التغذية الراجعة الكاملة للحالة

تُعدّ تقنية التغذية الراجعة الكاملة للحالة (FSF)، أو تحديد مواقع الأقطاب ، إحدى طرق نظرية أنظمة التحكم بالتغذية الراجعة ، حيث تُستخدم لتحديد مواقع أقطاب الحلقة المغلقة لنظام ما في مواقع مُحددة مسبقًا في مستوى s . ^{[ 1 ]} يُعدّ تحديد مواقع الأقطاب أمرًا مرغوبًا فيه لأن مواقعها تتوافق مباشرةً مع القيم الذاتية للنظام، والتي تتحكم في خصائص استجابته. ويجب أن يكون النظام قابلاً للتحكم لتطبيق هذه الطريقة.

إذا أمكن تمثيل ديناميكيات الحلقة المغلقة بواسطة معادلة فضاء الحالة (انظر فضاء الحالة (التحكم) )

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=\mathbf {A} {\underline {x}}+\mathbf {B} {\underline {u}},}$

مع معادلة الإخراج

${\displaystyle {\underline {y}}=\mathbf {C} {\underline {x}}+\mathbf {D} {\underline {u}},}$

عندئذٍ، تكون أقطاب دالة نقل النظام هي جذور المعادلة المميزة المعطاة بـ

${\displaystyle \left|s{\textbf {I}}-{\textbf {A}}\right|=0.}$

يتم استخدام التغذية الراجعة الكاملة للحالة عن طريق التحكم في متجه الإدخال${\displaystyle {\underline {u}}}$ضع في اعتبارك مدخلاً يتناسب (بالمعنى المصفوفي) مع متجه الحالة،

${\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}$.

بالتعويض في معادلات فضاء الحالة أعلاه، نحصل على

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} ){\underline {x}}}$

${\displaystyle {\underline {y}}=(\mathbf {C} -\mathbf {D} \mathbf {K} ){\underline {x}}.}$

تُعطى أقطاب نظام FSF بواسطة المعادلة المميزة للمصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} }$،${\displaystyle \det \left[s{\textbf {I}}-\left({\textbf {A}}-{\textbf {B}}{\textbf {K}}\right)\right]=0}$بمقارنة حدود هذه المعادلة مع حدود المعادلة المميزة المطلوبة، نحصل على قيم مصفوفة التغذية الراجعة.${\displaystyle {\textbf {K}}}$مما يجبر القيم الذاتية للحلقة المغلقة على مواقع الأقطاب المحددة بواسطة المعادلة المميزة المطلوبة. ^{[ 2 ]}

لنفترض نظامًا معطى بمعادلات فضاء الحالة التالية:

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}={\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}}{\underline {x}}+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\underline {u}}.}$

يحتوي النظام غير المتحكم به على أقطاب ذات حلقة مفتوحة عند${\displaystyle s=-1}$و${\displaystyle s=-2}$هذه الأقطاب هي القيم الذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$المصفوفة وهي جذور${\displaystyle \left|s\mathbf {I} -\mathbf {A} \right|}$لنفترض، لأغراض دراسة الاستجابة، أننا نرغب في أن تكون القيم الذاتية للنظام المتحكم به موجودة عند${\displaystyle s=-1}$و${\displaystyle s=-5}$وهي ليست الأقطاب التي لدينا حاليًا. إذن، المعادلة المميزة المطلوبة هي${\displaystyle s^{2}+6s+5=0}$، من${\displaystyle (s+1)(s+5)}$.

باتباع الإجراء المذكور أعلاه، تكون معادلة خصائص النظام المتحكم فيه بواسطة FSF هي

${\displaystyle \left|s\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} \right)\right|=\det {\begin{bmatrix}s&-1\\2+k_{1}&s+3+k_{2}\end{bmatrix}}=s^{2}+(3+k_{2})s+(2+k_{1}),}$

أين

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}\end{bmatrix}}.}$

بمساواة هذه المعادلة المميزة بالمعادلة المميزة المطلوبة، نجد

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}3&3\end{bmatrix}}}$.

لذلك، فإن تحديد${\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}$يجبر أقطاب الحلقة المغلقة على التوجه إلى المواقع المطلوبة، مما يؤثر على الاستجابة كما هو مطلوب.

هذا ينطبق فقط على الأنظمة ذات المدخل الواحد. أما الأنظمة ذات المدخلات المتعددة فستكون لها...${\displaystyle {\textbf {K}}}$مصفوفة غير فريدة. لذلك، فإن اختيار الأفضل${\displaystyle {\textbf {K}}}$إن تحديد القيم ليس بالأمر البسيط. ويمكن استخدام منظم خطي تربيعي لمثل هذه التطبيقات .

• تقسيم القطب
• استجابة الخطوة
• صيغة أكرمان
• منظم خطي تربيعي

• دالة في برنامج Mathematica لحساب مكاسب التغذية الراجعة للحالة