27 أغسطس 2020 .

[4] ويليام ل. هوش (محرر)، دليل بريتانيكا للجبر وعلم المثلثات ، منشورات بريتانيكا التعليمية، مجموعة روزن للنشر، 2010، رقم ISBN 1615302190، 9781615302192، الصفحة 71

[5] جيمس إي. جنتل، الجبر الخطي العددي لتطبيقات في الإحصاء ، الناشر: سبرينغر، 1998، رقم ISBN 0387985425، 9780387985428، 221 صفحة، [جيمس إي. جنتل، الصفحة 183]

[6] ديفيد آلان هيرتسوغ، علّم نفسك الجبر بصريًا ، الناشر جون وايلي وأولاده، 2008، رقم ISBN 04701855979780470185599، 304 صفحات، الصفحة 72

[7] جون سي. بيترسون، الرياضيات التقنية مع حساب التفاضل والتكامل ، الناشر سينجايج ليرنينج، 2003، رقم ISBN 07668618999780766861893، 1613 صفحة، الصفحة 31

[8] جيروم إي. كوفمان، كارين إل. شويترز، الجبر لطلاب الكلية ، الناشر Cengage Learning، 2010، ISBN 05387335439780538733540، 803 صفحات، الصفحة 222

[9] فينبرغ، إرنست بوريسوفيتش (2003). دورة في الجبر . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 131. ISBN 9780821883945.

[10] غوبتا، بارماناند. الرياضيات الشاملة للصف الثاني عشر . منشورات لاكشمي. ص 739. ISBN 9788170087410.

[11] لال، بانسي (2006). موضوعات في حساب التكامل . منشورات لاكشمي. ص 53. ISBN 9788131800027.

[12] مكارتني، واشنطن (1844). مبادئ التفاضل والتكامل؛ وتطبيقها على الهندسة . ص 203.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗