فضاء محدود تمامًا

في علم الطوبولوجيا والفروع ذات الصلة من الرياضيات ، يُعدّ التقييد الكلي تعميمًا لمفهوم التراص في الحالات التي لا تكون فيها المجموعة مغلقة بالضرورة . يمكن تغطية المجموعة المقيدة كليًا بعدد محدود من المجموعات الجزئية ذات "حجم" ثابت (حيث يعتمد معنى "الحجم" على بنية الفضاء المحيط ).

يُستخدم مصطلح "مضغوط جزئيًا" (أو "مضغوط جزئيًا ") أحيانًا بنفس المعنى، ولكنه يُستخدم أيضًا للدلالة على " مضغوط نسبيًا ". تتطابق هذه التعريفات بالنسبة للمجموعات الجزئية من فضاء متري كامل ، ولكن ليس بشكل عام.

فضاء متري${\displaystyle (M,d)}$تكون محدودة تمامًا إذا وفقط إذا كان لكل عدد حقيقي${\displaystyle \varepsilon >0}$توجد مجموعة منتهية من الكرات المفتوحة ذات نصف قطر${\displaystyle \varepsilon }$ التي تقع مراكزها في M واتحادها يحتوي على M. وبصورة مكافئة، يكون الفضاء المتري M محدودًا تمامًا إذا وفقط إذا كان لكل ${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد غطاء محدود بحيث يكون نصف قطر كل عنصر من عناصر الغطاء على الأكثر${\displaystyle \varepsilon }$هذا يُكافئ وجود شبكة إبسيلون محدودة . ^{[ 1 ]} يكون الفضاء المتري محدودًا تمامًا إذا وفقط إذا كانت كل متتالية تقبل متتالية جزئية من نوع كوشي ؛ في الفضاءات المترية الكاملة، تكون المجموعة متراصة إذا وفقط إذا كانت مغلقة ومحدودة تمامًا. ^{[ 2 ]}

كل فضاء محدود كليًا يكون محدودًا (كما أن اتحاد عدد محدود من المجموعات المحدودة يكون محدودًا). ​​وينطبق العكس على المجموعات الجزئية من الفضاء الإقليدي (مع طوبولوجيا الفضاء الجزئي )، ولكن ليس بشكل عام. على سبيل المثال، المجموعة اللانهائية المزودة بالمقياس المتقطع تكون محدودة ولكنها ليست محدودة كليًا: ^{[ 3 ]} كل كرة منفصلة نصف قطرها${\displaystyle \varepsilon =1/2}$أو أقل من ذلك هو عنصر منفرد، ولا يمكن لأي اتحاد محدود من العناصر المنفردة أن يغطي مجموعة غير منتهية.

• في الفضاء المتري، تكون كل مجموعة مضغوطة محدودة تمامًا.
• كل مجموعة محدودة تمامًا هي مجموعة محدودة. ^{[ 5 ] [ 3 ]}
• تكون مجموعة جزئية من خط الأعداد الحقيقية ، أو بشكل أعم من الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد المحدودة ، محدودة تمامًا إذا وفقط إذا كانت محدودة .
• وبشكل عام، إذا كانت الفضاءات المترية تتمتع بخاصية هاين-بوريل ، فإن المجموعة الجزئية تكون محدودة إذا وفقط إذا كانت محدودة تمامًا.
• تكون كرة الوحدة في فضاء هيلبرت ، أو بشكل أكثر عمومية في فضاء باناخ ، محدودة تمامًا (في طوبولوجيا المعيار) إذا وفقط إذا كان للفضاء بُعد محدود .
• الدوال المحدودة متساوية الاستمرارية على مجموعة مضغوطة تكون مضغوطة مسبقًا في الطوبولوجيا المنتظمة ؛ هذه هي نظرية أرزيلا-أسكولي .
• يكون الفضاء المتري قابلاً للفصل إذا وفقط إذا كان متماثلاً شكلياً مع فضاء متري محدود كلياً. ^{[ 3 ]}
• إن إغلاق مجموعة جزئية محدودة تمامًا يكون محدودًا تمامًا أيضًا. ^{[ 6 ]}

على الرغم من أن مفهوم التقييد التام يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالفضاءات المترية، فإن البنية الجبرية الأوسع للمجموعات الطوبولوجية تسمح بالتخلي عن بعض خصائص الفصل . على سبيل المثال، في الفضاءات المترية، تكون المجموعة متراصة إذا وفقط إذا كانت كاملة ومحدودة تمامًا. وفقًا للتعريف أدناه، ينطبق الأمر نفسه على أي فضاء متجهي طوبولوجي (ليس بالضرورة فضاء هاوسدورف أو فضاءً كاملاً). ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

الصيغة المنطقية العامة للتعريف هي : مجموعة جزئية${\displaystyle S}$مساحة${\displaystyle X}$تكون محدودة تمامًا إذا وفقط إذا، مع الأخذ في الاعتبار أي حجم${\displaystyle E,}$يوجد غطاء محدود${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ل${\displaystyle S}$بحيث يكون كل عنصر من${\displaystyle {\mathcal {O}}}$حجمه في أقصى حد${\displaystyle E.}$${\displaystyle X}$تكون محدودة تمامًا إذا وفقط إذا كانت محدودة تمامًا عند اعتبارها مجموعة جزئية من نفسها.

نتبنى الاتفاقية التي تنص على أنه بالنسبة لأي حي${\displaystyle U\subseteq X}$من الهوية، مجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq X}$يُطلق عليه ( يسار )${\displaystyle U}$صغير إذا وفقط إذا${\displaystyle (-S)+S\subseteq U.}$^{[ 6 ]} مجموعة فرعية${\displaystyle S}$من مجموعة طوبولوجية${\displaystyle X}$تكون ( يسارًا ) محدودة تمامًا إذا استوفت أيًا من الشروط المكافئة التالية:

1. التعريف : لأي حي${\displaystyle U}$الهوية${\displaystyle 0,}$يوجد عدد محدود${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$بحيث${\textstyle S\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}\left(x_{j}+U\right).}$
2. لأي حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle 0,}$توجد مجموعة جزئية منتهية${\displaystyle F\subseteq X}$بحيث${\displaystyle S\subseteq F+U}$(حيث يمثل الجانب الأيمن مجموع مينكوفسكي)${\displaystyle F+U:=\{f+u:f\in F,u\in U\}}$).
3. لأي حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle 0,}$يوجد عدد محدود من المجموعات الجزئية${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ل${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle S\subseteq B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$وكل${\displaystyle B_{j}}$يكون${\displaystyle U}$صغير. ^{[ 6 ]}
4. لأي قاعدة فرعية معينة للمرشح${\displaystyle {\mathcal {B}}}$مرشح الجوار لعنصر الهوية${\displaystyle {\mathcal {N}}}$(والتي تتكون من جميع أحياء${\displaystyle 0}$في${\displaystyle X}$) ولكل${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$يوجد غلاف لـ${\displaystyle S}$بواسطة عدد محدود${\displaystyle B}$- مجموعات فرعية صغيرة من${\displaystyle X.}$^{[ 6 ]}
5. ${\displaystyle S}$هل حدود كوشي : لكل حي${\displaystyle U}$من الهوية وكل مجموعة جزئية لا نهائية قابلة للعد${\displaystyle I}$ل${\displaystyle S,}$توجد خصائص مميزة${\displaystyle x,y\in I}$بحيث${\displaystyle xy\in U.}$^{[ 6 ]} (إذا${\displaystyle S}$إذا كانت محدودة، فإن هذا الشرط يتحقق بشكل بديهي ).
6. أي من المجموعات الثلاث التالية تحقق (أي من التعريفات المذكورة أعلاه) كونها (يسارية) محدودة تمامًا:
   1. الإغلاق​${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$ل${\displaystyle S}$في${\displaystyle X.}$^{[ 6 ]}
      • إن وجود هذه المجموعة في القائمة يعني أن التوصيف التالي ينطبق عليها:${\displaystyle S}$تكون (يسارًا) محدودة تمامًا إذا وفقط إذا${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$(يسارًا) محدودة تمامًا (وفقًا لأي من الشروط المحددة المذكورة أعلاه). وينطبق الوصف نفسه على المجموعات الأخرى المدرجة أدناه.
   2. صورة${\displaystyle S}$تحت القسمة القانونية${\displaystyle X\to X/{\overline {\{0\}}},}$والذي يتم تحديده بواسطة${\displaystyle x\mapsto x+{\overline {\{0\}}}}$(أين${\displaystyle 0}$(هو عنصر الهوية).
   3. المجموع${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$^{[ 9 ]}

يظهر مصطلح "ما قبل التراص" عادةً في سياق فضاءات المتجهات الطوبولوجية لهاوسدورف. ^{[ 10 ] [ 11 ]} في هذه الحالة، تكون الشروط التالية مكافئة أيضًا لـ${\displaystyle S}$أن تكون (يسارًا) مقيدًا تمامًا:

7. في الإنجاز${\displaystyle {\widehat {X}}}$ل${\displaystyle X,}$الإغلاق${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}S}$ل${\displaystyle S}$مضغوط. ^{[ 10 ] [ 12 ]}
8. كل مرشح فائق على${\displaystyle S}$هو مرشح كوشي .

تعريف المحدود تمامًا من اليمين مماثل: ببساطة قم بتبديل ترتيب المنتجات.

الشرط 4 يعني أي مجموعة فرعية من${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$مجموعة محدودة تمامًا (في الواقع، متراصة؛ انظر §  المقارنة مع المجموعات المتراصة أعلاه). إذا${\displaystyle X}$أليس هاوسدورف كذلك، على سبيل المثال؟${\displaystyle \{0\}}$هي مجموعة كاملة مضغوطة غير مغلقة. ^{[ 6 ]}

• مساحة صغيرة
• مساحة محلية مضغوطة
• مقياس عدم التراص
• مساحة تقويمية مضغوطة
• مساحة شبه مضغوطة
• فضاء فرعي مضغوط نسبياً