وظيفة مستمرة

يمكن تمثيل الدالة الحقيقية (أي الدالة التي تربط الأعداد الحقيقية بالأعداد الحقيقية) برسم بياني في المستوى الإحداثي الديكارتي ؛ وتكون هذه الدالة متصلة إذا كان الرسم البياني، بشكل عام، عبارة عن منحنى واحد متصل مجاله هو خط الأعداد الحقيقية بأكمله. ويرد أدناه تعريف أكثر دقة من الناحية الرياضية.

يُعرَّف اتصال الدوال الحقيقية عادةً بدلالة النهايات . تكون الدالة f ذات المتغير x متصلة عند العدد الحقيقي c إذا كانت نهاية f(x) عند x تساوي 1.${\displaystyle f(x),}$عندما يقترب x من c ، يكون مساوياً لـ${\displaystyle f(c).}$

توجد عدة تعريفات مختلفة لاستمرارية الدالة (العالمية)، والتي تعتمد على طبيعة مجالها .

تكون الدالة متصلة على فترة مفتوحة إذا (1) كانت الفترة محتواة في مجال الدالة، و(2) كانت الدالة متصلة عند كل نقطة في الفترة. الدالة المتصلة على الفترة${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$يُطلق على خط الأعداد الحقيقية بأكمله اسم الدالة المتصلة؛ ويُقال أيضاً إن هذه الدالة متصلة في كل مكان . على سبيل المثال، جميع الدوال متعددة الحدود متصلة في كل مكان.

A function is continuous on a semi-open or a closed interval if (1) the interval is contained in the function's domain, (2) the function is continuous at every point in the interval, and (3) the function is continuous at the closed endpoints—that is, technically, the value of the function at a closed endpoint equals the limit of the values of the function as the variable approaches the endpoint from the interior of the interval. For example, the function ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ is continuous on its whole domain, which is the semi-open interval ${\displaystyle [0,+\infty ).}$

Many commonly encountered functions are partial functions that have a domain formed by all real numbers, except for some isolated points. Examples include the reciprocal function${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ and the tangent function${\displaystyle f(x)=\tan x}$. When these partial functions are continuous on their domain, they are (in some contexts) said to be continuous, although they are not continuous everywhere. In other contexts, mainly when one is interested in their behavior near the exceptional points, they are said to be discontinuous.

A partial function is discontinuous at a point if the point belongs to the topological closure of its domain, and either the point does not belong to the domain of the function or the function is not continuous at the point. For example, the functions ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ and ${\textstyle f(x)=\sin({\frac {1}{x}})}$ are discontinuous at 0, and remain discontinuous whichever value is chosen for defining them at 0. A point where a function is discontinuous is called a discontinuity. At a point where a function is not defined, and therefore discontinuous, the discontinuity is removable if a value of the function can be chosen at that point to make the function continuous. For example, the function ⁠${\displaystyle f(x)=x\sin {\tfrac {1}{x}}}$⁠ has a removable discontinuity at zero, since ⁠${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0}x\sin {\frac {1}{x}}=0}$⁠, and the discontinuity at 0 of ⁠${\displaystyle f(x)=\sin {\tfrac {1}{x}}}$⁠ is not removable, since ⁠${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0}\sin {\frac {1}{x}}}$⁠ does not exist.

Using mathematical notation, several ways exist to define continuous functions in the three senses mentioned above.

Let ${\textstyle f:D\to \mathbb {R} }$ be a function whose domain${\displaystyle D}$ is a subset of the real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Some (but not all) possibilities for ${\displaystyle D}$ are:

• ${\displaystyle D}$ is the whole real line; that is, ${\displaystyle D=\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle D}$ is a closed interval of the form ${\displaystyle D=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\},}$ where a and b are real numbers
• ${\displaystyle D}$ is an open interval of the form ${\displaystyle D=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},}$ where a and b are real numbers

In the case of an open interval, ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ do not belong to ${\displaystyle D}$, and the values ${\displaystyle f(a)}$ and ${\displaystyle f(b)}$ are not defined, and if they are, they do not matter for continuity on ${\displaystyle D}$.

التعريف من حيث حدود المتتاليات

يمكن للمرء بدلاً من ذلك أن يشترط ذلك لأي تسلسل${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$عدد النقاط في المجال التي تتقارب إلى c ، والمتتالية المقابلة${\displaystyle \left(f(x_{n})\right)_{n\in \mathbb {N} }}$يتقارب إلى${\displaystyle f(c).}$بالرموز الرياضية،$${\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.}$$

تعريفات وييرشتراس وجوردان (إبسيلون-دلتا) للدوال المتصلة

بإضافة تعريف نهاية الدالة بشكل صريح، نحصل على تعريف مكتفٍ بذاته: بفرض دالة${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$كما سبق وعنصر${\displaystyle x_{0}}$من المجال${\displaystyle D}$،${\displaystyle f}$يقال إنها متصلة عند النقطة${\displaystyle x_{0}}$عندما يتحقق ما يلي: لأي عدد حقيقي موجب${\displaystyle \varepsilon >0,}$مهما كان صغيرًا، يوجد عدد حقيقي موجب${\displaystyle \delta >0}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle x}$ in the domain of ${\displaystyle f}$ with ${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta ,}$ the value of ${\displaystyle f(x)}$ satisfies $${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .}$$

Alternatively written, continuity of ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ at ${\displaystyle x_{0}\in D}$ means that for every ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ there exists a ${\displaystyle \delta >0}$ such that for all ${\displaystyle x\in D}$: $${\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta ~~{\text{ implies }}~~|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$$

More intuitively, we can say that if we want to get all the ${\displaystyle f(x)}$ values to stay in some small neighborhood around ${\displaystyle f\left(x_{0}\right),}$ we need to choose a small enough neighborhood for the ${\displaystyle x}$ values around ${\displaystyle x_{0}.}$ If we can do that no matter how small the ${\displaystyle f(x_{0})}$ neighborhood is, then ${\displaystyle f}$ is continuous at ${\displaystyle x_{0}.}$

In modern terms, this is generalized by the definition of continuity of a function with respect to a basis for the topology, here the metric topology.

Weierstrass had required that the interval ${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta }$ be entirely within the domain ${\displaystyle D}$, but Jordan removed that restriction.

Definition using oscillation

Continuity can also be defined in terms of oscillation: a function ${\displaystyle f}$ is continuous at a point ${\displaystyle x_{0}}$ if and only if its oscillation at that point is zero;^[9] in symbols, ${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}$ A benefit of this definition is that it quantifies discontinuity: the oscillation gives how much the function is discontinuous at a point.

This definition is helpful in descriptive set theory to study the set of discontinuities and continuous points—the continuous points are the intersection of the sets where the oscillation is less than ${\displaystyle \varepsilon }$ (hence a ${\displaystyle G_{\delta }}$ set)—and gives a rapid proof of one direction of the Lebesgue integrability condition.^[10]

التذبذب يعادل${\displaystyle \varepsilon -\delta }$تعريف التذبذب بإعادة ترتيب بسيطة وباستخدام النهاية ( lim sup , lim inf ) لتعريف التذبذب: إذا (عند نقطة معينة) لقيمة معينة${\displaystyle \varepsilon _{0}}$لا يوجد${\displaystyle \delta }$الذي يرضي${\displaystyle \varepsilon -\delta }$إذا كان التعريف صحيحًا، فإن التذبذب يكون على الأقل${\displaystyle \varepsilon _{0},}$والعكس صحيح إذا كان لكل${\displaystyle \varepsilon }$هناك رغبة${\displaystyle \delta ,}$التذبذب يساوي صفرًا. يمكن تعميم تعريف التذبذب بشكل طبيعي ليشمل الخرائط من فضاء طوبولوجي إلى فضاء متري .

التعريف باستخدام الواقع المفرط

عرّف كوشي استمرارية الدالة بالعبارات البديهية التالية: أي تغيير متناهي الصغر في المتغير المستقل يقابله تغيير متناهي الصغر في المتغير التابع (انظر كتاب "دروس في التحليل" ، صفحة 34). يُعدّ التحليل غير القياسي طريقةً لجعل هذا التعريف دقيقًا رياضيًا. يُضاف إلى خط الأعداد الحقيقية أعدادٌ لانهائية ومتناهية الصغر لتكوين الأعداد الفائقة الحقيقية . في التحليل غير القياسي، يمكن تعريف الاستمرارية كما يلي.

تكون الدالة الحقيقية f متصلة عند x إذا كان امتدادها الطبيعي إلى الأعداد الحقيقية الفائقة يتمتع بالخاصية التالية: لكل قيمة متناهية الصغر dx ،${\displaystyle f(x+dx)-f(x)}$هو متناهي الصغر ^{[ 11 ]}

(انظر الاستمرارية الجزئية ). بعبارة أخرى، تؤدي الزيادة المتناهية الصغر في المتغير المستقل دائمًا إلى تغيير متناهي الصغر في المتغير التابع، مما يعطي تعبيرًا حديثًا لتعريف أوغستين لويس كوشي للاستمرارية.

إثبات استمرارية دالة ما بتطبيق تعريفها مباشرةً ليس بالأمر السهل عمومًا. لحسن الحظ، في الواقع العملي، تُبنى معظم الدوال من دوال أبسط، ويمكن استنتاج استمراريتها مباشرةً من طريقة تعريفها، بتطبيق القواعد التالية:

• كل دالة ثابتة متصلة
• دالة التطابق​${\displaystyle f(x)=x}$متصل​
• الجمع والضرب : إذا كانت الدوال${\displaystyle f}$و​​${\displaystyle g}$تكون الدوال متصلة على نطاقاتها الخاصة .${\displaystyle D_{f}}$و​​${\displaystyle D_{g}}$ثم مجموعهم​${\displaystyle f+g}$ومنتجاتهم​​${\displaystyle f\cdot g}$متصلة عند نقطة التقاطع${\displaystyle D_{f}\cap D_{g}}$، حيث​${\displaystyle f+g}$و​​${\displaystyle f\cdot g}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$و​​${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)}$⁠ .
• المقلوب : إذا كانت الدالة${\displaystyle f}$الدالة متصلة على المجال${\displaystyle D_{f}}$ثم مقلوبه​${\displaystyle {\tfrac {1}{f}}}$، كما هو محدد بواسطة${\displaystyle ({\tfrac {1}{f}})(x)={\tfrac {1}{f(x)}}}$الدالة متصلة على المجال${\displaystyle D_{f}\setminus f^{-1}(0)}$أي المجال​${\displaystyle D_{f}}$ومنها النقاط​${\displaystyle x}$بحيث​​${\displaystyle f(x)=0}$تتم إزالتها.
• تركيب الدوال : إذا كانت الدوال${\displaystyle f}$و​​${\displaystyle g}$تكون الدوال متصلة على نطاقاتها الخاصة .${\displaystyle D_{f}}$و​​${\displaystyle D_{g}}$ثم التركيب​${\displaystyle g\circ f}$⁠ مُعرَّف بواسطة ⁠${\displaystyle {1}}$متصلة على​${\displaystyle D_{f}\cap f^{-1}(D_{g})}$، أي جزء من${\displaystyle D_{f}}$يتم رسمها بواسطة${\displaystyle f}$في الداخل​${\displaystyle D_{g}}$⁠ .
• دالتا الجيب وجيب التمام ( ⁠${\displaystyle \sin x}$و​​${\displaystyle \cos x}$) متصلة في كل مكان.
• الدالة الأسية​${\displaystyle e^{x}}$متصلة في كل مكان.
• اللوغاريتم الطبيعي​${\displaystyle \ln x}$الدالة متصلة على المجال المكون من جميع الأعداد الحقيقية الموجبة .${\displaystyle \{x\mid x>0\}}$⁠ .

تُشير هذه القواعد إلى أن كل دالة متعددة الحدود متصلة في كل مكان، وأن الدالة الكسرية متصلة في كل مكان تُعرَّف فيه، إذا لم يكن للبسط والمقام أصفار مشتركة . وبشكل أعم، فإن خارج قسمة دالتين متصلتين يكون متصلاً خارج أصفار المقام.

ومن الأمثلة على الدوال التي لا تكفيها القواعد المذكورة أعلاه دالة sinc ، والتي تُعرَّف بواسطة${\displaystyle \operatorname {sinc} (0)=1}$و​​${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\tfrac {\sin x}{x}}}$لـ​​${\displaystyle x\neq 0}$تُظهر القواعد المذكورة أعلاه مباشرةً أن الدالة متصلة لجميع قيم .${\displaystyle x\neq 0}$، ولكن لإثبات الاستمرارية عند${\displaystyle x=0}$، يجب على المرء أن يثبت $${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$$ هذا صحيح بالفعل، وبالتالي فإن دالة sinc هي دالة متصلة على جميع الأعداد الحقيقية.

من أمثلة الدوال غير المتصلة دالة هيفسايد المتدرجة${\displaystyle H}$، كما هو محدد بواسطة $${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\geq 0\\0&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$$

اختر على سبيل المثال${\displaystyle \varepsilon =1/2}$إذن لا يوجد${\displaystyle \delta }$- الحي المحيط${\displaystyle x=0}$أي لا توجد فترة مفتوحة${\displaystyle (-\delta ,\;\delta )}$مع${\displaystyle \delta >0,}$سيجبر ذلك الجميع${\displaystyle H(x)}$القيم التي يجب أن تكون ضمن${\displaystyle \varepsilon }$-حي​${\displaystyle H(0)}$أي في غضون${\displaystyle (1/2,\;3/2)}$بشكل بديهي، يمكننا أن نفكر في هذا النوع من عدم الاستمرارية على أنه قفزة مفاجئة في قيم الدالة.

وبالمثل، فإن وظيفة الإشارة أو الإشارة $${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ if }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ if }}x=0\\-1&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$$ غير متصل عند${\displaystyle x=0}$لكنها متصلة في كل مكان آخر. مثال آخر: الدالة $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$ متصلة في كل مكان باستثناء${\displaystyle x=0}$.

إلى جانب حالات الاستمرارية والانقطاع المحتملة كما هو موضح أعلاه، توجد أيضًا دوال ذات سلوك غير طبيعي ؛ على سبيل المثال، دالة توماي ، $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ if }}x={\frac {p}{q}}{\text{(in lowest terms) is a rational number}}\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}}$$ تكون الدالة متصلة عند جميع الأعداد غير النسبية وغير متصلة عند جميع الأعداد النسبية. وبالمثل، فإن دالة ديريشليه ، وهي دالة المؤشر لمجموعة الأعداد النسبية، $${\displaystyle D(x)={\begin{cases}0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational }}(\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\\1&{\text{ if }}x{\text{ is rational }}(\in \mathbb {Q} )\end{cases}}}$$ لا يوجد اتصال في أي مكان.

قد تكون الدوال غير المتصلة غير متصلة بطريقة محدودة، مما يُؤدي إلى ظهور مفهوم الاتصال الاتجاهي (أو الدوال المتصلة من اليمين واليسار) وشبه الاتصال . وبشكل عام، تكون الدالة متصلة من اليمين إذا لم يحدث أي قفزة عند الاقتراب من نقطة النهاية من اليمين. رسميًا،${\displaystyle f}$يقال إنها متصلة من اليمين عند النقطة${\displaystyle c}$إذا تحقق ما يلي: لأي عدد${\displaystyle \varepsilon >0}$مهما كان العدد صغيراً، فإنه موجود${\displaystyle \delta >0}$بحيث يكون لكل x في المجال مع${\displaystyle c<x<c+\delta ,}$قيمة${\displaystyle f(x)}$يرضي $${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$$

هذا هو نفس شرط الدوال المتصلة، باستثناء أنه مطلوب فقط لـ${\displaystyle x}$أكبر من${\displaystyle c}$يتطلب${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$بدلاً من ذلك، يجب أن يستمر الجميع${\displaystyle x}$مع${\displaystyle c-\delta <x<c}$ينتج عن ذلك مفهوم الدوال المتصلة من اليسار . تكون الدالة متصلة إذا وفقط إذا كانت متصلة من اليمين ومن اليسار.

وظيفة${\displaystyle f}$تكون شبه متصلة من الأسفل عند النقطة${\displaystyle c}$إذا كان، بشكل تقريبي، أي قفزات قد تحدث تكون للأسفل فقط، وليس للأعلى. أي، بالنسبة لأي${\displaystyle \varepsilon >0,}$يوجد عدد ما${\displaystyle \delta >0}$بحيث يكون لكل x في المجال مع${\displaystyle |x-c|<\delta ,}$قيمة${\displaystyle f(x)}$يرضي $${\displaystyle f(x)\geq f(c)-\varepsilon .}$$ أما الحالة العكسية فهي شبه الاستمرارية العليا .

يمكن تعزيز مفهوم استمرارية الدوال بين الفضاءات المترية بطرق مختلفة عن طريق الحد من الطريقة${\displaystyle \delta }$يعتمد على${\displaystyle \varepsilon }$و${\displaystyle c}$في التعريف أعلاه. وبشكل بديهي، الدالة${\displaystyle f}$كما سبق، يكون متصلاً بانتظام إذا كان${\displaystyle \delta }$لا يعتمد على النقطة${\displaystyle c}$وبشكل أدق، يتطلب ذلك أنه لكل عدد حقيقي${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد${\displaystyle \delta >0}$بحيث يكون لكل${\displaystyle c,b\in X}$مع${\displaystyle d_{X}(b,c)<\delta ,}$عدم المساواة${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))<\varepsilon }$ينطبق هذا. بالتالي، فإن أي دالة متصلة بانتظام هي دالة متصلة. لا ينطبق العكس عمومًا، ولكنه ينطبق عندما يكون فضاء المجال X مضغوطًا . يمكن تعريف الدوال المتصلة بانتظام في الحالة الأكثر عمومية للفضاءات المنتظمة . ^{[ 13 ]}

الدالة متصلة هولدر مع الأس${\displaystyle \alpha }$(عدد حقيقي) إذا كان هناك ثابت${\displaystyle K}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle b,c\in X,}$عدم المساواة $${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }}$$ صحيح. أي دالة متصلة وفقًا لمعيار هولدر تكون متصلة بانتظام. الحالة الخاصة${\displaystyle \alpha =1}$يُشار إلى ذلك باسم استمرارية ليبشيتز . أي أن الدالة تكون مستمرة وفقًا لشرط ليبشيتز إذا كان هناك ثابت${\displaystyle K}$بحيث يكون عدم المساواة $${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)}$$ يحتفظ بها لأي${\displaystyle b,c\in X.}$^{[ 14 ]} يظهر شرط ليبشيتز، على سبيل المثال، فينظرية بيكارد-ليندلوفالمتعلقة بحلولالمعادلات التفاضلية العادية.

ترجمة بلغة الأحياء لـ${\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}$يؤدي تعريف الاستمرارية إلى التعريف التالي للاستمرارية عند نقطة ما:

وظيفة${\displaystyle f:X\to Y}$متصلة عند نقطة${\displaystyle x\in X}$إذا وفقط إذا، لأي جوار V من${\displaystyle f(x)}$في Y ، يوجد حي U من${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle f(U)\subseteq V}$.

هذا التعريف مكافئ للعبارة نفسها مع اقتصار الجوارات على الجوارات المفتوحة، ويمكن إعادة صياغته بعدة طرق باستخدام الصور الأصلية بدلًا من الصور. إحدى هذه الطرق هي التالية: بما أن كل مجموعة تحتوي على جوار هي أيضًا جوار، و${\displaystyle f^{-1}(V)=U}$هي أكبر مجموعة فرعية${\displaystyle U\subseteq X}$بحيث${\displaystyle f(U)\subseteq V,}$يمكن تبسيط التعريف أعلاه إلى:

وظيفة${\displaystyle f:X\to Y}$متصلة عند نقطة${\displaystyle x\in X}$إذا وفقط إذا، لكل جوار V من${\displaystyle f(x)}$في Y ،${\displaystyle f^{-1}(V)}$هو حي من${\displaystyle x}$.

بما أن المجموعة المفتوحة هي مجموعة تمثل جوارًا لجميع نقاطها، فإن الدالة${\displaystyle f:X\to Y}$وهي متصلة عند كل نقطة من${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كانت دالة متصلة.

لو${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$إذا كانت فضاءات مترية، فإن اعتبار نظام الجوار للكرات المفتوحة المتمركزة عند${\displaystyle x}$و${\displaystyle f(x)}$بدلاً من جميع الأحياء. وهذا يعيد ما سبق ذكره.${\displaystyle \varepsilon -\delta }$تعريف الاستمرارية في سياق الفضاءات المترية. في الفضاءات الطوبولوجية العامة، لا يوجد مفهوم للقرب أو البعد. ومع ذلك، إذا كان الفضاء المستهدف فضاء هاوسدورف ، فإنه يظل صحيحًا أن${\displaystyle f}$متصل عند${\displaystyle a}$إذا وفقط إذا كانت نهاية${\displaystyle f}$مثل${\displaystyle x}$الأساليب${\displaystyle a}$يكون${\displaystyle f(a)}$عند نقطة معزولة، تكون كل دالة متصلة.

منح${\displaystyle x\in X,}$خريطة${\displaystyle f:X\to Y}$متصل عند${\displaystyle x}$إذا وفقط إذا كان${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هو فلتر على${\displaystyle X}$ذلك يتقارب إلى${\displaystyle x}$في${\displaystyle X,}$والذي يتم التعبير عنه بالكتابة${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x,}$ثم بالضرورة${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x)}$في${\displaystyle Y}$. لو${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$يشير إلى مرشح الجوار عند${\displaystyle x}$ثم${\displaystyle f:X\to Y}$متصل عند${\displaystyle x}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x)}$في${\displaystyle Y}$^{[ 15 ]} علاوة على ذلك ، يحدث هذا فقط إذا كان المرشح المسبق${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))}$هي قاعدة تصفية لمرشح الجوار الخاص بـ${\displaystyle f(x)}$في${\displaystyle Y}$[ ^{15 ]​}

توجد عدة تعريفات متكافئة للبنية الطوبولوجية ؛ وبالتالي، توجد عدة طرق متكافئة لتعريف دالة متصلة.