الحد الأدنى من الاقتران

في الإحداثيات الديكارتية ، يكون لاغرانجيان جسيم كلاسيكي غير نسبي في مجال كهرومغناطيسي ( بوحدات النظام الدولي للوحدات ):

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi }$

حيث q هي الشحنة الكهربائية للجسيم، وφ هو الجهد الكهربائي القياسي ، و A _i ، حيث i = 1، 2، 3 ، هي مركبات الجهد المغناطيسي الشعاعي التي قد تعتمد جميعها بشكل صريح على${\displaystyle x_{i}}$و${\displaystyle t}$.

ينتج عن هذا اللاغرانجي، بالإضافة إلى معادلة أويلر-لاغرانج ، قانون قوة لورنتز

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}$

ويسمى هذا الاقتران الأدنى.

لاحظ أن قيم الجهد القياسي والجهد المتجهي ستتغير أثناء تحويل القياس ، ^{[ 1 ]} وسيلتقط لاغرانجيان نفسه حدودًا إضافية أيضًا، لكن الحدود الإضافية في لاغرانجيان تصل إلى مشتق زمني إجمالي لدالة قياسية، وبالتالي لا تزال تنتج نفس معادلة أويلر-لاغرانج.

يتم إعطاء الزخم الكنسي بواسطة

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}}$

لاحظ أن الزخم الكنسي ليس ثابتًا بالنسبة للمقياس ، ولا يمكن قياسه فيزيائيًا. ومع ذلك، فإن الزخم الحركي

${\displaystyle P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}}$

هي غير متغيرة باختلاف المقياس وقابلة للقياس المادي.

وبالتالي فإن الهاميلتوني ، باعتباره تحويل ليجندر للاغرانجي، هو

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi }$

تُستخدم هذه المعادلة بشكل متكرر في ميكانيكا الكم .

في ظل تحويل القياس،

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}$

حيث f ( r , t ) هي أي دالة قياسية للمكان والزمان، واللاغرانجية المذكورة سابقًا، والزخم الكنسي، وتحويل هاميلتوني مثل

${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$

والتي لا تزال تنتج نفس معادلة هاميلتون:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}$

في ميكانيكا الكم، ستخضع الدالة الموجية أيضًا لتحويل مجموعة U(1) المحلية ^{[ 2 ]} أثناء تحويل القياس، مما يعني أن جميع النتائج الفيزيائية يجب أن تكون ثابتة تحت تحويلات U(1) المحلية.

يُعطى لاغرانجيان النسبية لجسيم ( كتلة سكون m وشحنة q ) بالصيغة التالية :

${\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}$

وبالتالي فإن الزخم الكنسي للجسيم هو

${\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }$

أي مجموع الزخم الحركي والزخم الكامن.

وبحل المعادلة لإيجاد السرعة، نحصل على

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}}$

إذن، الهاميلتوني هو

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi }$

ينتج عن ذلك معادلة القوة (المكافئة لمعادلة أويلر-لاغرانج )

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$

والتي يمكن للمرء أن يستنتج منها

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

يعتمد الاشتقاق أعلاه على متطابقة حساب المتجهات :

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} ).}$

التعبير المكافئ للهاميلتوني كدالة للزخم النسبي (الحركي)، P = γm ẋ ( t ) = p - q A ، هو

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}$

يتميز هذا بإمكانية قياس الزخم الحركي P تجريبياً، بينما لا يمكن قياس الزخم الكنسي p . لاحظ أن الهاميلتوني ( الطاقة الكلية ) يُمكن اعتباره مجموع الطاقة النسبية (الحركية + السكونية) ، E = γmc² ، بالإضافة إلى طاقة الوضع ، V = ^eφ .