نظرية متعددة الحدود

القوة الثالثة للثلاثية الحدودية a + b + c تُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.}$$ يمكن حساب ذلك يدويًا باستخدام خاصية التوزيع للضرب على الجمع وجمع الحدود المتشابهة ، ولكن يمكن أيضًا القيام بذلك (ربما بسهولة أكبر) باستخدام نظرية متعددة الحدود. من الممكن "استنتاج" معاملات متعددة الحدود من الحدود باستخدام صيغة معامل متعددة الحدود. على سبيل المثال، الحد${\displaystyle a^{2}b^{0}c^{1}}$له معامل${\displaystyle {3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3}$، على المدى${\displaystyle a^{1}b^{1}c^{1}}$له معامل${\displaystyle {3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6}$وهكذا دواليك.

يمكن كتابة نص النظرية بإيجاز باستخدام المؤشرات المتعددة : $${\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }}$$ أين $${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m})}$$ و $${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{m}^{\alpha _{m}}.}$$

يستخدم هذا البرهان لنظرية متعددة الحدود نظرية ذات الحدين والاستقراء على m .

أولًا، عندما يكون m = 1 ، يكون كلا الطرفين مساويًا لـ x ₁ ⁿ نظرًا لوجود حد واحد فقط k ₁ = n في المجموع. بالنسبة لخطوة الاستقراء، نفترض أن نظرية متعددة الحدود صحيحة لـ m . إذن

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n}\\[6pt]={}&\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\end{aligned}}}$

بناءً على فرضية الاستقراء. بتطبيق نظرية ذات الحدين على العامل الأخير،

${\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}$

${\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}$

وهذا يُكمل عملية الاستقراء. وتأتي الخطوة الأخيرة نتيجةً لذلك.

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}={n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}},}$

كما يمكن ملاحظة ذلك بسهولة من خلال كتابة المعاملات الثلاثة باستخدام المضروب كما يلي:

${\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}.}$

استبدال xᵢ ₌ 1 لجميع قيم i في نظرية الحدود المتعددة

${\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}}$

يعطي ذلك مباشرة

${\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}=m^{n}.}$

عدد الحدود في مجموع متعدد الحدود، # _{n , m} ، يساوي عدد الحدود الأحادية من الدرجة n على المتغيرات x ₁ ، …, x _m :

${\displaystyle \#_{n,m}={n+m-1 \choose m-1}.}$

يمكن إجراء العد بسهولة باستخدام طريقة النجوم والخطوط .

يمكن حساب أكبر قوة لعدد أولي p يقسم معامل متعدد الحدود باستخدام تعميم لنظرية كومر .

باستخدام تقريب ستيرلينغ ، أو ما يعادله من التوسع التقاربي لدالة لوغاريتم غاما ،$${\displaystyle \log {\binom {kn}{n,n,\cdots ,n}}=kn\log(k)+{\frac {1}{2}}\left(\log(k)-(k-1)\log(2\pi n)\right)-{\frac {k^{2}-1}{12kn}}+{\frac {k^{4}-1}{360k^{3}n^{3}}}-{\frac {k^{6}-1}{1260k^{5}n^{5}}}+O\left({\frac {1}{n^{6}}}\right)}$$فعلى سبيل المثال،$${\displaystyle {\binom {2n}{n}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {n\pi }}}}$$

تتمتع المعاملات متعددة الحدود بتفسير توافقي مباشر، باعتبارها عدد طرق إيداع n من العناصر المتميزة في m من الصناديق المتميزة، مع وجود k ₁ من العناصر في الصندوق الأول، و k ₂ من العناصر في الصندوق الثاني، وهكذا. ^{[ 3 ]}

في الميكانيكا الإحصائية والتوافقية ، إذا كان لدينا توزيع عددي للتصنيفات، فإن معاملات التوزيع متعدد الحدود تنشأ بشكل طبيعي من معاملات التوزيع ذي الحدين. وبالنظر إلى التوزيع العددي { n _i } على مجموعة من N عنصرًا، فإن n _i يمثل عدد العناصر التي ستُعطى التصنيف i . (في الميكانيكا الإحصائية، i هو تصنيف حالة الطاقة).

يتم إيجاد عدد الترتيبات بواسطة

• اختيار عنصر _واحد من إجمالي العناصر N ليتم تسميته بالرقم 1. يمكن القيام بذلك.${\displaystyle {\tbinom {N}{n_{1}}}}$طرق.
• من بين العناصر المتبقية N − n ₁ ، اختر n ₂ لوضع علامة 2. يمكن القيام بذلك${\displaystyle {\tbinom {N-n_{1}}{n_{2}}}}$طرق.
• من بين العناصر المتبقية N − n ₁ − n ₂ ، اختر n ₃ لوضع علامة 3. ويمكن القيام بذلك مرة أخرى.${\displaystyle {\tbinom {N-n_{1}-n_{2}}{n_{3}}}}$طرق.

ينتج عن ضرب عدد الخيارات في كل خطوة ما يلي:

${\displaystyle {N \choose n_{1}}{N-n_{1} \choose n_{2}}{N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}}\cdots ={\frac {N!}{(N-n_{1})!n_{1}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1})!}{(N-n_{1}-n_{2})!n_{2}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1}-n_{2})!}{(N-n_{1}-n_{2}-n_{3})!n_{3}!}}\cdots .}$

ينتج عن عملية الإلغاء الصيغة المذكورة أعلاه.

معامل متعدد الحدود

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}}$

هو أيضًا عدد الطرق المختلفة لتبديل مجموعة متعددة من n عنصرًا، حيث kᵢ هو تكرار كل عنصر من العناصر i . على سبيل المثال، عدد التبديلات المختلفة لأحرف كلمة MISSISSIPPI، التي تحتوي على _حرف M واحد، و4 أحرف I، و4 أحرف S، وحرفين P، هو

${\displaystyle {11 \choose 1,4,4,2}={\frac {11!}{1!\,4!\,4!\,2!}}=34650.}$

يمكن استخدام نظرية متعددة الحدود لتعميم مثلث باسكال أو هرم باسكال إلى مُعقّد باسكال . وهذا يوفر طريقة سريعة لإنشاء جدول بحث لمعاملات متعددة الحدود.

ومن البنى ذات الصلة المثلث متعدد الحدود، أو مثلث باسكال المعمم من الرتبة m، والذي يمكن إنشاؤه باستخدام علاقة التكرار : $${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{m-1}=\sum _{i=0}^{m-1}{\binom {n-1}{k-i}}_{m-1}}$$ ومنها يتم استخلاص قاعدة باسكال عندما${\displaystyle m=2}$يمكن كتابة هذه المعاملات متعددة الحدود على شكل تعبيرات مغلقة ذات تركيبات عددية صحيحة محدودة:

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{m-1}=\sum _{\begin{array}{c}k_{0}+k_{1}+\cdots +k_{m-1}=n\\k_{1}+2k_{2}+\cdots +(m-1)k_{m-1}=k\end{array}}{n \choose k_{0},k_{1},\ldots ,k_{m-1}}}$$ وبدون: ^{[ 4 ]} (التسلسل A008287 في OEIS )

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{m-1}=\sum _{i=0}^{\lfloor k/m\rfloor }(-1)^{i}{\binom {n}{i}}{\binom {n-1+k-im}{n-1}}}$$