رسم خرائط الانقباض

في الرياضيات ، يُعرف تطبيق الانكماش ، أو الانكماش ، على فضاء متري ( M , d ) بأنه دالة f من M إلى نفسها، مع خاصية وجود عدد حقيقي ما${\displaystyle 0\leq k<1}$بحيث يكون لكل x و y في M ،

$${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).}$$ أصغر قيمة لـ k تُسمى ثابت ليبشيتز للدالة f . تُسمى الدوال الانكماشية أحيانًا دوال ليبشيتزية . أما إذا تحقق الشرط المذكور أعلاه عندما تكون k  ≤  1، فإن الدالة تُسمى دالة غير توسعية .

بشكل أعم، يمكن تعريف فكرة التطبيق الانكماشي للتطبيقات بين الفضاءات المترية. وبالتالي، إذا كان ( M , d ) و( N , d' ) فضاءين متريين، فإن${\displaystyle f:M\rightarrow N}$تكون عملية التعيين انكماشية إذا كان هناك ثابت${\displaystyle 0\leq k<1}$بحيث $${\displaystyle d'(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)}$$ لكل x و y في M.​

كل عملية انكماش هي عملية مستمرة وفقًا لشرط ليبشيتز ، وبالتالي فهي مستمرة بشكل منتظم (بالنسبة لدالة مستمرة وفقًا لشرط ليبشيتز، فإن الثابت k لم يعد بالضرورة أقل من 1).

للدالة الانكماشية نقطة ثابتة واحدة على الأكثر . علاوة على ذلك، تنص نظرية باناش للنقطة الثابتة على أن كل دالة انكماشية على فضاء متري كامل غير فارغ لها نقطة ثابتة وحيدة، وأنه لأي قيمة x في M، فإن متتالية الدوال المتكررة x ، f ( x )، f ( f ( x ))، f ( f ( f ( x )))، ... تتقارب إلى النقطة الثابتة. يُعد هذا المفهوم مفيدًا جدًا لأنظمة الدوال المتكررة حيث تُستخدم الدوال الانكماشية بكثرة . كما تُطبق نظرية باناش للنقطة الثابتة في إثبات وجود حلول للمعادلات التفاضلية العادية ، وتُستخدم في أحد براهين نظرية الدالة العكسية . ^{[ 1 ]}

تلعب دوال الانكماش دورًا هامًا في مسائل البرمجة الديناميكية . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

رسم خرائط غير متوسع مع${\displaystyle k=1}$يمكن تعميم ذلك إلى تطبيق غير متوسع بشكل ثابت في فضاء هيلبرت${\displaystyle {\mathcal {H}}}$إذا تحقق ما يلي لجميع قيم x و y في${\displaystyle {\mathcal {H}}}$: $${\displaystyle \|f(x)-f(y)\|^{2}\leq \,\langle xy,f(x)-f(y)\rangle ,}$$ أين $${\displaystyle d(x,y)=\|xy\|.}$$ هذه حالة خاصة من${\displaystyle \alpha }$متوسطات عوامل التشغيل غير التوسعية مع${\displaystyle \alpha =1/2}$[ ^{4 ]} إن التطبيق غير المتوسع بشكل صارم يكون دائمًا غير متوسع، من خلال متباينة كوشي- ^شفارتز .

تُعتبر فئة التطبيقات غير التوسعية الثابتة مغلقة تحت التركيبات المحدبة ، ولكن ليس تحت التركيبات. ^{[ 5 ]} تشمل هذه الفئة التطبيقات التقريبية للدوال الصحيحة والمحدبة وشبه المستمرة من الأسفل، وبالتالي فهي تشمل أيضًا الإسقاطات المتعامدة على المجموعات المحدبة المغلقة غير الفارغة . تُساوي فئة المؤثرات غير التوسعية الثابتة مجموعة حلول المؤثرات الرتيبة القصوى . ^{[ 6 ]} من المثير للدهشة أنه في حين أن تكرار التطبيقات غير التوسعية لا يضمن إيجاد نقطة ثابتة (مثل الضرب في -1)، فإن عدم التوسع الثابت كافٍ لضمان التقارب العالمي إلى نقطة ثابتة، بشرط وجود نقطة ثابتة. بتعبير أدق، إذا $${\displaystyle \operatorname {Fix} f:=\{x\in {\mathcal {H}}\ |\ f(x)=x\}\neq \varnothing ,}$$ ثم لأي نقطة ابتدائية${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {H}}}$، تكرار $${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\quad \forall n\in \mathbb {N} }$$ يؤدي إلى التقارب إلى نقطة ثابتة${\displaystyle x_{n}\to z\in \operatorname {Fix} f}$قد يكون هذا التقارب ضعيفًا في بيئة لا نهائية الأبعاد. ^{[ 5 ]}

خريطة الانكماش الفرعي أو المتعاقد الفرعي هي خريطة f على فضاء متري ( M , d ) بحيث $${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq d(x,y);}$$$${\displaystyle d(f(f(x)),f(x))<d(f(x),x)\quad {\text{إلا إذا}}\quad x=f(x).}$$ إذا كانت صورة المقاول الفرعي f مضغوطة ، فإن f لها نقطة ثابتة. ^{[ 7 ]}

في فضاء محدب محليًا ( E , P ) ذي طوبولوجيا مُعطاة بمجموعة P من أنصاف المعايير ، يُمكن تعريف انكماش p لأي p ∈ P على أنه دالة f بحيث يوجد k_{_p} < 1 بحيث يكون p ( f ( x ) - f ( y )) ≤ k_{_p/} p ( x - y ) . إذا كانت f انكماش p لجميع p ∈ P وكان ( E , P ) مكتملًا تسلسليًا، فإن f لها نقطة ثابتة، تُعطى كنهاية أي متتالية x _{_{n + 1}} = f ( x_{_n} )، وإذا كان ( E , P ) فضاء هاوسدورف ، فإن النقطة الثابتة تكون وحيدة. ^{[ 8 ]}

• خريطة مختصرة
• الانكماش (نظرية المؤثرات)
• تحويل
• معادلة مقارنة
• نظرية بلاكويل للتحويل الانقباضي
• خاصية CLRg

• إستراتيسكو، فاسيل آي. (1981). نظرية النقطة الثابتة: مقدمة . هولندا: دي. ريدل. ISBN 978-90-277-1224-0.يقدم هذا البرنامج مقدمة على مستوى المرحلة الجامعية الأولى.
• جراناس، أندريه؛ دوجونجي، جيمس (2003). نظرية النقطة الثابتة . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-00173-9.
• كيرك، ويليام أ.؛ سيمز، بريلي (2001). دليل نظرية النقطة الثابتة المترية . لندن: كلوير أكاديميك. ISBN 978-0-7923-7073-4.
• نايلور، آرتش دبليو؛ سيل، جورج آر. (1982). نظرية المؤثرات الخطية في الهندسة والعلوم . العلوم الرياضية التطبيقية. المجلد  40 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. الصفحات 125-134 . ISBN  978-0-387-90748-2.

• بولو، فرانشيسكو (2022). نظرية الانكماش للأنظمة الديناميكية . النشر المباشر على كيندل. رقم ISBN 979-8-8366-4680-6.