المقطع العرضي (الفيزياء)

إذا كانت الكتل والزخم المختزلة للنظام المتصادم هي m _{_i و} p_{_i} و m _{_f} و p_{_f} قبل وبعد التصادم على التوالي، فإن المقطع العرضي التفاضلي يُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left(2\pi \right)^{4}m_{\text{i}}m_{\text{f}}{\frac {p_{\text{f}}}{p_{\text{i}}}}{\bigl |}T_{{\text{f}}{\text{i}}}{\bigr |}^{2},}$

حيث يتم تعريف مصفوفة T على الغلاف بواسطة

${\displaystyle S_{{\text{f}}{\text{i}}}=\delta _{{\text{f}}{\text{i}}}-2\pi i\delta \left(E_{\text{f}}-E_{\text{i}}\right)\delta \left(\mathbf {p} _{\text{i}}-\mathbf {p} _{\text{f}}\right)T_{{\text{f}}{\text{i}}}}$

بدلالة مصفوفة التشتت (S-matrix) . هنا، δ هي دالة ديراك دلتا . يُعد حساب مصفوفة التشتت الهدف الرئيسي لنظرية التشتت.

لنفترض كرات نصف قطرها${\displaystyle a}$تقليديًا، سيكون المقطع العرضي${\displaystyle \pi a^{2}}$. من الناحية الكمومية، وبالنسبة للجسيمات البطيئة (أي تلك التي يكون طول موجة دي برولي الخاص بها أكبر بكثير من أبعاد الجسم المشتت) و${\displaystyle S}$الموجات، المقطع العرضي الكلي هو${\displaystyle 4\pi a^{2}}$بالنسبة للجسيمات السريعة، يجب أخذ الزخم الزاوي الأعلى في الاعتبار، ويبلغ المقطع العرضي الكلي تقريبًا${\displaystyle 2\pi a^{2}}$في حالة الغلاف الكروي (الجهد دالة دلتا)، يسمح المقطع العرضي الكلي بظهور الرنين. ^{[ 2 ]}

تتضمن المقاطع العرضية التي يتم حسابها عادةً باستخدام نظرية مي معاملات كفاءة الانقراض.${\textstyle Q_{\text{ext}}}$، التشتت${\textstyle Q_{\text{sc}}}$والامتصاص${\textstyle Q_{\text{abs}}}$المقاطع العرضية. يتم تطبيع هذه المقاطع العرضية باستخدام المقاطع العرضية الهندسية للجسيم.${\textstyle \sigma _{\text{geom}}=\pi a^{2}}$مثل$${\displaystyle Q_{\alpha }={\frac {\sigma _{\alpha }}{\sigma _{\text{geom}}}},\qquad \alpha ={\text{ext}},{\text{sc}},{\text{abs}}.}$$ يتم تحديد المقطع العرضي بواسطة

${\displaystyle \sigma _{\alpha }={\frac {W_{\alpha }}{I_{\text{inc}}}}}$

أين${\displaystyle \left[W_{\alpha }\right]=\left[{\text{W}}\right]}$هو تدفق الطاقة عبر السطح المحيط، و${\displaystyle \left[I_{\text{inc}}\right]=\left[{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}}}\right]}$تمثل شدة الموجة الساقطة. بالنسبة للموجة المستوية، ستكون الشدة${\displaystyle I_{\text{inc}}=|\mathbf {E} |^{2}/(2\eta )}$، أين${\displaystyle \eta ={\sqrt {\mu \mu _{0}/(\varepsilon \varepsilon _{0})}}}$هي مقاومة الوسط المضيف .

يعتمد النهج الرئيسي على ما يلي. أولاً، نقوم بإنشاء كرة وهمية نصف قطرها${\displaystyle r}$(سطح${\displaystyle A}$) حول الجسيم (المشتت). معدل الطاقة الكهرومغناطيسية الصافي الذي يعبر السطح${\displaystyle A}$يكون

${\displaystyle W_{\text{a}}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } \cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA}$

أين${\textstyle \mathbf {\Pi } ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} ^{*}\times \mathbf {H} \right]}$هو متجه بوينتينغ المتوسط ​​زمنيًا . إذا${\displaystyle W_{\text{a}}>0}$تُمتص الطاقة داخل الكرة، وإلا فإنها تُخلق داخلها. لن نتناول هذه الحالة هنا. إذا كان الوسط المحيط غير ماص، فلا بد أن يمتص الجسيم الطاقة. نقوم بتحليل المجال الكلي إلى جزأين: ساقط ومشتت.${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{\text{i}}+\mathbf {E} _{\text{s}}}$وينطبق الأمر نفسه على المجال المغناطيسي${\displaystyle \mathbf {H} }$وبالتالي، يمكننا التفكيك${\displaystyle W_{a}}$إلى المصطلحات الثلاثة${\displaystyle W_{\text{a}}=W_{\text{i}}-W_{\text{s}}+W_{\text{ext}}}$، أين

${\displaystyle W_{\text{i}}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{i}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA\equiv 0,\qquad W_{\text{s}}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{s}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA,\qquad W_{\text{ext}}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{ext}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA.}$

أين${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\text{i}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{\text{i}}^{*}\times \mathbf {H} _{\text{i}}\right]}$،${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\text{s}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{\text{s}}^{*}\times \mathbf {H} _{\text{s}}\right]}$، و${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\text{ext}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{s}^{*}\times \mathbf {H} _{i}+\mathbf {E} _{i}^{*}\times \mathbf {H} _{s}\right]}$.

يمكن تحليل المجال بأكمله إلى سلسلة من التوافقيات الكروية المتجهة (VSH) . بعد ذلك، يمكن حساب جميع التكاملات. في حالة كرة منتظمة نصف قطرها${\displaystyle a}$، السماحية${\displaystyle \varepsilon }$والنفاذية${\displaystyle \mu }$للمشكلة حل دقيق. ^{[ 6 ]} معاملات التشتت والامتصاص هي$${\displaystyle Q_{\text{sc}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2})}$$$${\displaystyle Q_{\text{ext}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})}$$أين${\textstyle k=n_{\text{host}}k_{0}}$هذه متصلة ببعضها البعض كما يلي:$${\displaystyle \sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{abs}}\qquad {\text{or}}\qquad Q_{\text{ext}}=Q_{\text{sc}}+Q_{\text{abs}}}$$

لنفترض أن الجسيم يدعم فقط أنماط ثنائية القطب الكهربائية والمغناطيسية ذات الاستقطابية${\textstyle \mathbf {p} =\alpha ^{e}\mathbf {E} }$و${\textstyle \mathbf {m} =(\mu \mu _{0})^{-1}\alpha ^{m}\mathbf {H} }$(هنا نستخدم ترميز الاستقطابية المغناطيسية على غرار بيكشاييف وآخرون ^{[ 7 ] [ 8 ]} بدلاً من ترميز نيتو-فيسبريناس وآخرون ^{[ 9 ]} ) معبرًا عنها من خلال معاملات مي كما يلي: $${\displaystyle \alpha ^{e}=4\pi \varepsilon _{0}\cdot i{\frac {3\varepsilon }{2k^{3}}}a_{1},\qquad \alpha ^{m}=4\pi \mu _{0}\cdot i{\frac {3\mu }{2k^{3}}}b_{1}.}$$ ثم تُعطى المقاطع العرضية بواسطة$${\displaystyle \sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{ext}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{ext}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{m})}$$$${\displaystyle \sigma _{\text{sc}}=\sigma _{\text{sc}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{sc}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{e}|^{2}+{\frac {1}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{m}|^{2}}$$وأخيرًا، مقاطع الامتصاص الكهربائي والمغناطيسي${\textstyle \sigma _{\text{abs}}=\sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}}$نكون$${\displaystyle \sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{e})-{\frac {k^{3}}{6\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}|\alpha ^{e}|^{2}\right]}$$و$${\displaystyle \sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{m})-{\frac {k^{3}}{6\pi \mu \mu _{0}}}|\alpha ^{m}|^{2}\right]}$$

في حالة الجسيم الذي لا يكتسب طاقة داخلية، أي لا تنبعث منه طاقة داخلياً (${\textstyle \sigma _{\text{abs}}>0}$لدينا حالة خاصة من نظرية البصريات$${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\Im (\alpha ^{m})\geq {\frac {2k^{3}}{3}}\left[{\frac {|\alpha ^{e}|^{2}}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}+{\frac {|\alpha ^{m}|^{2}}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\right]}$$يتحقق التساوي بالنسبة للجسيمات غير الممتصة، أي بالنسبة لـ${\textstyle \Im (\varepsilon )=\Im (\mu )=0}$.

في سياق تشتت الضوء على الأجسام الممتدة، يصف مقطع التشتت، σsc _، احتمالية تشتت الضوء بواسطة جسيم كبير. وبشكل عام، يختلف مقطع التشتت عن المقطع الهندسي للجسيم، إذ يعتمد على طول موجة الضوء ونفاذية الوسط ، بالإضافة إلى شكل الجسيم وحجمه. وتُحدد كمية التشتت الكلية في وسط قليل الكثافة بحاصل ضرب مقطع التشتت في عدد الجسيمات الموجودة. ومن حيث المساحة، فإن المقطع الكلي ( σ ) هو مجموع المقاطع الناتجة عن الامتصاص والتشتت والتألق .

${\displaystyle \sigma =\sigma _{\text{abs}}+\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{lum}}.}$

يرتبط المقطع العرضي الكلي بامتصاص شدة الضوء من خلال قانون بير-لامبرت _، الذي ينص على أن الامتصاص يتناسب طرديًا مع التركيز: Aλ = Clσ ، حيث Aλ هو الامتصاص عند طول موجي معين λ ، _و C هو التركيز ككثافة عددية ، و l هو طول المسار . ويُعرف انطفاء الإشعاع أو امتصاصه بأنه اللوغاريتم ( العشري أو، في الغالب، الطبيعي ) لمقلوب النفاذية T : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle A_{\lambda }=-\log {\mathcal {T}}.}$

يرتبط المقطع العرضي للتشتت بالمدى الجوي L _V :

${\displaystyle L_{\text{V}}={\frac {3.9}{C\sigma _{\text{scat}}}}.}$

يُشار أحيانًا إلى الكمية Cσ _{scat بالرمز} b _scat ، وهو معامل التشتت لكل وحدة طول. ^{[ 10 ]}

تنطبق المعادلات التالية على كرتين صلبتين تخضعان لتصادم مرن تمامًا . ^{[ 11 ]} لنفترض أن R و r يمثلان نصف قطر مركز التشتت والكرة المتشتتة، على التوالي. المقطع العرضي التفاضلي هو

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {R^{2}}{4}},}$

والمقطع العرضي الكلي هو

${\displaystyle \sigma _{\text{tot}}=\pi \left(r+R\right)^{2}.}$

بمعنى آخر، فإن المقطع العرضي الكلي للتشتت يساوي مساحة الدائرة (نصف قطرها r + R ) التي يجب أن يصل إليها مركز كتلة الكرة الواردة حتى تنحرف.

في تشتت رذرفورد ، يتشتت جسيم ساقط ذو شحنة q وطاقة E عن جسيم ثابت ذي شحنة Q. المقطع العرضي التفاضلي هو

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=\left({\frac {q\,Q}{16\pi \varepsilon _{0}E\sin ^{2}(\theta /2)}}\right)^{2}}$

أين${\displaystyle \varepsilon _{0}}$هي سماحية الفراغ . ^{[ 12 ]} المقطع العرضي الكلي لانهائي ما لم يتم تحديد حد أدنى لزوايا التشتت الصغيرة${\displaystyle \theta }$يتم تطبيق ذلك. ^{[ 13 ]} ويرجع ذلك إلى المدى الطويل لـ${\displaystyle 1/r}$الجهد الكولومبي.

يتناول المثال التالي شعاعًا ضوئيًا يتشتت عن دائرة نصف قطرها r ولها سطح عاكس تمامًا. يتكون الشعاع من كثافة منتظمة من الأشعة المتوازية، ويتم نمذجة تفاعل الشعاع مع الدائرة ضمن إطار البصريات الهندسية . ولأن المسألة ثنائية الأبعاد، فإن المقطع العرضي له وحدة طول (مثل المتر). لنفترض أن α هي الزاوية بين شعاع الضوء ونصف القطر الواصل بين نقطة انعكاس الشعاع ومركز المرآة. عندئذٍ، تكون الزيادة في عنصر الطول العمودي على الشعاع هي

${\displaystyle \mathrm {d} x=r\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha .}$

زاوية انعكاس هذا الشعاع بالنسبة للشعاع الساقط هي 2α ، وزاوية التشتت هي

${\displaystyle \theta =\pi -2\alpha .}$

العلاقة التفاضلية بين شدة السقوط وشدة الانعكاس I هي

${\displaystyle I\,\mathrm {d} \sigma =I\,\mathrm {d} x(x)=Ir\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha =I{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =I{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta .}$

وبالتالي فإن المقطع العرضي التفاضلي هو ( dΩ = d θ )

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}={\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$

تبلغ قيمتها القصوى عند θ = π، ما يُشير إلى التشتت العكسي، بينما تبلغ قيمتها الدنيا عند θ = 0، ما يُشير إلى التشتت من حافة الدائرة مباشرةً إلى الأمام. يؤكد هذا التعبير التوقعات البديهية بأن دائرة المرآة تعمل كعدسة مُفرّقة . يساوي المقطع العرضي الكلي قطر الدائرة.

${\displaystyle \sigma =\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =2r.}$

يمكن استخدام النتيجة من المثال السابق لحل المشكلة المماثلة في ثلاثة أبعاد، أي التشتت من كرة عاكسة تمامًا نصف قطرها a .

يمكن تمثيل المستوى العمودي على شعاع الضوء الساقط باستخدام الإحداثيات الأسطوانية r و φ . في أي مستوى من مستويات الشعاع الساقط والمنعكس، يمكننا كتابة (من المثال السابق):

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=a\sin \alpha ,\\\mathrm {d} r&=a\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha ,\end{aligned}}}$

بينما عنصر منطقة التأثير هو

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma =\mathrm {d} r(r)\times r\,\mathrm {d} \varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$

في الإحداثيات الكروية،

${\displaystyle \mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$

بالإضافة إلى المتطابقة المثلثية

${\displaystyle \sin \theta =2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right),}$

نحصل على

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {a^{2}}{4}}.}$

المقطع العرضي الكلي هو

${\displaystyle \sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\pi a^{2}.}$