ميكانيكا هاميلتون

في الفيزياء ، تُعدّ الميكانيكا الهاميلتونية إعادة صياغة للميكانيكا اللاغرانجية التي ظهرت عام 1833. وقد قدّمها السير ويليام روان هاميلتون ، ^{[ 1 ]} وتحلّ الميكانيكا الهاميلتونية محلّ السرعات (المعمّمة). ${\dot {q}}^{i}$ تُستخدم في ميكانيكا لاغرانج مع الزخم (المعمم) . تقدم كلتا النظريتين تفسيرات للميكانيكا الكلاسيكية وتصفان نفس الظواهر الفيزيائية.

ترتبط ميكانيكا هاميلتون ارتباطًا وثيقًا بالهندسة (لا سيما الهندسة التبسيطية وهياكل بواسون ) وتعمل كحلقة وصل بين الميكانيكا الكلاسيكية والميكانيكا الكمية .

ملخص

إحداثيات فضاء الطور ( p ، q ) والهاميلتوني H

يترك $(M,{\mathcal {L}})$ أن يكون نظامًا ميكانيكيًا مع مساحة تكوين $M$ ولاغرانجي سلس ${\mathcal {L}}.$ اختر نظام إحداثيات قياسي $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ على حزمة المماس $TM.$ الكميات $\textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}$ تُسمى هذه الزخمات . (وتُسمى أيضًا الزخمات المعممة ، والزخمات المترافقة ، والزخمات القانونية ). للحظة زمنية $t,$ تحوّل ليجاندر ${\mathcal {L}}$ يُعرَّف بأنه الخريطة $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\to \left({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}\right)$ والذي يُفترض أن يكون له معكوس سلس $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).$ لنظام مع $n$ درجات الحرية، تحدد ميكانيكا لاغرانج دالة الطاقة $E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\mathcal {L}}.$

تحوّل ليجاندر ${\mathcal {L}}$ انعطف $E_{\mathcal {L}}$ إلى دالة ${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)$ المعروف باسمالهاميلتوني . الهاميلتوني يحقق ${\mathcal {H}}{\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}},{\boldsymbol {q}},t\right)}=E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$ مما يعني أن ${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t),$ حيث السرعات ${\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})$ يتم الحصول عليها من ( $n$ معادلة ذات أبعاد $\textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ والتي، بحسب الافتراض، قابلة للحل بشكل فريد لـ ${\boldsymbol {\dot {q}}}$ . الـ ( $2n$ زوج ذو أبعاد $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})$ تُسمى إحداثيات فضاء الطور . (وتُسمى أيضًا الإحداثيات الكنسية ).

من معادلة أويلر-لاغرانج إلى معادلات هاميلتون

في إحداثيات فضاء الطور $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})$ ، الـ ( $n$ معادلة أويلر-لاغرانج (ذات الأبعاد) ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}=0$ تصبح معادلات هاميلتون في $2n$ أبعاد

${\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.$

دليل

الهاميلتوني ${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})$ هو تحويل ليجندر للاغرانجي ${\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})$ وبالتالي يكون لدى المرء

{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})={\boldsymbol {p}}{\dot {\boldsymbol {q}}}

1

أين ${\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}$ .

عن طريق إعادة ترتيب المعادلة ${\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}$ يمكننا أن نكتب ${\dot {\boldsymbol {q}}}$ من ناحية ${\boldsymbol {q}}$ و ${\boldsymbol {p}}$ مثل ${\dot {\boldsymbol {q}}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})$ وبذلك يصبح العدد 1 معادلة بمتغيرين: ${\boldsymbol {q}}$ و ${\boldsymbol {p}}$ .

بأخذ المشتقة الجزئية لكلا طرفي المعادلة 1 بالنسبة إلى ${\boldsymbol {p}}$ (أي الاحتفاظ) ${\boldsymbol {q}}$ ثابت) يعطي ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}={\dot {\boldsymbol {q}}}+{\boldsymbol {p}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\implies {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}={\dot {\boldsymbol {q}}}$ بأخذ المشتقة الجزئية لكلا طرفي المعادلة 1 بالنسبة إلى ${\boldsymbol {q}}$ بدلاً من ذلك (أي الاحتفاظ) ${\boldsymbol {p}}$ ثابت) يعطي ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}={\boldsymbol {p}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\implies {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}},$

الآن، تُعطي معادلات أويلر-لاغرانج ${\dot {\boldsymbol {p}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.$

من مبدأ الفعل الثابت إلى معادلات هاميلتون

يترك ${\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ لتكن مجموعة المسارات الملساء ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M$ والتي ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ و ${\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.$ الوظيفة العملية ${\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ يتم تعريفها عبر ${\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)\right)\,dt,$ أين ${\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t)$ ، و ${\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}$ (انظر أعلاه). مسار ${\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ هي نقطة ثابتة لـ ${\mathcal {S}}$ (وبالتالي تكون معادلة حركة) إذا وفقط إذا كان المسار $({\boldsymbol {p}}(t),{\boldsymbol {q}}(t))$ في إحداثيات فضاء الطور، تخضع لمعادلات هاميلتون.

التفسير الفيزيائي الأساسي

يُمكن تفسير ميكانيكا هاميلتون ببساطة من خلال تطبيقها على نظام أحادي البعد يتكون من جسيم واحد غير نسبي كتلته $m$ . القيمة $H(p,q)$ تمثل طاقة النظام الكلية في دالة هاميلتون، وهي في هذه الحالة مجموع الطاقة الحركية والطاقة الكامنة ، ويُرمز لهما تقليديًا بـ $T$ و $V$ على التوالي. هنا $، p$ هو الزخم $mv$ و $q$ هو إحداثي الفضاء. ${\mathcal {H}}=T+V,\qquad T={\frac {p^{2}}{2m}},\qquad V=V(q)$ $T$ هي دالة لـ $p$ فقط، بينما $V$ هي دالة لـ $q$ فقط (أي أن $T$ و $V$ هما scleronomic ).

في هذا المثال، المشتق الزمني لـ $q$ هو السرعة، وبالتالي فإن معادلة هاميلتون الأولى تعني أن سرعة الجسيم تساوي مشتق طاقته الحركية بالنسبة لزخمه. أما المشتق الزمني للزخم $p$ فيساوي القوة النيوتونية ، وبالتالي فإن معادلة هاميلتون الثانية تعني أن القوة تساوي التدرج السالب لطاقة الوضع.

مثال

يتكون البندول الكروي من كتلة m تتحرك بدون احتكاك على سطح كرة . القوتان الوحيدتان المؤثرتان على الكتلة هما رد فعل الكرة والجاذبية . تُستخدم الإحداثيات الكروية لوصف موضع الكتلة بدلالة $(r, θ, φ)$ ، حيث $r$ ثابت، $r = ℓ$ .

دالة لاغرانج لهذا النظام هي ^{[ 2 ]} $L={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\varphi }}^{2}\right)+mg\ell \cos \theta .$

وبالتالي فإن الهاميلتوني هو $H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\varphi }{\dot {\varphi }}-L$ أين $P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=m\ell ^{2}{\dot {\theta }}$ و $P_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}.$ من حيث الإحداثيات والزخم، تُكتب معادلة هاميلتونيان على النحو التالي: ${\begin{aligned}H&=\underbrace {{\Bigl [}{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}{\Bigr ]}} _{T}+\underbrace {{\Bigl [}-mg\ell \cos \theta {\Bigr ]}} _{V}\\[2ex]&={\frac {P_{\theta }^{2}}{2m\ell ^{2}}}+{\frac {P_{\varphi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-mg\ell \cos \theta .\end{aligned}}$ تُعطي معادلات هاميلتون التطور الزمني للإحداثيات والزخم المترافق في أربع معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى، ${\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={P_{\theta } \over m\ell ^{2}}\\[6pt]{\dot {\varphi }}&={P_{\varphi } \over m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }\\[6pt]{\dot {P_{\theta }}}&={P_{\varphi }^{2} \over m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mg\ell \sin \theta \\[6pt]{\dot {P_{\varphi }}}&=0.\end{aligned}}$ الزخم $P_{\varphi }$ ، وهو ما يتوافق مع المكون الرأسي للزخم الزاوي $L_{z}=\ell \sin \theta \times m\ell \sin \theta \,{\dot {\varphi }}$ ، هو ثابت حركة. هذا نتيجة للتناظر الدوراني للنظام حول المحور الرأسي. وبما أنه غائب عن الهاميلتوني، فإن السمت $\varphi$ هو إحداثي دوري ، مما يعني حفظ الزخم المرافق له.

اشتقاق معادلات هاميلتون

يمكن اشتقاق معادلات هاميلتون عن طريق حساب باستخدام لاغرانجيان ${\mathcal {L}}$ ، والمواضع المعممة $q i$ ، والسرعات المعممة $\cdot q i$ ، حيث $i=1,\ldots ,n$ [ ³^{] هنا} نعمل خارج الصدفة ،أي $q^{i}$ ، ${\dot {q}}^{i}$ ، $t$ هي إحداثيات مستقلة في فضاء الطور، غير مقيدة باتباع أي معادلات حركة (على وجه الخصوص، ${\dot {q}}^{i}$ ليس مشتقًا من $q^{i}$ ) . التفاضل الكلي للدالة اللاغرانجية هو: $\mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\,\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$ تم تعريف إحداثيات الزخم المعممة على النحو التالي : $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}$ لذلك يمكننا إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي: ${\begin{aligned}\mathrm {d} {\mathcal {L}}=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\\=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} (p_{i}{\dot {q}}^{i})-{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,.\end{aligned}}$

بعد إعادة الترتيب، نحصل على: $\mathrm {d} \!\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$

الحد الموجود بين قوسين على الجانب الأيسر هو ببساطة الهاميلتوني ${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$ وبالتالي، كما هو موضح سابقاً: $\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$

يمكن أيضًا حساب التفاضل الكلي للهاميلتوني ${\mathcal {H}}$ فيما يتعلق بالإحداثيات $q^{i}$ ، $p_{i}$ ، $t$ بدلاً من $q^{i}$ ، ${\dot {q}}^{i}$ ، $t$ ، مما ينتج عنه: $\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$

يمكن الآن مساواة هذين التعبيرين بـ ⁠ $d{\mathcal {H}}$ ، واحد من حيث ${\mathcal {L}}$ ⁠ ، والآخر من حيث ⁠ ${\mathcal {H}}$ ⁠ : $\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ =\ \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$

بما أن هذه الحسابات خارج نطاق الغلاف، يمكن مساواة المعاملات الخاصة بـ ⁠ $\mathrm {d} q^{i}$ ، $\mathrm {d} p_{i}$ ، $\mathrm {d} t$ على الجانبين: ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}\ .$

في غلاف البرنامج، يتم استبدال الدوال البارامترية $q^{i}=q^{i}(t)$ والتي تحدد مسارًا في فضاء الطور بسرعات ${\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)$ ، وفقًا لمعادلات لاغرانج : ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0\ .$

إعادة الترتيب والكتابة من حيث الغلاف $p_{i}=p_{i}(t)$ أعطِ: ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}\ .$

وبالتالي فإن معادلات لاغرانج مكافئة لمعادلات هاميلتون: ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\dot {p}}_{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,.$

في حالة المتغيرات غير المعتمدة على الزمن ${\mathcal {H}}$ و ${\mathcal {L}}$ ، أي $\partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0$ تتألف معادلات هاميلتون من 2 $^n$ معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى، بينما تتألف معادلات لاغرانج من $n$ معادلة من الرتبة الثانية. لا تُسهّل معادلات هاميلتون عادةً إيجاد حلول صريحة، ولكن يمكن استخلاص نتائج نظرية مهمة منها، لأن الإحداثيات والزخم متغيرات مستقلة ذات أدوار متناظرة تقريبًا.

تتمتع معادلات هاميلتون بميزة أخرى على معادلات لاغرانج: إذا كان للنظام تناظر، بحيث يكون لبعض الإحداثيات $q_{i}$ لا يظهر في الهاميلتوني (أي إحداثي دوري )، إحداثي الزخم المقابل $p_{i}$ يُحفظ هذا الإحداثي على طول كل مسار، ويمكن اختزاله إلى ثابت في المعادلات الأخرى للمجموعة. هذا يُختزل المسألة فعليًا من $n$ إحداثيًا إلى $(n - 1)$ إحداثيًا: وهذا هو أساس الاختزال التبسيطي في الهندسة. في إطار لاغرانج، يتبع حفظ الزخم مباشرةً أيضًا، ومع ذلك، فإن جميع السرعات المعممة ${\dot {q}}_{i}$ لا تزال تحدث في لاغرانجيان، ولا يزال يتعين حل نظام المعادلات في إحداثيات $n .$ ^{[ 4 ]}

توفر مناهج لاغرانج وهاملتون الأساس لنتائج أعمق في الميكانيكا الكلاسيكية، وتقترح صياغات مماثلة في ميكانيكا الكم : صياغة التكامل المساري ومعادلة شرودنغر .

خصائص الهاميلتوني

قيمة الهاميلتوني ${\mathcal {H}}$ تكون الطاقة الكلية للنظام إذا وفقط إذا كانت دالة الطاقة $E_{\mathcal {L}}$ له نفس الخاصية. (انظر تعريف ⁠ ${\mathcal {H}}$ ) .
${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}$ عندما $\mathbf {p} (t)$ ، $\mathbf {q} (t)$ ⁠ تشكيل حل لمعادلات هاميلتون.
بالفعل، ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ وكل شيء ما عدا الحد الأخير يلغي بعضه بعضاً.
${\mathcal {H}}$ لا يتغير تحت التحويلات النقطية ، أي التغييرات السلسة ${\boldsymbol {q}}\leftrightarrow {\boldsymbol {q'}}$ إحداثيات الفضاء. (ينتج ذلك عن ثبات دالة الطاقة) $E_{\mathcal {L}}$ تحت تحويلات النقطة. ثبات $E_{\mathcal {L}}$ (يمكن تحديد ذلك مباشرة).
${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.$ (انظر § اشتقاق معادلات هاميلتون ).
⁠ $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}$ . (قارن بين معادلات هاميلتون ومعادلات أويلر-لاغرانج أو انظر § اشتقاق معادلات هاميلتون ).
${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=0$ إذا وفقط إذا ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0$ ⁠ .
يُطلق على الإحداثي الذي تتحقق عنده المعادلة الأخيرة اسم الإحداثي الدوري (أو الإحداثي القابل للإهمال ). كل إحداثي دوري $q^{i}$ يقلل عدد درجات الحرية بمقدار $1$ ، مما يؤدي إلى الزخم المقابل $p_{i}$ للحفاظ عليها، مما يجعل حل معادلات هاميلتون أسهل .

الهاميلتوني باعتباره طاقة النظام الكلية

عند تطبيقها على نظام معين، غالباً ما يُفترض أن الهاميلتوني ${\mathcal {H}}=T+V$

أين $T$ هي الطاقة الحركية و $V$ تمثل طاقة الوضع. قد يكون استخدام هذه العلاقة أبسط من حساب لاغرانجيان أولاً، ثم اشتقاق هاميلتونيان منه. مع ذلك، لا تنطبق هذه العلاقة على جميع الأنظمة.

تكون العلاقة صحيحة بالنسبة للأنظمة غير النسبية عندما يتم استيفاء جميع الشروط التالية ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} ${\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i$ ${\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0$ $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}$

أين $t$ حان الوقت، $n$ يمثل عدد درجات حرية النظام، وكل منها $c_{ij}({\boldsymbol {q}})$ هي دالة قياسية اختيارية لـ ${\boldsymbol {q}}$ .

بعبارة أخرى، هذا يعني أن العلاقة ${\mathcal {H}}=T+V$ ينطبق هذا إذا $T$ لا يحتوي على الوقت كمتغير صريح (فهو ثابت )، $V$ لا يحتوي على السرعة المعممة كمتغير صريح، وكل حد من حدود $T$ هي دالة تربيعية في السرعة المعممة.

دليل

قبل البدء بهذا البرهان، من المهم معالجة غموض في الرموز الرياضية ذات الصلة. فبينما يمكن استخدام تغيير المتغيرات لمساواة ${\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)={\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$ من المهم ملاحظة أن ${\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\neq {\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$ في هذه الحالة، يكون الطرف الأيمن دائمًا مساويًا للصفر. ولإجراء تغيير في المتغيرات داخل مشتقة جزئية، يجب استخدام قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات . لذا، لتجنب أي لبس، يجب تحديد وسائط الدالة لأي حد داخل المشتقة الجزئية.

بالإضافة إلى ذلك، يستخدم هذا البرهان الترميز $f(a,b,c)=f(a,b)$ للإشارة إلى أن ${\frac {\partial f(a,b,c)}{\partial c}}=0$ .

دليل

انطلاقاً من تعريفات الهاميلتوني، والزخم المعمم، واللاغرانجي لـ $n$ نظام درجات الحرية ${\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}p_{i}{\dot {q}}_{i}{\biggr )}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$ $p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$ ${\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$

باستبدال الزخم المعمم في الهاميلتوني نحصل على ${\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$

باستبدال دالة لاغرانج في النتيجة نحصل على ${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-\left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)+V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\end{aligned}}$

والآن افترض أن ${\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i$

وافترض أيضًا أن ${\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0$

يؤدي تطبيق هذه الافتراضات إلى ${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}$

لنفترض الآن أن T على الشكل التالي $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}$

حيث كل $c_{ij}({\boldsymbol {q}})$ هي دالة قياسية اختيارية لـ ${\boldsymbol {q}}$ .

تمييز هذا فيما يتعلق بـ ${\dot {q}}_{l}$ ، $l\in [1,n]$ ، يعطي ${\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}{\frac {\partial \left[c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\end{aligned}}$

بتقسيم المجموع، وتقييم المشتقة الجزئية، وإعادة ضم المجموع، نحصل على ${\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}^{2}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}\\&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}0{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}+2c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}$

الجمع (هذا مضروبًا في ${\dot {q}}_{l}$ ) زيادة $l$ النتائج في ${\begin{aligned}\sum _{l=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\dot {q}}_{l}\right)&=\sum _{l=1}^{n}\left(\left(\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\right){\dot {q}}_{l}\right)\\&=\sum _{l=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\end{aligned}}$

هذا التبسيط هو نتيجة لنظرية أويلر للدالة المتجانسة .

وبالتالي، يصبح الهاميلتوني ${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}$

تطبيق على أنظمة الكتل النقطية

بالنسبة لنظام من الكتل النقطية، فإن شرط $T$ يتحقق شرط أن تكون الدالة تربيعية في السرعة المعممة دائمًا في الحالة التي $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ وهو شرط لـ ${\mathcal {H}}=T+V$ على أي حال.

دليل

لنفترض الطاقة الحركية لنظام مكون من N كتلة نقطية. إذا افترضنا أن $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ ، عندئذٍ يمكن إثبات أن ${\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ (انظر قسم التطبيقات في تصلب الجلد ). لذلك، فإن الطاقة الحركية هي $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\biggl (}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}){\biggr )}$

يمكن استخدام قاعدة السلسلة للعديد من المتغيرات لتوسيع السرعة ${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {d\mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{dt}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\end{aligned}}$

مما أدى إلى ${\begin{aligned}T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(m_{k}\left(\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\cdot \sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\right)\right)\right)\\&=\sum _{k=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}$

هذا بالشكل المطلوب.

حفظ الطاقة

إذا كانت شروط ${\mathcal {H}}=T+V$ إذا تحققت الشروط، فإن حفظ الهاميلتوني يستلزم حفظ الطاقة. وهذا يتطلب شرطًا إضافيًا هو $V$ لا يحتوي على الوقت كمتغير صريح.

${\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0$

باختصار، متطلبات ${\mathcal {H}}=T+V={\text{constant of time}}$ يجب استيفاء الشروط التالية لنظام غير نسبي: ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

$V=V({\boldsymbol {q}})$
$T=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$
$T$ هي دالة تربيعية متجانسة في ${\boldsymbol {\dot {q}}}$

فيما يتعلق بتوسيعات صيغة أويلر-لاغرانج التي تستخدم دوال التبديد (انظر ميكانيكا لاغرانج، قسم التوسعات لتضمين القوى غير المحافظة )، مثل دالة تبديد رايلي ، فإن الطاقة لا تُحفظ عند وجود دالة تبديد. ويمكن تفسير العلاقة بين هذا والمتطلبات السابقة بربط معادلات أويلر-لاغرانج الموسعة والتقليدية: فتجميع الحدود الموسعة في دالة الجهد ينتج عنه جهد يعتمد على السرعة. وبالتالي، لا تتحقق المتطلبات عند وجود دالة تبديد.

هاميلتونيان جسيم مشحون في مجال كهرومغناطيسي

يُقدّم هاميلتونيان جسيم مشحون في مجال كهرومغناطيسي مثالًا كافيًا على ميكانيكا هاميلتون . في الإحداثيات الديكارتية، يكون لاغرانجيان جسيم كلاسيكي غير نسبي في مجال كهرومغناطيسي ( بوحدات النظام الدولي للوحدات ): ${\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi ,$ حيث $q$ هي الشحنة الكهربائية للجسيم، $وφ$ هو الجهد الكهربائي القياسي ، و $A i$ هي مركبات الجهد المغناطيسي الشعاعي التي قد تعتمد جميعها بشكل صريح على $x_{i}$ و $t$ ⁠ .

ينتج عن هذا اللاغرانجي، بالإضافة إلى معادلة أويلر-لاغرانج ، قانون قوة لورنتز $m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,$ ويسمى ذلك الاقتران الأدنى .

يتم إعطاء الزخم الكنسي بواسطة: $p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}.$

وبالتالي ، فإن الهاميلتوني، باعتباره تحويل ليجندر للاغرانجي، هو: ${\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi .$

تُستخدم هذه المعادلة بشكل متكرر في ميكانيكا الكم .

التحويل تحت المقياس : $\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,$ حيث $f (r, t)$ هي أي دالة قياسية للمكان والزمان. وتتحول دالة لاغرانج المذكورة، والزخم الكنسي، ودالة هاميلتون كما يلي: $L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,$ والتي لا تزال تنتج نفس معادلة هاميلتون: ${\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}$

في ميكانيكا الكم، ستخضع الدالة الموجية أيضًا لتحويل مجموعة U(1) المحلية ^[⁷^] أثناء تحويل القياس، مما يعني أن جميع النتائج الفيزيائية يجب أن تكون ثابتة تحت تحويلات U(1) المحلية.

من الهندسة التبسيطية إلى معادلات هاميلتون

هندسة الأنظمة الهاميلتونية

يمكن للهاميلتوني أن يحفز بنية تماثلية على مشعب سلس ذي أبعاد زوجية $M 2 n$ بعدة طرق متكافئة، وأفضلها المعروفة هي التالية: ^{[ 8 ]}

باعتبارها شكلاً تماثلياً مغلقاً غير منحل من الرتبة الثانية ω . وفقاً لنظرية داربو ، في جوار صغير حول أي نقطة على $M$ توجد إحداثيات محلية مناسبة. $p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}$ ( الإحداثيات الكنسية أو التبسيطية ) التي يصبح فيها الشكل التبسيطي: $\omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}\,.$ النموذج $\omega$ يُحدث تماثلاً طبيعياً بين الفضاء المماسي والفضاء المماسي المرافق : $T_{x}M\cong T_{x}^{*}M$ يتم ذلك عن طريق رسم متجه $\xi \in T_{x}M$ إلى النموذج 1 $\omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M$ ، حيث $\omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi )$ للجميع $\eta \in T_{x}M$ بسبب الخطية الثنائية وعدم الانحلال لـ $\omega$ ، وحقيقة أن $\dim T_{x}M=\dim T_{x}^{*}M$ ، عملية التخطيط $\xi \to \omega _{\xi }$ هو بالفعل تماثل خطي . هذا التماثل طبيعي لأنه لا يتغير بتغير الإحداثيات على $M.$ تكرار على الكل $x\in M$ ، ينتهي بنا الأمر إلى تماثل $J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)$ بين الفضاء اللانهائي الأبعاد لحقول المتجهات الملساء وفضاء الأشكال التفاضلية الملساء من الدرجة الأولى. لكل $f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ و $\xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M)$ ، $J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).$

(بمعنى جبري، يمكن القول أن $C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ -الوحدات ${\text{Vect}}(M)$ و $\Omega ^{1}(M)$ متماثلة). إذا $H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} )$ إذن ، لكل قيمة ثابتة $t\in \mathbb {R} _{t}$ ، $dH\in \Omega ^{1}(M)$ و $J(dH)\in {\text{Vect}}(M)$ ⁠ . $J(dH)$ يُعرف هذا باسم حقل متجه هاميلتوني . المعادلة التفاضلية المقابلة على $M$ ${\dot {x}}=J(dH)(x)$ تُسمى هذه المعادلة معادلة هاميلتون . هنا $x=x(t)$ و $J(dH)(x)\in T_{x}M$ هي القيمة (المتغيرة مع الزمن) لحقل المتجهات $J(dH)$ في $x\in M$ ⁠ .

يمكن فهم النظام الهاميلتوني على أنه حزمة ليفية $E$ على الزمن $R$ ، حيث تمثل الحزمة الليفية $E t$ فضاء الموضع عند الزمن $t \in R.$ وبالتالي، فإن دالة لاغرانج هي دالة على حزمة النفاثات $J$ على $E$ ؛ وبأخذ تحويل ليجندر الليفي لدالة لاغرانج، نحصل على دالة على الحزمة الثنائية على الزمن، حيث تمثل الحزمة الليفية عند $t$ فضاء المماس المرافق $T * E t$ ، والذي يأتي مزودًا بصيغة تماثلية طبيعية ، وهذه الدالة الأخيرة هي دالة هاميلتون. ويتحقق التوافق بين ميكانيكا لاغرانج وميكانيكا هاميلتون باستخدام الصيغة التفاضلية الأحادية التكرارية .

يمكن استخدام أي دالة حقيقية سلسة H على مشعب تماثلي لتعريف نظام هاميلتوني . تُعرف الدالة H باسم "الهاميلتوني" أو "دالة الطاقة". يُطلق على المشعب التماثلي حينها اسم فضاء الطور . يُنشئ الهاميلتوني حقلًا متجهيًا خاصًا على المشعب التماثلي، يُعرف باسم حقل متجه الهاميلتوني .

يُحدث حقل المتجهات الهاميلتوني تدفقًا هاميلتونيًا على المتشعب. وهو عبارة عن عائلة من التحويلات ذات مُعامل واحد على المتشعب (يُطلق على مُعامل المنحنيات عادةً اسم "الزمن")؛ أي تماثل طوبولوجي للتشاكلات التبسيطية ، بدءًا من التماثل. وبحسب نظرية ليوفيل ، يحافظ كل تشاكل تبسيطي على شكل الحجم في فضاء الطور . وتُسمى مجموعة التشاكلات التبسيطية الناتجة عن التدفق الهاميلتوني عادةً "الميكانيكا الهاميلتونية" للنظام الهاميلتوني.

يُنتج التركيب التبادلي قوس بواسون . ويعطي قوس بواسون فضاء الدوال على المتشعب بنية جبر لي .

إذا كانت $F$ و $G$ دالتين سلسلتين على $M،$ فإن الدالة السلسة $ω (J (dF), J (dG))$ تكون معرفة بشكل صحيح؛ وتُسمى قوس بواسون للدالتين $F$ و $G$ ويُرمز لها $بـ {F, G}$ . يتميز قوس بواسون بالخصائص التالية:

الخطية الثنائية
التناظر العكسي
قاعدة لايبنتز : $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$
هوية جاكوبي : $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$
عدم الانحلال: إذا لم تكن النقطة $x$ على $M حرجة بالنسبة لـ$ $F،$ فإن دالة ملساء $G$ موجودة بحيث $\{F,G\}(x)\neq 0$ ⁠ .

بفرض دالة $f$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},$ إذا كان هناك توزيع احتمالي $ρ$ ، فإن (بما أن سرعة فضاء الطور $({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})$ (لها تباعد صفري والاحتمالية محفوظة) يمكن إثبات أن مشتقتها الحملية تساوي صفرًا، وبالتالي ${\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}$

يُطلق على هذا اسم نظرية ليوفيل . كل دالة ملساء $G$ على مشعب سيمبلكتيكي تولد عائلة ذات معلمة واحدة من التماثلات السيمبلكتية ، وإذا كانت ${G, H} = 0$ ، فإن $G$ محفوظة والتماثلات السيمبلكتية هي تحويلات تناظرية .

قد يحتوي الهاميلتوني على عدة كميات محفوظة $Gi .$ إذا كان للمتشعب التبسيطي بُعد $2n ،$ وكان هناك $n$ كمية محفوظة $Gi مستقلة وظيفيًا ،$ وهي في حالة انعكاس (أي ${Gi, Gj} = 0$ )، فإن الهاميلتوني يكون قابلاً للتكامل وفقًا لنظرية ليوفيل . تنص نظرية ليوفيل-أرنولد على أنه، محليًا، يمكن تحويل أي هاميلتوني قابل للتكامل وفقًا $لنظرية$ ليوفيل، عبر تحويل تبسيطي، إلى هاميلتوني جديد تكون فيه الكميات المحفوظة $Gi بمثابة$ إحداثيات؛ وتُسمى هذه الإحداثيات الجديدة إحداثيات الفعل والزاوية . يعتمد الهاميلتوني المُحوَّل فقط على $Gi ،$ وبالتالي فإن معادلات الحركة تأخذ الشكل البسيط التالي: ${\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)$ بالنسبة لبعض الدوال $F.$ [ ⁹^] هناك مجال كامل يركز على الانحرافات الصغيرة عن الأنظمة القابلة للتكامل التي تحكمها ^نظرية KAM .

تُعدّ قابلية تكامل حقول المتجهات الهاميلتونية مسألة مفتوحة. وبشكل عام، تتسم الأنظمة الهاميلتونية بالفوضى ؛ كما أن مفاهيم القياس والكمال وقابلية التكامل والاستقرار غير محددة بدقة.

مشعبات ريمان

تتمثل إحدى الحالات الخاصة المهمة في تلك الهاميلتونيات التي هي أشكال تربيعية ، أي الهاميلتونيات التي يمكن كتابتها على النحو التالي ${\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}$ حيث $⟨ , ⟩ q$ هو حاصل ضرب داخلي متغير بسلاسة على الألياف $T * q Q$ ، وهو فضاء المماس المشترك للنقطة $q$ في فضاء التكوين ، والذي يُسمى أحيانًا فضاء المماس المشترك. يتكون هذا الهاميلتوني بالكامل من الحد الحركي.

إذا نظرنا إلى مشعب ريماني أو مشعب شبه ريماني ، فإن المقياس الريماني يُنشئ تماثلًا خطيًا بين حزمتي المماس والمماس المرافق. (انظر: التماثل الموسيقي ). باستخدام هذا التماثل، يُمكن تعريف مقياس مشترك. (في الإحداثيات، تكون المصفوفة التي تُعرّف المقياس المشترك هي معكوس المصفوفة التي تُعرّف المقياس). حلول معادلات هاميلتون-جاكوبي لهذا الهاميلتوني هي نفسها حلول الخطوط الجيوديسية على المشعب. على وجه الخصوص، يكون التدفق الهاميلتوني في هذه الحالة هو نفسه التدفق الجيوديسي . يُناقش وجود هذه الحلول، واكتمال مجموعة الحلول، بالتفصيل في مقالة الخطوط الجيوديسية . انظر أيضًا: الخطوط الجيوديسية كتدفقات هاميلتونية .

مشعبات شبه ريمانية

عندما يكون المقياس المشترك متدهورًا، فإنه غير قابل للعكس. في هذه الحالة، لا يوجد لدينا مشعب ريماني، لعدم وجود مقياس. ومع ذلك، يظل الهاميلتوني موجودًا. في حالة تدهور المقياس المشترك عند كل نقطة $q$ من فضاء التكوين $Q$ ، بحيث تكون رتبة المقياس المشترك أقل من بُعد المشعب $Q$ ، يكون لدينا مشعب شبه ريماني .

يُعرف الهاميلتوني في هذه الحالة باسم هاميلتوني شبه ريماني . يُحدد كل هاميلتوني من هذا النوع المقياس المشترك بشكل فريد، والعكس صحيح. هذا يعني أن كل مشعب شبه ريماني يُحدد بشكل فريد بواسطة هاميلتونيه شبه الريماني، وأن العكس صحيح: لكل مشعب شبه ريماني هاميلتوني شبه ريماني فريد. يُثبت وجود الجيوديسيات شبه الريمانية من خلال نظرية تشاو-راشيفسكي .

تُقدّم زمرة هايزنبرغ المستمرة ذات القيم الحقيقية مثالًا بسيطًا على مشعب شبه ريماني. بالنسبة لزمرة هايزنبرغ، يُعطى الهاميلتوني بالصيغة التالية: ${\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right).$ $لا يشارك p z$ في الهاميلتوني.

جبر بواسون

يمكن تعميم الأنظمة الهاميلتونية بطرقٍ متعددة. فبدلاً من الاقتصار على دراسة جبر الدوال الملساء على مشعب تماثلي ، يمكن صياغة الميكانيكا الهاميلتونية على جبر بواسون الحقيقي التبادلي العام . الحالة هي دالة خطية متصلة على جبر بواسون (مزودة بطوبولوجيا مناسبة ) بحيث يكون لأي عنصر $A$ $من$ الجبر، يُقابل $A²$ عددًا حقيقيًا غير سالب.

ويُقدم تعميم آخر من خلال ديناميكيات نامبو .

تعميم ميكانيكا الكم من خلال قوس بواسون

تُناسب معادلات هاميلتون المذكورة أعلاه الميكانيكا الكلاسيكية ، لكنها لا تُناسب ميكانيكا الكم ، إذ تفترض المعادلات التفاضلية المذكورة إمكانية تحديد الموضع والزخم الدقيقين للجسيم في آنٍ واحد عند أي لحظة زمنية. مع ذلك، يُمكن تعميم هذه المعادلات لتشمل ميكانيكا الكم كما تشمل الميكانيكا الكلاسيكية، وذلك بتحويل جبر بواسون على $p$ و $q$ إلى جبر أقواس مويال .

وبالتحديد، فإن الصيغة الأكثر عمومية لمعادلة هاميلتون هي: ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}},$ حيث $f$ دالة ما لـ $p$ و $q$ ، و H هي دالة هاميلتون. لمعرفة قواعد حساب قوس بواسون دون اللجوء إلى المعادلات التفاضلية، انظر جبر لي ؛ قوس بواسون هو اسم قوس لي في جبر بواسون . يمكن بعد ذلك توسيع أقواس بواسون هذه إلى أقواس مويال التي تتوافق مع جبر لي غير مكافئ، كما أثبت هيلبراند ج. غرونيفولد ، وبالتالي وصف الانتشار الكمي في فضاء الطور (انظر صياغة فضاء الطور وتحويل ويغنر-ويل ). لا يسمح هذا النهج الجبري بتوسيع توزيعات الاحتمال في فضاء الطور إلى توزيعات شبه احتمالية ويغنر فحسب ، بل يوفر أيضًا، في الإطار الكلاسيكي لقوس بواسون، قدرة أكبر في تحليل الكميات المحفوظة ذات الصلة في النظام.

انظر أيضاً

مراجع

↑ هاميلتون، ويليام روان، السير (1833). حول طريقة عامة للتعبير عن مسارات الضوء والكواكب بمعاملات دالة مميزة . طُبع بواسطة بي دي هاردي. OCLC 68159539 . {{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
↑ لاندو وليفشيتز 1976 ، ص 33-34
↑ هذا الاشتقاق يتماشى مع ما ورد في أرنولد 1989 ، الصفحات 65-66
↑ غولدشتاين، بول وسافكو 2002 ، الصفحات 347-349
1 2 مالهام 2016 ، ص 49-50
1 2 لاندو وليفشيتز 1976 ، ص 14
^ زين جاستن، جان؛ غويدا ، ريكاردو (2008-12-04). "قياس الثبات" . سكولاربيديا . 3 (12): 8287. بيب كود : 2008SchpJ...3.8287Z . دوى : 10.4249/scholarpedia.8287 . ردمك 1941-6016 .
↑ Arnol'd, Kozlov & Neĩshtadt 1988 , §3. الميكانيكا الهاميلتونية.
^ أرنولد، كوزلوف ونيشتات 1988

للمزيد من القراءة

لاندو، ليف دافيدوفيتش ؛ ليفشيتز، يفغيني ميخائيلوفيتش (1976). الميكانيكا . سلسلة الفيزياء النظرية . المجلد 1. سايكس، جيه بي (جون برادبري)، بيل، جيه إس ( الطبعة الثالثة). أكسفورد. ISBN 0-08-021022-8. OCLC 2591126 . {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
أبراهام، ر.؛ مارسدن ، ج. إي. (1978). أسس الميكانيكا (الطبعة الثانية، منقحة، موسعة، ومُعاد طباعتها). ريدينغ، ماساتشوستس: دار بنجامين/كومينغز للنشر. ISBN 0-8053-0102-X. OCLC 3516353 .
أرنولد, السادس ; كوزلوف، ف.ف. نيشتات، منظمة العفو الدولية (1988). “الجوانب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية والسماوية”. موسوعة العلوم الرياضية، الأنظمة الديناميكية III . المجلد. 3. أنوسوف، DV برلين: Springer-Verlag. رقم ISBN 0-387-17002-2. OCLC 16404140 .
أرنولد، السادس (1989). الأساليب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-96890-3. OCLC 18681352 .
جولدشتاين، هربرت ؛ بول، تشارلز ب. الابن ؛ سافكو، جون ل. (2002). الميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الثالثة). سان فرانسيسكو: أديسون ويسلي. ISBN 0-201-31611-0. OCLC 47056311 .
فينوغرادوف، أ.م .؛ كوبرشميدت، ب.أ. (31 أغسطس/آب 1977). "بنية الميكانيكا الهاميلتونية" . المسوحات الرياضية الروسية . 32 (4): 177-243 . Bibcode : 1977RuMaS..32..177V . doi : 10.1070/RM1977v032n04ABEH001642 . ISSN 0036-0279 . S2CID 250805957 .

روابط خارجية

بيني، جيمس ج. ، الميكانيكا الكلاسيكية (ملاحظات المحاضرات) (ملف PDF) ، جامعة أكسفورد ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 أكتوبر 2010
تونغ، ديفيد ، الديناميكا الكلاسيكية (محاضرات كامبريدج) ، جامعة كامبريدج ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 أكتوبر 2010
هاميلتون، ويليام روان ، حول منهج عام في الديناميكا ، كلية ترينيتي دبلن
مالهام، سيمون جيه إيه (2016)، مقدمة في ميكانيكا لاغرانج وهاملتون (ملاحظات المحاضرة) (PDF)
مورين، ديفيد (2008)، مقدمة في الميكانيكا الكلاسيكية (مادة إضافية: طريقة هاميلتونيان) (PDF)

[1] هاميلتون، ويليام روان، السير (1833). حول طريقة عامة للتعبير عن مسارات الضوء والكواكب بمعاملات دالة مميزة . طُبع بواسطة بي دي هاردي. OCLC 68159539 . {{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

[2] لاندو وليفشيتز 1976 ، ص 33-34

[3] هذا الاشتقاق يتماشى مع ما ورد في أرنولد 1989 ، الصفحات 65-66

[Goldstein-4] غولدشتاين، بول وسافكو 2002 ، الصفحات 347-349

[Malham2016-5] 1 2 مالهام 2016 ، ص 49-50

[Landau1976-6] 1 2 لاندو وليفشيتز 1976 ، ص 14

[7] زين جاستن، جان؛ غويدا ، ريكاردو (2008-12-04). "قياس الثبات" . سكولاربيديا . 3 (12): 8287. بيب كود : 2008SchpJ...3.8287Z . دوى : 10.4249/scholarpedia.8287 . ردمك 1941-6016 .

[FOOTNOTEArnol'dKozlovNeĩshtadt1988§3._Hamiltonian_mechanics-8] Arnol'd, Kozlov & Neĩshtadt 1988 , §3. الميكانيكا الهاميلتونية.

[9] أرنولد، كوزلوف ونيشتات 1988

[ 1 ]

[ 2 ]

3

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[ 8 ]

9

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗