استمرارية منتظمة

في الرياضيات ، الدالة الحقيقية${\displaystyle f}$يُقال إن مجموعة الأعداد الحقيقية متصلة بانتظام إذا كان هناك عدد حقيقي موجب${\displaystyle \delta }$بحيث تكون قيم الدالة على أي مجال فاصل للدالة بحجم${\displaystyle \delta }$تكون القيم متقاربة بالقدر الذي نريده. بعبارة أخرى، بالنسبة لدالة حقيقية متصلة بانتظام للأعداد الحقيقية، إذا أردنا أن تكون فروق قيم الدالة أقل من أي عدد حقيقي موجب${\displaystyle \varepsilon }$إذن يوجد عدد حقيقي موجب${\displaystyle \delta }$بحيث${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$لأي${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في أي فاصل زمني من الطول${\displaystyle \delta }$في نطاق${\displaystyle f}$.

الفرق بين الاستمرارية المنتظمة والاستمرارية (العادية) هو أن الاستمرارية المنتظمة لها خاصية قابلة للتطبيق عالميًا${\displaystyle \delta }$(حجم مجال الدالة الذي تكون فيه فروق قيم الدالة أقل من${\displaystyle \varepsilon }$) الذي يعتمد فقط${\displaystyle \varepsilon }$بينما في حالة الاستمرارية (العادية) يوجد تطبيق محلي${\displaystyle \delta }$هذا يعتمد على كليهما${\displaystyle \varepsilon }$و${\displaystyle x}$لذا، يُعدّ الاستمرار المنتظم شرطًا أقوى للاستمرار من الاستمرار نفسه؛ فالدالة التي تستمر بانتظام تكون مستمرة، ولكن الدالة التي تستمر ليست بالضرورة مستمرة بانتظام. ويمكن توسيع مفهومي الاستمرار المنتظم والاستمرار ليشمل الدوال المعرفة بين الفضاءات المترية .

قد لا تكون الدوال المتصلة متصلة بانتظام إذا كانت غير محدودة على مجال محدود، مثل${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$على${\displaystyle (0,1)}$أو إذا أصبحت ميولها غير محدودة على نطاق لانهائي، مثل${\displaystyle f(x)=x^{2}}$على خط الأعداد الحقيقية. ومع ذلك، فإن أي تطبيق ليبشيتز بين الفضاءات المترية يكون متصلاً بشكل منتظم، وخاصة أي تطبيق متساوي القياس (تطبيق يحافظ على المسافة).

على الرغم من إمكانية تعريف الاستمرارية للدوال بين الفضاءات الطوبولوجية العامة، فإن تعريف الاستمرارية المنتظمة يتطلب بنية أكثر تعقيدًا. يعتمد هذا المفهوم على مقارنة أحجام جوارات النقاط المتباينة، لذا فهو يتطلب فضاءً متريًا، أو بشكل أعم، فضاءً منتظمًا .

لوظيفة${\displaystyle f:X\to Y}$بمساحات مترية${\displaystyle (X,d_{1})}$و${\displaystyle (Y,d_{2})}$، تنطبق التعريفات التالية للاستمرارية المنتظمة والاستمرارية (العادية).

في التعريفات، يكمن الفرق بين الاستمرارية المنتظمة والاستمرارية في أن الاستمرارية المنتظمة لها نطاق عالمي قابل للتطبيق.${\displaystyle \delta }$(حجم حي في${\displaystyle X}$ما هي قيم المقياس لقيم الدالة في${\displaystyle Y}$أقل من${\displaystyle \varepsilon }$) الذي يعتمد فقط${\displaystyle \varepsilon }$بينما في حالة الاستمرارية يوجد تطبيق محلي${\displaystyle \delta }$يعتمد ذلك على كليهما${\displaystyle \varepsilon }$و${\displaystyle x}$الاتصال خاصية محلية للدالة، أي دالة${\displaystyle f}$هل هي متصلة أم لا عند نقطة معينة؟${\displaystyle x}$مجال الدالة${\displaystyle X}$ويمكن تحديد ذلك بالنظر فقط إلى قيم الدالة في جوار صغير جدًا لتلك النقطة. عندما نقول إن دالة ما متصلة على فترة ما ، فإننا نعني أن الدالة متصلة عند كل نقطة من نقاط تلك الفترة. في المقابل، الاتصال المنتظم خاصية عامة لـ${\displaystyle f}$، بمعنى أن التعريف القياسي للاستمرارية المنتظمة يشير إلى كل نقطة من${\displaystyle X}$من ناحية أخرى، من الممكن تقديم تعريف محلي من حيث الامتداد الطبيعي${\displaystyle f^{*}}$(التي تتحدد خصائصها عند النقاط غير القياسية بالخصائص العامة لـ${\displaystyle f}$), على الرغم من أنه لا يمكن إعطاء تعريف محلي للاستمرارية المنتظمة لدالة ذات قيم فائقة حقيقية عشوائية، انظر أدناه .

تعريف رياضي للدالة${\displaystyle f}$متصلة على فترة${\displaystyle I}$وتعريف ذلك${\displaystyle f}$دالة متصلة بانتظام على${\displaystyle I}$وهي متشابهة هيكليًا كما هو موضح فيما يلي.

استمرارية الدالة${\displaystyle f:X\to Y}$للمساحات المترية${\displaystyle (X,d_{1})}$و${\displaystyle (Y,d_{2})}$في كل نقطة${\displaystyle x}$من فترة${\displaystyle I\subseteq X}$(أي استمرارية${\displaystyle f}$في الفترة${\displaystyle I}$يُعبَّر عنه بصيغة تبدأ بالكميات

${\displaystyle \forall x\in I\;\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall y\in I:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$،

(المقاييس)${\displaystyle d_{1}(x,y)}$و${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))}$نكون${\displaystyle |xy|}$و${\displaystyle |f(x)-f(y)|}$ل${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$بالنسبة لمجموعة الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$).

لضمان استمرارية منتظمة، يكون ترتيب الكميات الأولى والثانية والثالثة (${\displaystyle \forall x\in I}$،${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$، و${\displaystyle \exists \delta >0}$) يتم تدويرها:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;\forall y\in I:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$.

وبالتالي، من أجل الاستمرارية على الفترة، نختار نقطة عشوائية${\displaystyle x}$من الفترة ، ثم يجب أن توجد مسافة${\displaystyle \delta }$،

${\displaystyle \cdots \forall x\,\exists \delta \cdots ,}$

أما من أجل استمرارية موحدة، فـ${\displaystyle \delta }$يجب العمل بشكل موحد لجميع النقاط${\displaystyle x}$من الفترة،

${\displaystyle \cdots \exists \delta \,\forall x\cdots .}$

كل دالة متصلة بانتظام هي دالة متصلة ، ولكن العكس ليس صحيحًا. لنأخذ على سبيل المثال الدالة المتصلة${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}}$أين${\displaystyle \mathbb {R} }$هي مجموعة الأعداد الحقيقية . بفرض عدد حقيقي موجب${\displaystyle \varepsilon }$يتطلب الاستمرار المنتظم وجود عدد حقيقي موجب${\displaystyle \delta }$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }$مع${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$لدينا${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$. لكن

${\displaystyle f\left(x+\delta \right)-f(x)=2x\cdot \delta +\delta ^{2},}$

وكما${\displaystyle x}$ستزداد قيمتها تدريجياً.${\displaystyle \delta }$يجب أن يكون أقل فأقل لتحقيق الرضا${\displaystyle |f(x+\beta )-f(x)|<\varepsilon }$للأعداد الحقيقية الموجبة${\displaystyle \beta <\delta }$والمعطى${\displaystyle \varepsilon }$وهذا يعني أنه لا يوجد عدد حقيقي موجب قابل للتحديد (مهما كان صغيرًا)${\displaystyle \delta }$لتحقيق الشرط الخاص بـ${\displaystyle f}$لكي تكون متصلة بشكل منتظم،${\displaystyle f}$ليست متصلة بشكل منتظم.

أي دالة متصلة اتصالاً مطلقاً (على فترة مغلقة) تكون متصلة اتصالاً منتظماً. من ناحية أخرى، دالة كانتور متصلة اتصالاً منتظماً ولكنها ليست متصلة اتصالاً مطلقاً.

صورة مجموعة جزئية محدودة تمامًا تحت دالة متصلة بانتظام تكون محدودة تمامًا. مع ذلك، فإن صورة مجموعة جزئية محدودة من فضاء متري عشوائي تحت دالة متصلة بانتظام ليست بالضرورة محدودة: كمثال مضاد، لننظر إلى دالة التطابق من الأعداد الصحيحة المزودة بالمقياس المتقطع إلى الأعداد الصحيحة المزودة بالمقياس الإقليدي المعتاد .

تنص نظرية هاين-كانتور على أن كل دالة متصلة على مجموعة متراصة تكون متصلة بانتظام . وعلى وجه الخصوص، إذا كانت دالة ما متصلة على فترة مغلقة (محدودة) من خط الأعداد الحقيقية، فإنها تكون متصلة بانتظام على تلك الفترة . وتنتج قابلية تكامل داربو للدوال المتصلة مباشرةً من هذه النظرية.

إذا كانت دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle f}$مستمر على${\displaystyle [0,\infty )}$و${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$موجود (ومحدود)، إذن${\displaystyle f}$متصلة بانتظام. على وجه الخصوص، كل عنصر من${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$، فضاء الدوال المتصلة على${\displaystyle \mathbb {R} }$الدالة التي تتلاشى عند اللانهاية، تكون متصلة بانتظام. وهذا تعميم لنظرية هاين-كانتور المذكورة أعلاه، حيث${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} )\subset C_{0}(\mathbb {R} )}$.

بالنسبة لدالة متصلة بانتظام، لكل عدد حقيقي موجب${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد حقيقي موجب${\displaystyle \delta >0}$بحيث تكون قيمتا الدالة${\displaystyle f(x)}$و${\displaystyle f(y)}$يجب أن تكون المسافة القصوى${\displaystyle \varepsilon }$حينما${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$تقع ضمن أقصى مسافة${\displaystyle \delta }$وهكذا عند كل نقطة${\displaystyle (x,f(x))}$في الرسم البياني، إذا رسمنا مستطيلاً بارتفاع أقل قليلاً من${\displaystyle 2\varepsilon }$والعرض أقل قليلاً من${\displaystyle 2\delta }$عند هذه النقطة تقريبًا، يقع الرسم البياني بالكامل داخل ارتفاع المستطيل، أي أنه لا يمر عبر حافته العلوية أو السفلية. أما بالنسبة للدوال غير المتصلة بانتظام، فلا يمكن تحقيق ذلك؛ ففي هذه الحالة، قد يقع الرسم البياني داخل ارتفاع المستطيل عند نقطة ما، ولكن توجد نقطة أخرى يقع عندها الرسم البياني أعلى أو أسفل المستطيل (أي أنه يخترق حافته العلوية أو السفلية).

• 0 {\displaystyle \varepsilon >0} يوجد عدد حقيقي موجب δ > 0 {\displaystyle \delta >0} بحيث عندما نرسم مستطيلاً حول كل نقطة من الرسم البياني بعرض أقل بقليل من 2 δ {\displaystyle 2\delta } وارتفاع أقل بقليل من 2 ε {\displaystyle 2\varepsilon }، فإن الرسم البياني يقع بالكامل داخل ارتفاع المستطيل." id="mwAS4">
  بالنسبة للدوال المتصلة بانتظام، لكل عدد حقيقي موجب${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد حقيقي موجب${\displaystyle \delta >0}$بحيث عندما نرسم مستطيلاً حول كل نقطة من نقاط الرسم البياني بعرض أقل قليلاً من${\displaystyle 2\delta }$وارتفاع أقل قليلاً من${\displaystyle 2\varepsilon }$، يقع الرسم البياني بالكامل داخل ارتفاع المستطيل.
• 0 بحيث أنه لكل عدد حقيقي موجب δ > 0، توجد نقطة على الرسم البياني بحيث عندما نرسم مستطيلاً بارتفاع أقل بقليل من 2ε وعرض أقل بقليل من 2δ حول تلك النقطة، توجد قيمة للدالة مباشرة فوق المستطيل أو تحته. قد توجد نقطة على الرسم البياني يكون فيها الرسم البياني بالكامل داخل ارتفاع المستطيل، ولكن هذا لا ينطبق على كل نقطة على الرسم البياني." id="mwAV4">
  بالنسبة للدوال غير المتصلة بانتظام، يوجد عدد حقيقي موجب${\displaystyle \varepsilon >0}$بحيث يكون لكل عدد حقيقي موجب${\displaystyle \delta >0}$توجد نقطة على الرسم البياني بحيث عندما نرسم مستطيلاً بارتفاع أقل قليلاً من${\displaystyle 2\varepsilon }$وعرض أقل قليلاً من${\displaystyle 2\delta }$حول تلك النقطة، توجد قيمة دالة تقع مباشرةً فوق أو أسفل المستطيل. قد توجد نقطة في الرسم البياني حيث يكون الرسم البياني بالكامل داخل ارتفاع المستطيل، ولكن هذا لا ينطبق على كل نقطة في الرسم البياني.

أول تعريف منشور للاستمرارية المنتظمة كان من قِبل هاين عام 1870، وفي عام 1872 نشر برهانًا يُثبت أن الدالة المستمرة على فترة مفتوحة لا يشترط أن تكون مستمرة بانتظام. وقد وردت البراهين حرفيًا تقريبًا في محاضرات ديريشليه حول التكاملات المحددة عام 1854. كما ظهر تعريف الاستمرارية المنتظمة سابقًا في أعمال بولزانو، حيث أثبت أيضًا أن الدوال المستمرة على فترة مفتوحة لا يشترط أن تكون مستمرة بانتظام. بالإضافة إلى ذلك، ذكر أن الدالة المستمرة على فترة مغلقة تكون مستمرة بانتظام، لكنه لم يُقدم برهانًا كاملًا. ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاءً متريًا،${\displaystyle S}$مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$،${\displaystyle R}$فضاء متري كامل، و${\displaystyle f:S\rightarrow R}$دالة متصلة. سؤال للإجابة عليه: متى يمكن أن تكون الدالة متصلة؟${\displaystyle f}$يمكن تمديدها لتصبح دالة متصلة على كامل${\displaystyle X}$؟

لو${\displaystyle S}$مغلق في${\displaystyle X}$، والإجابة تُعطى بواسطة نظرية تيتز للتمديد . لذا، من الضروري والكافي التمديد${\displaystyle f}$إلى إغلاق${\displaystyle S}$في${\displaystyle X}$أي أنه يمكننا أن نفترض دون فقدان للعمومية أن${\displaystyle S}$كثيف في${\displaystyle X}$وهذا يترتب عليه نتيجة إيجابية أخرى، وهي أنه إذا وُجد الامتداد، فهو فريد. شرط كافٍ لـ${\displaystyle f}$لتمديدها إلى دالة متصلة${\displaystyle f:X\rightarrow R}$أي أنها متصلة وفقًا لكوشي ، أي أن الصورة تحت${\displaystyle f}$تبقى متتالية كوشي متتالية كوشي. إذا${\displaystyle X}$اكتمل (وبالتالي اكتمال${\displaystyle S}$ثم كل دالة متصلة من${\displaystyle X}$إلى فضاء متري${\displaystyle Y}$هي دالة متصلة وفقًا لكوشي. لذلك عندما${\displaystyle X}$مكتملة،${\displaystyle f}$يمتد إلى دالة متصلة${\displaystyle f:X\rightarrow R}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f}$هي متصلة من نوع كوشي.

من السهل ملاحظة أن كل دالة متصلة بانتظام هي دالة متصلة وفقًا لكوشي، وبالتالي تمتد إلى${\displaystyle X}$لا يصح العكس، لأن الدالة${\displaystyle f:R\rightarrow R,x\mapsto x^{2}}$كما رأينا أعلاه، فإن الدالة ليست متصلة بانتظام، ولكنها متصلة وبالتالي فهي متصلة وفقًا لمعيار كوشي. بشكل عام، بالنسبة للدوال المعرفة على فضاءات غير محدودة مثل${\displaystyle R}$يُعدّ شرط الاستمرارية المنتظمة شرطاً قوياً إلى حدٍّ ما. ومن المستحسن وجود شرط أضعف يمكن من خلاله استنتاج قابلية التمديد.

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle a>1}$هو عدد حقيقي. على مستوى ما قبل حساب التفاضل والتكامل، الدالة${\displaystyle f:x\mapsto a^{x}}$لا يمكن إعطاء تعريف دقيق إلا للقيم النسبية لـ${\displaystyle x}$(بافتراض وجود جذور من الرتبة q للأعداد الحقيقية الموجبة، وهو تطبيق لنظرية القيمة المتوسطة ). يرغب المرء في التوسع${\displaystyle f}$إلى دالة معرفة على جميع${\displaystyle R}$الهوية

${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=a^{x}\left(a^{\delta }-1\right)}$

يُظهر ذلك أن${\displaystyle f}$ليست متصلة بانتظام على المجموعة${\displaystyle Q}$من جميع الأعداد النسبية؛ ومع ذلك، بالنسبة لأي فترة محدودة${\displaystyle I}$تقييد${\displaystyle f}$ل${\displaystyle Q\cap I}$هي دالة متصلة بانتظام، وبالتالي فهي دالة متصلة وفقًا لنظرية كوشي، وبالتالي${\displaystyle f}$يمتد إلى دالة متصلة على${\displaystyle I}$ولكن بما أن هذا ينطبق على كل${\displaystyle I}$ثم هناك امتداد فريد لـ${\displaystyle f}$إلى دالة متصلة على كل${\displaystyle R}$.

وبشكل أعم، دالة متصلة${\displaystyle f:S\rightarrow R}$والتي يقتصر على كل مجموعة جزئية محدودة من${\displaystyle S}$متصلة بانتظام، قابلة للتمديد إلى${\displaystyle X}$والعكس صحيح إذا${\displaystyle X}$مضغوطة محلياً .

من التطبيقات الشائعة لإمكانية تمديد دالة متصلة بانتظام إثبات صيغة التحويل العكسي لفورييه . نبدأ بإثبات صحة الصيغة لدوال اختبارية، وهي كثيرة جدًا. ثم نمدد التحويل العكسي إلى الفضاء بأكمله مستفيدين من كون التحويل الخطي متصلًا، وبالتالي فهو متصل بانتظام.

في الحالة الخاصة لفضاءين متجهين طوبولوجيين${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$مفهوم الاستمرارية المنتظمة للخريطة${\displaystyle f:V\to W}$يصبح: لأي حي${\displaystyle B}$من الصفر في${\displaystyle W}$يوجد حي${\displaystyle A}$من الصفر في${\displaystyle V}$بحيث${\displaystyle v_{1}-v_{2}\in A}$يشير إلى${\displaystyle f(v_{1})-f(v_{2})\in B.}$

بالنسبة للتحويلات الخطية${\displaystyle f:V\to W}$إن الاستمرارية المنتظمة مكافئة للاستمرارية. وتُستخدم هذه الحقيقة ضمنيًا في التحليل الوظيفي لتمديد تطبيق خطي من فضاء جزئي كثيف من فضاء باناخ .

كما أن الفضاءات الطوبولوجية هي الإطار الأكثر طبيعية وعمومية لدراسة الاستمرارية ، فإن الفضاءات المنتظمة هي الإطار الأكثر طبيعية وعمومية لدراسة الاستمرارية المنتظمة . دالة${\displaystyle f:X\to Y}$يُطلق على العلاقة بين المسافات المنتظمة اسم العلاقة المستمرة بانتظام إذا كان لكل محيط${\displaystyle V}$في${\displaystyle Y}$يوجد حاشية${\displaystyle U}$في${\displaystyle X}$بحيث يكون لكل${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$في${\displaystyle U}$لدينا${\displaystyle (f(x_{1}),f(x_{2}))}$في${\displaystyle V}$.

في هذا السياق، من الصحيح أيضاً أن الخرائط المتصلة بشكل منتظم تحول متواليات كوشي إلى متواليات كوشي.

يمتلك كل فضاء هاوسدورف متراص بنية منتظمة واحدة فقط تتوافق مع الطوبولوجيا. ومن النتائج المترتبة على ذلك تعميم لنظرية هاين-كانتور: كل دالة متصلة من فضاء هاوسدورف متراص إلى فضاء منتظم تكون متصلة بشكل منتظم.

• رسم الخرائط الانكماشية – دالة تقلل المسافة بين جميع النقاط 
• التقارب المنتظم – نمط تقارب متتالية الدوال 
• التشاكل المنتظم – التشاكل المتجانس المستمر بانتظام 

• بورباكي، نيكولاس (1989). الطوبولوجيا العامة: الفصول من 1 إلى 4 [ Topologie Générale ] . سبرينغر. رقم ISBN 0-387-19374-X.الفصل الثاني هو مرجع شامل للمساحات المنتظمة.
• ديودوني ، جان (1960). أسس التحليل الحديث . الصحافة الأكاديمية.
• فيتزباتريك، باتريك (2006). حساب التفاضل والتكامل المتقدم . بروكس/كول. ISBN 0-534-92612-6.
• كيلي، جون ل. (1955). الطوبولوجيا العامة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-90125-6.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• كودريافتسيف، ل.د. (2001) [1994]، "الاستمرارية المنتظمة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• رودين، والتر (1976). مبادئ التحليل الرياضي . نيويورك: ماكجرو هيل . ISBN 978-0-07-054235-8.
• روسنوك، ب.؛ كير-لوسون، أ. (2005)، "بولزانو والاستمرارية المنتظمة"، هيستوريا ماثيماتيكا ، 32 (3): 303-311 ، doi : 10.1016/j.hm.2004.11.003