خدعة النسخ

في الفيزياء الإحصائية للزجاج المغزلي والأنظمة الأخرى ذات الاضطراب المطفأ ، تُعد خدعة النسخ تقنية رياضية تعتمد على تطبيق الصيغة التالية: $${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{Z^{n}-1 \over n}}$$ أو: $${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{\frac {\partial Z^{n}}{\partial n}}}$$ أين ${\displaystyle Z}$وهي في الغالب دالة التوزيع ، أو دالة ديناميكية حرارية مماثلة.

يُستخدم عادةً لتبسيط حساب${\displaystyle {\overline {\ln Z}}}$، القيمة المتوقعة لـ${\displaystyle \ln Z}$مما يقلل المشكلة إلى حساب متوسط ​​الفوضى${\displaystyle {\overline {Z^{n}}}}$أين${\displaystyle n}$يُفترض أن يكون عددًا صحيحًا. وهذا يُعادل فيزيائيًا حساب المتوسط ​​على${\displaystyle n}$نسخ أو نسخ طبق الأصل من النظام، ومن هنا جاء الاسم.

يكمن جوهر خدعة النسخ المتماثل في أنه بينما يتم حساب متوسط ​​الاضطراب بافتراض${\displaystyle n}$لكي يكون عددًا صحيحًا، لاستعادة اللوغاريتم المتوسط ​​للاضطراب، يجب إرسال${\displaystyle n}$بشكل مستمر إلى الصفر. لم يتم حل هذا التناقض الظاهر في صميم خدعة النسخ رسميًا، ومع ذلك، في جميع الحالات التي يمكن فيها مقارنة طريقة النسخ مع حلول دقيقة أخرى، تؤدي الطرق إلى نفس النتائج. (يُعدّ البرهان الطبيعي الكافي والدقيق على نجاح خدعة النسخ هو التحقق من صحة افتراضات نظرية كارلسون ، وخاصة أن النسبة${\displaystyle (Z^{n}-1)/n}$(من النوع الأسي الأقل من π .)

من الضروري أحيانًا اشتراط خاصية إضافية تتمثل في كسر تناظر النسخ (RSB) من أجل الحصول على نتائج فيزيائية، والتي ترتبط بانهيار خاصية الإرجودية .

يستخدم بشكل عام في العمليات الحسابية التي تتضمن الدوال التحليلية (يمكن توسيعها في متسلسلات القوى).

يوسع ${\displaystyle f(z)}$باستخدام سلسلة القوى الخاصة بها : إلى قوى${\displaystyle z}$أو بعبارة أخرى نسخ طبق الأصل من${\displaystyle z}$، وإجراء نفس الحساب الذي سيتم إجراؤه على${\displaystyle f(z)}$، باستخدام قوى${\displaystyle z}$.

تُعد حالة حساب متوسط ​​الطاقة الحرة الديناميكية الحرارية حالةً خاصة ذات فائدة كبيرة في الفيزياء .

${\displaystyle F=-k_{\rm {B}}T\ln Z[J_{ij}],}$

على قيم${\displaystyle J_{ij}}$بتوزيع احتمالي معين ، عادةً ما يكون توزيعًا طبيعيًا (غاوسيًا). ^{[ 1 ]}

ثم تُعطى دالة التقسيم بالصيغة التالية

${\displaystyle Z[J_{ij}]\sim e^{-\beta J_{ij}}.}$

لاحظ أنه إذا كنا نحسب فقط${\displaystyle Z[J_{ij}]}$(أو بشكل أعم، أي سلطة من${\displaystyle J_{ij}}$وليس لوغاريتمه الذي أردنا حساب متوسطه، فإن التكامل الناتج (بافتراض توزيع غاوسي) هو ببساطة

${\displaystyle \int dJ_{ij}\,e^{-\beta J-\alpha J^{2}},}$

التكامل الغاوسي القياسي الذي يمكن حسابه بسهولة (على سبيل المثال إكمال المربع ).

لحساب الطاقة الحرة، نستخدم خدعة النسخ:$${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{\dfrac {Z^{n}-1}{n}}}$$مما يقلل من المهمة المعقدة المتمثلة في حساب متوسط ​​اللوغاريتم إلى حل تكامل غاوسي بسيط نسبيًا، بشرط${\displaystyle n}$هو عدد صحيح. ^{[ 2 ]} تفترض خدعة النسخ أنه إذا${\displaystyle Z^{n}}$يمكن حسابها لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n}$عندئذٍ قد يكون هذا كافياً للسماح بالسلوك المحدود كما${\displaystyle n\to 0}$سيتم حسابها.

من الواضح أن مثل هذه الحجة تطرح العديد من الأسئلة الرياضية، والصيغة الناتجة لإجراء النهاية${\displaystyle n\to 0}$عادةً ما يُدخل العديد من التفاصيل الدقيقة. ^{[ 3 ]}

عند استخدام نظرية المجال المتوسط ​​لإجراء حسابات المرء، فإن أخذ هذا الحد غالباً ما يتطلب إدخال معلمات ترتيب إضافية، وهي خاصية تُعرف باسم " كسر تناظر النسخ " والتي ترتبط ارتباطاً وثيقاً بكسر الإرجودية والديناميكيات البطيئة داخل أنظمة الفوضى.

تُستخدم تقنية النسخ المتماثل في تحديد الحالات الأرضية للأنظمة الميكانيكية الإحصائية، في تقريب المجال المتوسط . عادةً، بالنسبة للأنظمة التي يسهل فيها تحديد الحالة الأرضية، يمكن تحليل التقلبات القريبة من الحالة الأرضية. وإلا، يُستخدم أسلوب النسخ المتماثل. ^{[ أوراق بحثية حول الزجاج المغزلي 1 ]} ومن الأمثلة على ذلك حالة الاضطراب المُخمد في نظام مثل الزجاج المغزلي ذي أنواع مختلفة من الروابط المغناطيسية بين المغازل، مما يؤدي إلى العديد من التكوينات المختلفة للمغازل التي لها نفس الطاقة.

خارج نطاق فيزياء المادة المكثفة، استُخدمت طريقة النسخ كأداة تحليلية استدلالية في نظرية المعلومات ومعالجة الإشارات . ومن الأمثلة على ذلك التحليلات الإحصائية الميكانيكية لرموز تصحيح الأخطاء واستعادة الصور، ^{[ 4 ] [ 5 ]} والكشف متعدد المستخدمين في أنظمة CDMA واسعة النطاق، ^{[ 6 ]} والاستشعار المضغوط . ^{[ 7 ]}

في الفيزياء الإحصائية للأنظمة ذات الاضطراب المُخمد، يُطلق على أي حالتين لهما نفس تجسيد الاضطراب (أو في حالة الزجاج المغزلي، نفس توزيع الروابط المغناطيسية الحديدية والمضادة للحديدية) اسم "نسختين متطابقتين". ^{[ أوراق بحثية حول الزجاج المغزلي 2 ]} بالنسبة للأنظمة ذات الاضطراب المُخمد، يُتوقع عادةً أن تكون الكميات العيانية ذاتية التوسط ، بحيث لا يمكن تمييز أي كمية عيانية لتجسيد محدد للاضطراب عن نفس الكمية المحسوبة عن طريق حساب المتوسط ​​على جميع التجسيدات الممكنة للاضطراب. يسمح إدخال النسخ المتطابقة بإجراء هذا المتوسط ​​على تجسيدات مختلفة للاضطراب.

في حالة الزجاج المغزلي، نتوقع أن تكون الطاقة الحرة لكل دورة (أو أي كمية ذاتية التوسط) في الحد الديناميكي الحراري مستقلة عن القيم المحددة للترابطات المغناطيسية الحديدية والمغناطيسية المضادة للحديد بين المواقع الفردية، عبر الشبكة. لذلك، نجد الطاقة الحرة صراحةً كدالة لمعامل الاضطراب (في هذه الحالة، معاملات توزيع الروابط المغناطيسية الحديدية والمغناطيسية المضادة للحديد) ونحسب متوسط ​​الطاقة الحرة على جميع تحققات الاضطراب (جميع قيم الترابط بين المواقع، كل منها باحتمالها المقابل، المعطى بواسطة دالة التوزيع). تأخذ الطاقة الحرة الشكل التالي:

${\displaystyle F={\overline {F[J_{ij}]}}=-k_{B}T\,{\overline {\ln Z[J]}}}$

أين${\displaystyle J_{ij}}$يصف هذا المصطلح الاضطراب (بالنسبة للزجاج المغزلي، فهو يصف طبيعة التفاعل المغناطيسي بين كل موقع من المواقع الفردية).${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$ونحن نأخذ المتوسط ​​لجميع قيم الاقترانات الموصوفة في${\displaystyle J}$، مرجحة بتوزيع معين. لإجراء عملية حساب المتوسط ​​على دالة اللوغاريتم، تُصبح حيلة النسخ مفيدة، وذلك باستبدال اللوغاريتم بصيغته النهائية المذكورة أعلاه. في هذه الحالة، الكمية${\displaystyle Z^{n}}$تمثل دالة التقسيم المشتركة لـ${\displaystyle n}$أنظمة متطابقة.

يُعدّ نموذج الطاقة العشوائية (REM) أحد أبسط نماذج الميكانيكا الإحصائية للأنظمة غير المنتظمة ، وربما أبسط نموذج يُظهر معنى وقوة خدعة النسخ حتى المستوى الأول من كسر تناظر النسخ . ويُناسب هذا النموذج هذا التقديم بشكل خاص نظرًا لوجود نتيجة دقيقة معروفة باستخدام إجراء مختلف، وإمكانية إثبات فعالية خدعة النسخ من خلال التحقق المتبادل من النتائج.

تُعدّ طريقة التجويف طريقة بديلة، غالباً ما تكون أسهل استخداماً من طريقة النسخ، لدراسة مسائل المجال المتوسط ​​غير المنتظم. وقد صُممت هذه الطريقة للتعامل مع النماذج الموجودة على الرسوم البيانية الشبيهة بالأشجار محلياً .

ثمة طريقة بديلة أخرى هي طريقة التناظر الفائق . يوفر استخدام طريقة التناظر الفائق بديلاً رياضياً دقيقاً لتقنية النسخ، ولكن فقط في الأنظمة غير المتفاعلة. انظر على سبيل المثال كتاب: ^{[ طرق أخرى 1 ]}

كما تم إثبات ^{[ الأساليب الأخرى 2 ]} أن شكلية كيلديش توفر بديلاً قابلاً للتطبيق لنهج النسخ المتماثل.

يمكن فهم المتطابقة الأولى من المتطابقات المذكورة أعلاه بسهولة من خلال توسيع تايلور :

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {Z^{n}-1}{n}}&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {e^{n\ln Z}-1}{n}}\\&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {n\ln Z+{1 \over 2!}(n\ln Z)^{2}+\cdots }{n}}\\&=\ln Z~~.\end{aligned}}}$

أما بالنسبة للهوية الثانية، فيتم ببساطة استخدام تعريف المشتقة

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {\partial Z^{n}}{\partial n}}&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {\partial e^{n\ln Z}}{\partial n}}\\[5pt]&=\lim _{n\rightarrow 0}Z^{n}\ln Z\\[5pt]&=Z^{0}\ln Z=\ln Z~~.\end{aligned}}}$

استخدم أويلر نسخة من خدعة النسخ المتماثل في دراسته لدالة ^لامبرت W. [ ^{8 ]}

• إس إدواردز (1971)، "الميكانيكا الإحصائية للمطاط". في شبكات البوليمر: الخصائص الهيكلية والميكانيكية ، (تحرير إيه جيه تشومبف وإس نيومان). نيويورك: مطبعة بلينوم، ISBN 978-1-4757-6210-5.
• ميزارد، مارك؛ باريسي، جورجيو؛ فيراسورو، ميغيل أنخيل (1987). نظرية الزجاج المغزلي وما بعدها: مقدمة لطريقة النسخ وتطبيقاتها . سلسلة محاضرات وورلد ساينتيفيك في الفيزياء. تينيك، نيوجيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية: وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-9971-5-0116-7.
• شاربونو، باتريك (2022-11-03). "من خدعة النسخ إلى تقنية كسر تناظر النسخ". arXiv : 2211.01802 [ physics.hist-ph ].