منظم خطي تربيعي

لنفترض نظامًا خطيًا مستمرًا في الزمن، معرفًا على${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]}$، كما وصفها $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=A\mathbf {x} +B\mathbf {u} ,}$$ أين${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$(إنه،${\displaystyle \mathbf {x} }$هو${\displaystyle n}$يمثل المتجه الحقيقي ذو الأبعاد n حالة النظام، و${\displaystyle \mathbf {u} \in \mathbb {R} ^{m}}$يمثل مدخل التحكم. بافتراض دالة تكلفة تربيعية للنظام، معرفة على النحو التالي: $${\displaystyle J=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\!(t_{1})F(t_{1})\mathbf {x} (t_{1})+\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}Q\mathbf {x} +\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}R\mathbf {u} +2\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {u} \right)\,dt,}$$ أين${\displaystyle F}$هي مصفوفة التكلفة النهائية،${\displaystyle Q}$هي مصفوفة تكلفة الدولة،${\displaystyle R}$هي مصفوفة تكلفة التحكم، و${\displaystyle N}$هي مصفوفة التكلفة المشتركة (التحكم والحالة)، وقانون التحكم بالتغذية الراجعة الذي يقلل قيمة التكلفة هو $${\displaystyle \mathbf {u} =-K\mathbf {x} ,}$$ أين${\displaystyle K}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle K=R^{-1}\left(B^{\mathsf {T}}P(t)+N^{\mathsf {T}}\right),}$$ و${\displaystyle P}$يتم إيجادها عن طريق حل معادلة ريكاتي التفاضلية ذات الزمن المستمر$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}P(t)+P(t)A-\left[P(t)B+N\right]R^{-1}\left[B^{\mathsf {T}}P(t)+N^{\mathsf {T}}\right]+Q=-{\dot {P}}(t)}$$ مع شرط الحدود $${\displaystyle P(t_{1})=F(t_{1}).}$$

الشروط من الدرجة الأولى لـ${\displaystyle J_{\min }}$نكون:

1. معادلة الحالة$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=A\mathbf {x} +B\mathbf {u} .}$$
2. معادلة الحالة المرافقة$${\displaystyle -{\dot {\boldsymbol {\lambda }}}=Q\mathbf {x} +N\mathbf {u} +A^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\lambda }}.}$$
3. معادلة ثابتة$${\displaystyle \mathbf {0} =R\mathbf {u} +N^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +B^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\lambda }}.}$$
4. الشروط الحدية$${\displaystyle \mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}}$$و${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}(t_{1})=F(t_{1})\mathbf {x} (t_{1}).}$

بالنسبة لنظام خطي مستمر الزمن موصوف بـ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=A\mathbf {x} +B\mathbf {u} ,}$$ مع تعريف دالة التكلفة على النحو التالي $${\displaystyle J=\int _{0}^{\infty}\left(\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}Q\mathbf {x} +\mathbf {u} ^{\mathbf {T}}R\mathbf {u} +2\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {u} \يمين)\,DT,}$$ قانون التحكم بالتغذية الراجعة الذي يقلل من قيمة التكلفة هو $${\displaystyle \mathbf {u} =-K\mathbf {x} ,}$$ أين $${\displaystyle K=R^{-1}\left(B^{\mathsf {T}}P+N^{\mathsf {T}}\right),}$$ و${\displaystyle P}$يتم إيجادها عن طريق حل معادلة ريكاتي الجبرية ذات الزمن المستمر$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}P+PA-(PB+N)R^{-1}\left(B^{\mathsf {T}}P+N^{\mathsf {T}}\right)+Q=0.}$$

ويمكن كتابة ذلك أيضاً على النحو التالي $${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathsf {T}}P+P{\mathcal {A}}-PBR^{-1}B^{\mathsf {T}}P+{\mathcal {Q}}=0}$$ مع $${\displaystyle {\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{\mathsf {T}},\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{\mathsf {T}}.}$$

بالنسبة لنظام خطي منفصل الزمن موصوف بالمعادلة ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mathbf {x} _{k+1}=A\mathbf {x} _{k}+B\mathbf {u} _{k},}$$ مع تعريف مؤشر الأداء على النحو التالي $${\displaystyle J=\mathbf {x} _{H_{p}}^{\mathsf {T}}Q_{H_{p}}\mathbf {x} _{H_{p}}+\sum _{k=0}^{H_{p}-1}\left(\mathbf {x} _{k}^{\mathsf {T}}Q\mathbf {x} _ {ك}+\mathbf {u} _{k}^{\mathsf {T}}R\mathbf {u} _{k}+2\mathbf {x} _{k}^{\mathsf {T}}N\mathbf {u} _{k}\يمين)،}$$ أين${\displaystyle H_{p}}$يمثل الأفق الزمني ، ويتم إعطاء تسلسل التحكم الأمثل الذي يقلل مؤشر الأداء بواسطة $${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=-F_{k}\mathbf {x} _{k},}$$ أين $${\displaystyle F_{k}=\left(R+B^{\mathsf {T}}P_{k+1}B\right)^{-1}\left(B^{\mathsf {T}}P_{k+1}A+N^{\mathsf {T}}\right),}$$ و${\displaystyle P_{k}}$يتم إيجادها بشكل تكراري عكسي في الزمن بواسطة معادلة ريكاتي الديناميكية $${\displaystyle P_{k-1}=A^{\mathsf {T}}P_{k}A-\left(A^{\mathsf {T}}P_{k}B+N\right)\left(R+B^{\mathsf {T}}P_{k}B\right)^{-1}\left(B^{\mathsf {T}}P_{k}A+N^{\mathsf {T}}\right)+Q}$$ من حالة نهائية${\displaystyle P_{H_{p}}=Q_{H_{p}}}$[ ^{4 ] لاحظ} أن${\displaystyle \mathbf {u} _{H_{p}}}$غير مُعرَّف، لأن${\displaystyle x}$يتم دفعه إلى حالته النهائية${\displaystyle \mathbf {x} _{H_{p}}}$بواسطة${\displaystyle A\mathbf {x} _{H_{p}-1}+B\mathbf {u} _{H_{p}-1}}$.

بالنسبة لنظام خطي منفصل الزمن موصوف بـ $${\displaystyle \mathbf {x} _{k+1}=A\mathbf {x} _{k}+B\mathbf {u} _{k},}$$ مع تعريف مؤشر الأداء على النحو التالي $${\displaystyle J=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\mathbf {x} _{k}^{\mathsf {T}}Q\mathbf {x} _{k}+\mathbf {u} _{k}^{\mathsf {T}}R\mathbf {u} _{k}+2\mathbf {x} _{k}^{\mathsf {T}}N\mathbf {u} _{k}\right),}$$ تُعطى سلسلة التحكم الأمثل التي تقلل مؤشر الأداء بالصيغة التالية: $${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=-F\mathbf {x} _{k},}$$ أين $${\displaystyle F=\left(R+B^{\mathsf {T}}PB\right)^{-1}\left(B^{\mathsf {T}}PA+N^{\mathsf {T}}\right),}$$ و${\displaystyle P}$هو الحل الموجب المحدد الوحيد لمعادلة ريكاتي الجبرية المنفصلة زمنياً (DARE). $${\displaystyle P=A^{\mathsf {T}}PA-\left(A^{\mathsf {T}}PB+N\right)\left(R+B^{\mathsf {T}}PB\right)^{-1}\left(B^{\mathsf {T}}PA+N^{\mathsf {T}}\right)+Q.}$$

ويمكن كتابة ذلك أيضاً على النحو التالي $${\displaystyle P={\mathcal {A}}^{\mathsf {T}}P{\mathcal {A}}-{\mathcal {A}}^{\mathsf {T}}PB\left(R+B^{\mathsf {T}}PB\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}P{\mathcal {A}}+{\mathcal {Q}}}$$ مع $${\displaystyle {\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{\mathsf {T}},\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{\mathsf {T}}.}$$

يمكن حل معادلة ريكاتي الجبرية عن طريق تكرار معادلة ريكاتي الديناميكية لحالة الأفق المحدود حتى تتقارب.

إذا كانت معادلة الحالة تربيعية، تُعرف المسألة باسم منظم التربيع-التربيع (QQR). يمكن تطبيق خوارزمية Al'Brekht لتبسيط هذه المسألة إلى مسألة يمكن حلها بكفاءة باستخدام حلول خطية تعتمد على الموترات. ^{[ 7 ]}

إذا كانت معادلة الحالة متعددة الحدود ، تُعرف المسألة باسم منظم متعدد الحدود التربيعي (PQR). ويمكن تطبيق خوارزمية ألبرخت لاختزال هذه المسألة إلى مسألة خطية كبيرة، والتي يمكن حلها بتعميم خوارزمية بارتلز-ستيوارت . وهذا ممكن، شريطة ألا تكون درجة متعددة الحدود عالية جدًا. ^{[ 8 ]}

يُعدّ التحكم التنبؤي النموذجي (MPC) والمنظمات الخطية التربيعية نوعين من أساليب التحكم الأمثل، ولكل منهما نهج مختلف في تحديد تكاليف التحسين. فعلى وجه الخصوص، عندما يُطبّق نظام LQR بشكل متكرر مع أفق زمني متناقص، فإنه يُصبح شكلاً من أشكال التحكم التنبؤي النموذجي. ومع ذلك، لا يقتصر التحكم التنبؤي النموذجي عمومًا على الأنظمة الخطية، بل يُمكنه دمج القيود بشكل طبيعي.