مشكلة النقاط

تناول لوكا باتشولي هذه المسألة في كتابه المدرسي "Summa de arithmetica, engineeringa, proportioni et proportionalità " الصادر عام 1494. وكانت طريقته تقسيم الرهانات بما يتناسب مع عدد الجولات التي فاز بها كل لاعب، ولم يدخل عدد الجولات اللازمة للفوز في حساباته على الإطلاق. ^{[ 1 ]}

في منتصف القرن السادس عشر، لاحظ نيكولو تارتاليا أن طريقة باتشولي تؤدي إلى نتائج غير بديهية إذا توقفت اللعبة بعد جولة واحدة فقط. في هذه الحالة، ستمنح قاعدة باتشولي الجائزة كاملة للفائز في تلك الجولة، مع أن التقدم بجولة واحدة في بداية لعبة طويلة ليس حاسمًا. ابتكر تارتاليا طريقة تتجنب هذه المشكلة تحديدًا، وذلك بتقسيم الجائزة بناءً على نسبة حجم التقدم إلى مدة اللعبة. ^{[ 1 ]} مع ذلك، لا يخلو هذا الحل من بعض المشاكل؛ ففي لعبة تصل إلى 100 نقطة، يقسم الرهان بنفس الطريقة سواء كان التقدم 65-55 أو 99-89، على الرغم من أن الأولى لا تزال لعبة مفتوحة نسبيًا، بينما في الثانية يكون فوز اللاعب المتقدم شبه مؤكد. لم يكن تارتاليا نفسه متأكدًا من إمكانية حل المشكلة بطريقة تقنع كلا اللاعبين بعدالتها، إذ قال: "مهما كانت طريقة التقسيم، فسيكون هناك سبب للتقاضي". ^{[ 2 ]}

عادت المشكلة للظهور مجدداً حوالي عام 1654 عندما طرحها الفارس دي مير، أنطوان غومبو، على بليز باسكال . ناقش باسكال المشكلة في مراسلاته المستمرة مع بيير دي فيرما . ومن خلال هذه المناقشة، لم يقدم باسكال وفيرما حلاً مقنعاً ومتسقاً لهذه المشكلة فحسب، بل طورا أيضاً مفاهيم لا تزال أساسية في نظرية الاحتمالات.

كانت الفكرة الأساسية لباسكال وفيرما هي أن تقسيم الرهانات لا ينبغي أن يعتمد كثيرًا على تاريخ الجزء الذي جرى فعليًا من اللعبة المتقطعة، بل على الطرق المحتملة التي كانت ستستمر بها اللعبة لو لم تتقطع. من البديهي أن اللاعب المتقدم بنتيجة 7-5 في لعبة من 10 نقاط لديه نفس فرصة الفوز في النهاية كلاعب متقدم بنتيجة 17-15 في لعبة من 20 نقطة، ولذلك اعتقد باسكال وفيرما أن انقطاع اللعب في أي من الحالتين يجب أن يؤدي إلى نفس تقسيم الرهانات. بعبارة أخرى، المهم ليس عدد الجولات التي فاز بها كل لاعب حتى الآن، بل عدد الجولات التي لا يزال يحتاج كل لاعب للفوز بها لتحقيق الفوز النهائي.

ثم استنتج فيرما ما يلي: ^{[ 3 ]} إذا احتاج أحد اللاعبين${\displaystyle r}$المزيد من الجولات للفوز والاحتياجات الأخرى${\displaystyle s}$من المؤكد أن أحدهم سيفوز بالمباراة بعد ذلك.${\displaystyle r+s-1}$جولات إضافية. لذلك، تخيل أن اللاعبين سيلعبون${\displaystyle r+s-1}$جولات إضافية؛ إجمالاً، تحتوي هذه الجولات على${\displaystyle 2^{r+s-1}}$نتائج محتملة مختلفة. في بعض هذه الاحتمالات المستقبلية، ستكون اللعبة قد حُسمت في أقل من${\displaystyle r+s-1}$جولات، ولكن لا ضير في تخيل اللاعبين يستمرون في اللعب بلا هدف. إن النظر فقط إلى فترات زمنية متساوية الطول له ميزة تتمثل في سهولة إقناع المرء لنفسه بأن كل واحد من${\displaystyle 2^{r+s-1}}$الاحتمالات متساوية. وهكذا تمكن فيرما من حساب احتمالات فوز كل لاعب، ببساطة عن طريق كتابة جدول بجميع الاحتمالات.${\displaystyle 2^{r+s-1}}$قام فيرما بحساب عدد الاحتمالات الممكنة وعدد الحالات التي ستؤدي إلى فوز كل لاعب. ورأى الآن أنه من العدل تقسيم الرهانات بما يتناسب مع تلك الاحتمالات.

تم تحسين حل فيرما، الذي يُعتبر "صحيحًا" وفقًا لمعايير اليوم، على يد باسكال بطريقتين. أولًا، قدّم باسكال حجةً أكثر تفصيلًا لتبرير اعتبار القسمة الناتجة عادلة. ثانيًا، بيّن كيفية حساب القسمة الصحيحة بكفاءة أكبر من طريقة فيرما الجدولية، التي تصبح غير عملية تمامًا (بدون الحواسيب الحديثة) إذا${\displaystyle r+s-1}$هو أكثر من حوالي 10.

بدلاً من مجرد النظر في احتمالية الفوز باللعبة المتبقية بأكملها ، ابتكر باسكال مبدأ الخطوات الأصغر: لنفترض أن اللاعبين تمكنوا من لعب جولة واحدة إضافية قبل أن يتم إيقافهم، وأننا قد قررنا بالفعل كيفية تقسيم الرهانات بشكل عادل بعد تلك الجولة الإضافية (ربما لأن تلك الجولة تسمح لأحد اللاعبين بالفوز). قد تؤدي الجولة الإضافية المتخيلة إلى أحد احتمالين مستقبليين بتقسيمات عادلة مختلفة للرهانات، ولكن بما أن لدى اللاعبين فرصًا متساوية للفوز بالجولة التالية، فيجب عليهما تقسيم الفرق بين التقسيمين المستقبليين بالتساوي. بهذه الطريقة، يمكن استخدام معرفة الحلول العادلة في الألعاب التي يتبقى فيها عدد أقل من الجولات لحساب الحلول العادلة للألعاب التي يتبقى فيها عدد أكبر من الجولات. ^{[ 4 ]}

من الأسهل إقناع المرء بعدالة هذا المبدأ مقارنةً بجدول فيرما للمستقبلات المحتملة، والذي يُعدّ افتراضيًا من جانبين، إذ يجب تخيّل استمرار اللعبة أحيانًا بعد الفوز. يُعدّ تحليل باسكال هنا من أوائل الأمثلة على استخدام القيم المتوقعة بدلًا من الاحتمالات عند التفكير في الاحتمالات. بعد ذلك بوقت قصير، أصبحت هذه الفكرة أساسًا لأول دراسة منهجية في الاحتمالات، وهي كتاب " De Ratiociniis in Ludo Aleae" عام 1657، لكريستيان هويغنز . ^{[ 5 ]} ناقش هويغنز صيغةً مختلفةً لمسألة النقاط، تُعرف الآن بمسألة إفلاس المقامر . ^{[ 6 ]} لاحقًا، نشأ المفهوم الحديث للاحتمالات من استخدام باسكال وهويغنز للقيم المتوقعة.

يُعدّ التطبيق المباشر لقاعدة باسكال التدريجية أسرع بكثير من طريقة فيرما عندما يتبقى عدد كبير من الجولات. مع ذلك، استطاع باسكال استخدامها كنقطة انطلاق لتطوير أساليب حسابية أكثر تقدماً. من خلال معالجة ذكية للمتطابقات التي تتضمن ما يُعرف اليوم بمثلث باسكال (بما في ذلك العديد من البراهين الصريحة الأولى بالاستقراء )، أثبت باسكال في النهاية أنه في لعبة يحتاج فيها اللاعب أ إلى ر نقطة للفوز، ويحتاج اللاعب ب إلى س نقطة للفوز، فإن التقسيم الصحيح للرهانات بين اللاعب أ (الجانب الأيسر) واللاعب ب (الجانب الأيمن) هو (باستخدام الترميز الحديث):

${\displaystyle \sum _{k=0}^{s-1}{\binom {r+s-1}{k}}{\mbox{$ }}\sum _{k=s}^{r+s-1}{\binom {r+s-1}{k}}} حيث${\displaystyle {\binom {r+s-1}{k}}}$يمثل المصطلح عامل التجميع .

أصبحت مشكلة تقسيم المخاطر مثالاً محفزاً رئيسياً لباسكال في كتابه "رسالة في المثلث الحسابي" عام 1665. ^{[ 4 ] [ 7 ]}

على الرغم من أن اشتقاق باسكال لهذه النتيجة كان مستقلاً عن طريقة فيرما الجدولية، فمن الواضح أنها تصف بدقة أيضًا حساب النتائج المختلفة لـ${\displaystyle r+s-1}$جولات إضافية اقترحها فيرما.