نظام الدوال المتكررة

في الرياضيات ، تُعدّ أنظمة الدوال المتكررة ( IFSs ) طريقةً لبناء الأشكال الكسورية ؛ وغالبًا ما تكون الأشكال الكسورية الناتجة متشابهة ذاتيًا . ترتبط الأشكال الكسورية لأنظمة الدوال المتكررة بنظرية المجموعات أكثر من ارتباطها بالهندسة الكسورية. ^{[ 1 ]} وقد طُرحت هذه الأنظمة في عام 1981.

يمكن أن تكون الفراكتلات ذات نظام الدوال المتكررة (IFS) ، كما تُسمى عادةً، بأي عدد من الأبعاد، ولكنها تُحسب وتُرسم عادةً في بُعدين. يتكون الفراكتل من اتحاد عدة نسخ منه، حيث تُحوّل كل نسخة بواسطة دالة (ومن هنا جاء مصطلح "نظام الدوال"). المثال الكلاسيكي هو مثلث سيربينسكي . عادةً ما تكون الدوال انكماشية ، مما يعني أنها تُقرّب النقاط من بعضها وتُصغّر الأشكال. وبالتالي، يتكون شكل الفراكتل ذي نظام الدوال المتكررة من عدة نسخ أصغر منه، قد تتداخل فيما بينها، وكل نسخة منها تتكون بدورها من نسخ من نفسها، وهكذا إلى ما لا نهاية . هذا هو مصدر طبيعته الفراكتلية ذاتية التشابه.

بصورة رسمية، نظام الدوال المتكررة هو مجموعة منتهية من تطبيقات الانكماش على فضاء متري كامل . ^{[ 2 ]} رمزياً،

${\displaystyle \{f_{i}:X\to X\mid i=1,2,\dots ,N\},\ N\in \mathbb {N} }$

يُعتبر نظام دوال متكررة إذا كان كل f i _عبارة عن انكماش على الفضاء المتري الكامل X.

أظهر هاتشينسون أنه بالنسبة للفضاء المتري ℝ ⁿ ، أو بشكل أعم، بالنسبة للفضاء المتري الكامل${\displaystyle X}$يمتلك نظام الدوال هذا مجموعة ثابتة وحيدة غير فارغة ومضغوطة (مغلقة ومحدودة) S. ^{[ 3 ]} إحدى طرق إنشاء مجموعة ثابتة هي البدء بمجموعة أولية غير فارغة ومغلقة ومحدودة S₀ ، ثم تكرار تأثيرات الدوال _fᵢ ، _مع اعتبار Sₙ₊₁ اتحاد صور Sₙ تحت تأثير _fᵢ ؛ ثم اعتبار Sₙ إغلاق النهاية limₙ → ∞ _Sₙ . _رمزياً ، تتمتع المجموعة الثابتة الوحيدة (غير الفارغة والمضغوطة) S ⊆ X _{بالخاصية} التالية _:

${\displaystyle S={\overline {\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S)}}.}$

وبالتالي، فإن المجموعة S هي المجموعة الثابتة لمؤثر هاتشينسون F  : 2 ^X → 2 ^X المعرف لـ A ⊆ X عبر

${\displaystyle F(A)={\overline {\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(A)}}.}$

إن وجود S وتفردها هو نتيجة لمبدأ تطبيق الانكماش ، وكذلك حقيقة أن

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F^{n}(A)=S}$

لأي مجموعة مضغوطة غير فارغة A في X. (بالنسبة لأنظمة الدوال المتكررة الانكماشية، يحدث هذا التقارب حتى لأي مجموعة مغلقة محدودة غير فارغة A ). يمكن الحصول على عناصر عشوائية قريبة بشكل تعسفي من S عن طريق "لعبة الفوضى"، الموضحة أدناه.

أظهرت دراسة حديثة أن أنظمة الدوال المتكررة من النوع غير الانكماشي (أي المؤلفة من دوال ليست انكماشية بالنسبة لأي مقياس مكافئ طوبولوجيًا في X ) يمكن أن تُنتج جاذبات. تنشأ هذه الجاذبات بشكل طبيعي في الفضاءات الإسقاطية، مع إمكانية تكييف الدوران غير النسبي الكلاسيكي على الدائرة أيضًا. ^{[ 4 ]}

_تُولّد مجموعة الدوال fᵢ شبه زمرة تحت عملية التركيب . إذا وُجدت دالتان فقط، يُمكن تمثيل شبه الزمرة بشجرة ثنائية ، حيث يُمكن عند كل عقدة من الشجرة تركيب إحدى الدالتين ( أي اختيار الفرع الأيسر أو الأيمن). عمومًا، إذا وُجدت k دالة، يُمكن تمثيل شبه الزمرة بشجرة كاملة من الرتبة k ، تُعرف أيضًا بشجرة كايلي .

أحيانًا يُشترط أن تكون كل دالة fᵢ خطية ، أو بشكل أعم، _{تحويلًا} تآلفيًا ، وبالتالي تُمثَّل بمصفوفة . مع ذلك، يمكن أيضًا بناء أنظمة الدوال المتكررة (IFSs) من دوال غير خطية، بما في ذلك التحويلات الإسقاطية وتحويلات موبيوس . يُعدّ اللهب الكسري مثالًا على نظام دوال متكررة يحتوي على دوال غير خطية.

تُعرف الخوارزمية الأكثر شيوعًا لحساب الأشكال الكسورية باستخدام نظام الدوال المتكررة باسم " لعبة الفوضى ". وتتلخص هذه الخوارزمية في اختيار نقطة عشوائية في المستوى، ثم تطبيق إحدى الدوال المختارة عشوائيًا من نظام الدوال بشكل متكرر لتحويل النقطة والحصول على النقطة التالية. وهناك خوارزمية بديلة تتمثل في توليد كل تسلسل ممكن من الدوال حتى طول أقصى محدد، ثم رسم نتائج تطبيق كل تسلسل من هذه الدوال على نقطة أو شكل ابتدائي.

تُوفّر كلٌّ من هذه الخوارزميات بنيةً شاملةً تُولّد نقاطًا موزّعةً على كامل الشكل الكسري. عند رسم مساحة صغيرة من الشكل الكسري، ستقع العديد من هذه النقاط خارج حدود الشاشة. وهذا يجعل تكبير بنية IFS المرسومة بهذه الطريقة غير عملي.

على الرغم من أن نظرية نظام الدوال المتكررة تتطلب أن تكون كل دالة انكماشية، إلا أن البرامج التي تطبق نظام الدوال المتكررة عملياً لا تتطلب سوى أن يكون النظام بأكمله انكماشياً في المتوسط. ^{[ 5 ]}

توفر أنظمة الدوال المتكررة المقسمة (PIFS)، والتي تسمى أيضًا أنظمة الدوال المتكررة المحلية، ^{[ 6 ]} ضغطًا جيدًا للصور بشكل مدهش، حتى بالنسبة للصور الفوتوغرافية التي لا يبدو أنها تمتلك أنواع البنية المتشابهة ذاتيًا التي تظهرها كسور IFS البسيطة. ^{[ 7 ]}

توجد خوارزميات فائقة السرعة لإنشاء صورة من مجموعة من معلمات IFS أو PIFS. يُعد تخزين وصف لكيفية إنشاء الصورة، ونقل هذا الوصف إلى جهاز الوجهة، وإعادة إنشاء تلك الصورة من جديد على جهاز الوجهة، أسرع بكثير ويتطلب مساحة تخزين أقل بكثير من تخزين لون كل بكسل في الصورة ونقله. ^{[ 6 ]}

تُعدّ المسألة العكسية أكثر تعقيدًا: فبإعطاء صورة رقمية أصلية عشوائية، كصورة فوتوغرافية، يُحاول إيجاد مجموعة من معاملات نظام الترددات التكرارية (IFS) التي، عند تقييمها بالتكرار، تُنتج صورة أخرى مشابهة بصريًا للصورة الأصلية. في عام ١٩٨٩، قدّم أرنو جاكين حلًا لشكل مُقيّد من المسألة العكسية باستخدام نظام الترددات التكرارية الجزئية (PIFS) فقط؛ أما الشكل العام للمسألة العكسية فلا يزال دون حل. ^{[ ٨ ] [ ٩ ] [ ٦ ]}

بحلول عام 1995، كانت جميع برامج ضغط الفراكتلات تعتمد على نهج جاكوين. ^{[ 9 ]}

يوضح الرسم التخطيطي بناء نظام تكراري محدود (IFS) من دالتين خطيتين. تُمثَّل الدالتان بتأثيرهما على المربع ثنائي الوحدة (حيث تُحوِّل الدالة المربع المُحدَّد إلى المربع المُظلَّل). يُشكِّل دمج الدالتين مُؤثِّر هاتشينسون . تُعرض ثلاث تكرارات للمُؤثِّر، ثم تُمثِّل الصورة النهائية النقطة الثابتة، وهي الشكل الكسري النهائي.

تشمل الأمثلة المبكرة للكسور التي يمكن توليدها بواسطة نظام IFS مجموعة كانتور ، التي تم وصفها لأول مرة في عام 1884؛ ومنحنيات دي رام ، وهو نوع من المنحنيات ذاتية التشابه التي وصفها جورج دي رام في عام 1957.

تم وضع تصورات IFSs بشكلها الحالي بواسطة جون إي. هاتشينسون في عام 1981 ^{[ 3 ]} وتم نشرها على نطاق واسع من خلال كتاب مايكل بارنسلي Fractals Everywhere .

توفر أنظمة IFS نماذج لبعض النباتات والأوراق والسراخس، وذلك بفضل التشابه الذاتي الذي يحدث غالبًا في الهياكل المتفرعة في الطبيعة.

• نظام قائم على التعقيد
• نظرية التجميع
• تركيبات لا نهائية من الدوال التحليلية
• نظام L
• الانضغاط الفركتلي

• دريفز، سكوت ؛ إريك ريكاس (يوليو 2007). "خوارزمية اللهب الكسورية" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 9 مايو 2008. تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 يوليو 2008 .
• فالكونر، كينيث (1990). الهندسة الكسورية: الأسس الرياضية والتطبيقات . جون وايلي وأولاده. الصفحات 113-117، 136. ISBN  0-471-92287-0.
• بارنسلي، مايكل ؛ أندرو فينس (2011). "لعبة الفوضى على نظام دالة متكررة عامة". نظرية إرجوديك، الأنظمة الديناميكية . 31 (4): 1073-1079 . arXiv : 1005.0322 . Bibcode : 2010arXiv1005.0322B . doi : 10.1017/S0143385710000428 . S2CID 122674315 . 
• ديفيد، كلير (2019). "الخصائص الكسورية لدوال من نوع فايرشتراس" . وقائع المركز الدولي للهندسة . 12 (2): 43-61 . doi : 10.15673/tmgc.v12i2.1485 . S2CID 209964068 . 

• مقدمة في النظرية الأولية للتركيبات اللانهائية للدوال المركبة