النوع الأسي

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 51 صور
الموسوعة الحرة
الرسم البياني للدالة باللون الرمادي هوهـ-πz2{\displaystyle e^{-\pi z^{2}}}، التوزيع الغاوسي المقيد بالمحور الحقيقي. لا يمتلك التوزيع الغاوسي النوع الأسي، لكن الدوال باللونين الأحمر والأزرق هي تقريبات أحادية الجانب ذات نوع أسي.2π{\displaystyle 2\pi }.

في التحليل المركب ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، يُقال إن الدالة التحليلية من النوع الأسي C إذا كان نموها محدودًا بالدالة الأسية.هـج|z|{\displaystyle e^{C|z|}}لثابت ذي قيمة حقيقيةج{\displaystyle C}مثل|z|→∞{\displaystyle |z|\to \infty }عندما تكون دالة ما محدودة بهذه الطريقة، يصبح من الممكن التعبير عنها كأنواع معينة من المجاميع المتقاربة على سلسلة من الدوال المركبة الأخرى، بالإضافة إلى فهم متى يمكن تطبيق تقنيات مثل مجموع بوريل ، أو، على سبيل المثال، تطبيق تحويل ميلين ، أو إجراء تقريبات باستخدام صيغة أويلر-ماكلورين . وتُعالج الحالة العامة بواسطة نظرية ناخبين ، التي تُعرّف المفهوم المماثل لـΨ{\displaystyle \Psi }-type للدالة العامةΨ(z){\displaystyle \Psi (z)}على عكسهـz{\displaystyle e^{z}}.

الفكرة الأساسية

وظيفةو(z){\displaystyle f(z)}يُقال إن الدالة المعرفة على المستوى المركب من النوع الأسي إذا وُجدت ثوابت حقيقية القيمةم{\displaystyle M}وτ{\displaystyle \tau }بحيث

|و(رهـأناθ)|≤مهـτر{\displaystyle \left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq Me^{\tau r}}

في حدودر→∞{\displaystyle r\to \infty }هنا، المتغير المركبz{\displaystyle z}كُتب على النحو التالي:z=رهـأناθ{\displaystyle z=re^{i\theta }}للتأكيد على أن الحد يجب أن يظل ساريًا في جميع الاتجاهاتθ{\displaystyle \theta }تأجيرτ{\displaystyle \tau }يمثل أدنى مستوى من كل ذلكτ{\displaystyle \tau }ثم يقول المرء إن الوظيفةو{\displaystyle f}هو من النوع الأسيτ{\displaystyle \tau }.

على سبيل المثال، لنفترضو(z)=الخطيئة⁡(πz){\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}ثم يقول أحدهم ذلكالخطيئة⁡(πz){\displaystyle \sin(\pi z)}هو من النوع الأسيπ{\displaystyle \pi }، منذπ{\displaystyle \pi }هو أصغر عدد يحد من نموالخطيئة⁡(πz){\displaystyle \sin(\pi z)}على طول المحور التخيلي. لذا، في هذا المثال، لا يمكن تطبيق نظرية كارلسون ، لأنها تتطلب دوالًا من النوع الأسي أقل منπ{\displaystyle \pi }وبالمثل، لا يمكن تطبيق صيغة أويلر-ماكلورين أيضًا، لأنها تعبر أيضًا عن نظرية تستند في النهاية إلى نظرية الفروق المحدودة .

التعريف الرسمي

دالة هولومورفيةF(z){\displaystyle F(z)}يقال إنه من النوع الأسيσ>0{\displaystyle \sigma >0}إذا لكلε>0{\displaystyle \varepsilon >0}يوجد ثابت ذو قيمة حقيقيةأε{\displaystyle A_{\varepsilon }}بحيث

|F(z)|≤أεهـ(σ+ε)|z|{\displaystyle |F(z)|\leq A_{\varepsilon }e^{(\sigma +\varepsilon )|z|}}

ل|z|→∞{\displaystyle |z|\to \infty }أينz∈ج{\displaystyle z\in \mathbb {C} }نقولF(z){\displaystyle F(z)}يكون من النوع الأسي إذاF(z){\displaystyle F(z)}هو من النوع الأسيσ{\displaystyle \sigma }بالنسبة للبعضσ>0{\displaystyle \sigma >0}الرقم

τ(F)=σ=ليم سوب|z|→∞|z|-1سجل⁡|F(z)|{\displaystyle \tau (F)=\sigma =\displaystyle \limsup _{|z|\rightarrow \infty }|z|^{-1}\log |F(z)|}
سلوكF(z)=∑ن=1∞z10ن!(10ن!)!.{\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}}.}نسبةسجل⁡|F(z)|{\displaystyle \log |F(z)|}ل|z|{\displaystyle |z|}عند نصف قطر معين، تكون القيمة القصوى على المحور الحقيقي.

هو النوع الأسي منF(z){\displaystyle F(z)}الحد الأعلى هنا يعني نهاية القيمة العليا للنسبة خارج نصف قطر معين عندما يؤول نصف القطر إلى اللانهاية. وهو أيضًا الحد الأعلى لأقصى قيمة للنسبة عند نصف قطر معين عندما يؤول نصف القطر إلى اللانهاية. قد يوجد الحد الأعلى حتى لو كانت القيمة القصوى عند نصف القطرر{\displaystyle r}ليس له حد لأنر{\displaystyle r}تؤول إلى اللانهاية. على سبيل المثال، بالنسبة للدالة

F(z)=∑ن=1∞z10ن!(10ن!)!{\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}}}

قيمة

(الأعلى|z|=رسجل⁡|F(z)|)/ر{\displaystyle (\max _{|z|=r}\log |F(z)|)/r}

فير=10ن!-1{\displaystyle r=10^{n!-1}}يهيمن الحد رقم n −1 على هذه المصفوفة، ويؤول هذا الحد إلى الصفر عندمان{\displaystyle n}[ 1 ] ولكن​F(z){\displaystyle F(z)}ومع ذلك، فهو من النوع الأسي 1، كما يتضح من خلال النظر إلى النقاطz=10ن!{\displaystyle z=10^{n!}}.

النوع الأسي بالنسبة لجسم محدب متناظر

قدّم شتاين (1957) تعميمًا من النوع الأسي للدوال الكاملة لعدة متغيرات مركبة . لنفترضك{\displaystyle K}هي مجموعة جزئية محدبة ومضغوطة ومتناظرة منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}من المعروف أنه لكل من هذا القبيلك{\displaystyle K}هناك معيار مرتبط‖⋅‖ك{\displaystyle \|\cdot \|_{K}}مع العقار الذي

ك={x∈Rن:‖x‖ك≤1}.{\displaystyle K=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{K}\leq 1\}.}

بعبارة أخرى،ك{\displaystyle K}هي كرة الوحدة فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}بالنسبة إلى‖⋅‖ك{\displaystyle \|\cdot \|_{K}}المجموعة

ك*={y∈Rن:x⋅y≤1 للجميع x∈ك}{\displaystyle K^{*}=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:x\cdot y\leq 1{\text{ لجميع }}x\in {K}\}}

تُسمى المجموعة القطبية ، وهي أيضًا مجموعة فرعية محدبة ومضغوطة ومتناظرة منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}علاوة على ذلك، يمكننا أن نكتب

‖x‖ك=رشفةy∈ك*|x⋅y|.{\displaystyle \|x\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|x\cdot y|.}

نمدد‖⋅‖ك{\displaystyle \|\cdot \|_{K}}منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}لجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}بواسطة

‖z‖ك=رشفةy∈ك*|z⋅y|.{\displaystyle \|z\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|z\cdot y|.}

وظيفة كاملةF(z){\displaystyle F(z)}لن{\displaystyle n}يُقال إن المتغيرات المركبة من النوع الأسي بالنسبة إلىك{\displaystyle K}إذا لكلε>0{\displaystyle \varepsilon >0}يوجد ثابت ذو قيمة حقيقيةأε{\displaystyle A_{\varepsilon }}بحيث

|F(z)|<أεهـ2π(1+ε)‖z‖ك{\displaystyle |F(z)|<A_{\varepsilon }e^{2\pi (1+\varepsilon )\|z\|_{K}}}

للجميعz∈جن{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}.

مساحة فريشي

مجموعات من الدوال من النوع الأسيτ{\displaystyle \tau }يمكن أن تشكل فضاءً منتظمًا كاملاً ، وهو فضاء فريشيه ، من خلال الطوبولوجيا المستحثة بواسطة عائلة المعايير القابلة للعد.

‖و‖ن=رشفةz∈جخبرة⁡[-(τ+1ن)|z|]|و(z)|.{\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ في الواقع، حتى(الأعلى|z|=رسجل⁡سجل⁡|F(z)|)/(سجل⁡ر){\displaystyle (\max _{|z|=r}\log \log |F(z)|)/(\log r)}فير=10ن!-1{\displaystyle r=10^{n!-1}}يؤول إلى الصفر عندما ن{\displaystyle n}يتجه إلى ما لا نهاية.