المعكوس الضربي

في الرياضيات ، المعكوس الضربي أو المقلوب للعدد x ، ويرمز له بـ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$أو x ^{− 1} ، هو عدد إذا ضُرب في x يعطي العنصر المحايد الضربي ، وهو 1. المعكوس الضربي للكسر${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$يكون${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}.}$قسمة 1 على عدد حقيقي تعطي معكوسه الضربي. على سبيل المثال، مقلوب 5 هو خُمس (1/5 أو 0.2)، ومقلوب 0.25 هو 1 مقسومًا على 0.25، أي 4. دالة المقلوب هي الدالة f ( x ) التي تُحوّل x إلى${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$يُعد أحد أبسط الأمثلة على دالة هي معكوسها (الانعكاس ) .

الضرب في عدد ما هو نفسه القسمة على مقلوبه، والعكس صحيح. على سبيل المثال، الضرب في 4/5 (أو 0.8) يعطي نفس نتيجة القسمة على 5/4 (أو 1.25). لذلك، فإن الضرب في عدد ما متبوعًا بالضرب في مقلوبه يُعطي العدد الأصلي (لأن حاصل ضرب العدد في مقلوبه يساوي 1).

كان مصطلح "المقلوب" شائع الاستخدام على الأقل منذ الطبعة الثالثة من موسوعة بريتانيكا (1797) لوصف عددين حاصل ضربهما يساوي 1؛ أما الكميات الهندسية ذات التناسب العكسي فقد تم وصفها بأنها مقلوبة في ترجمة عام 1570 لكتاب العناصر لإقليدس . ^{[ 1 ]}

في عبارة "المعكوس الضربي" ، غالبًا ما تُحذف صفة " الضربي" ويُفهم معناها ضمنيًا (على عكس " المعكوس الجمعي" ). يمكن تعريف المعكوسات الضربية في العديد من المجالات الرياضية، بالإضافة إلى الأعداد. في هذه الحالات، قد يحدث أن يكون ab ≠ ba ؛ عندها، يشير مصطلح "معكوس" عادةً إلى أن العنصر له معكوس أيمن وأيسر .

يُستخدم الرمز f ⁻¹ أحيانًا للدلالة على الدالة العكسية للدالة f ، والتي لا تساوي في معظم الدوال المعكوس الضربي. على سبيل المثال، المعكوس الضربي${\displaystyle {\tfrac {1}{\sin x}}=(\sin x)^{-1}}$هو قاطع تمام x ، وليس معكوس جيب x الذي يُرمز إليه بـ sin ⁻¹ x أو arcsin x . إن الفرق في المصطلحات بين المقلوب والمعكوس لا يكفي للتمييز بينهما، إذ يفضل العديد من المؤلفين التسمية المعاكسة، ربما لأسباب تاريخية (على سبيل المثال، في اللغة الفرنسية ، يُفضل تسمية الدالة العكسية بـ bijection réciproque ).

في مجموعة الأعداد الحقيقية، لا يوجد مقلوب للصفر ( القسمة على صفر غير معرفة ) لأنه لا يوجد عدد حقيقي مضروب في صفر ينتج عنه 1 (حاصل ضرب أي عدد في صفر يساوي صفرًا). باستثناء الصفر، فإن مقلوب كل عدد حقيقي هو عدد حقيقي، ومقلوب كل عدد نسبي هو عدد نسبي، ومقلوب كل عدد مركب هو عدد مركب. خاصية وجود معكوس ضربي لكل عنصر عدا الصفر هي جزء من تعريف الحقل ، وهذه كلها أمثلة عليه. من ناحية أخرى، لا يوجد عدد صحيح غير 1 و-1 له مقلوب صحيح، وبالتالي فإن الأعداد الصحيحة ليست حقلًا.

في الحساب النمطي ، يُعرَّف المعكوس الضربي النمطي للعدد a : وهو العدد x الذي يحقق ax ≡ 1 (mod n ) . يوجد هذا المعكوس الضربي إذا وفقط إذا كان a و n عددين أوليين فيما بينهما . على سبيل المثال، معكوس 3 mod 11 هو 4 لأن 4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11) . يمكن استخدام خوارزمية إقليدس الموسعة لحسابه.

السدينيون هي جبر يكون فيه لكل عنصر غير صفري معكوس ضربي، ولكنه مع ذلك يحتوي على قواسم الصفر، أي العناصر غير الصفرية x و y بحيث يكون xy = 0 .

للمصفوفة المربعة معكوس إذا وفقط إذا كان لمحددها معكوس في حلقة المعاملات . وبالتالي ^، فإن التطبيق الخطي الذي تكون مصفوفته A⁻¹ بالنسبة لقاعدة معينة هو الدالة العكسية للتطبيق الذي تكون مصفوفته A في نفس القاعدة . لذا، فإن المفهومين المختلفين لمعكوس الدالة مرتبطان ارتباطًا وثيقًا في هذه الحالة، لكنهما لا يتطابقان، لأن المعكوس الضربي لـ Ax هو ( Ax ) ^⁻¹ ، وليس A⁻¹x ^.

يتطابق هذان المفهومان للدالة العكسية أحيانًا، على سبيل المثال بالنسبة للدالة${\displaystyle f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}}$حيث يمثل ln الفرع الرئيسي للوغاريتم المركب و${\displaystyle e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }}$: $${\displaystyle \left({\tfrac {1}{f}}\circ f\right)(x)={\frac {1}{f}}(f(x))={\frac {1}{f(f(x))}}={\frac {1}{e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}}}={\frac {1}{e^{ii\ln(x)}}}={\frac {1}{e^{-\ln(x)}}}=x.}$$

ترتبط الدوال المثلثية من خلال متطابقة المقلوب: ظل التمام هو مقلوب الظل؛ والقاطع هو مقلوب جيب التمام؛ وقاطع التمام هو مقلوب الجيب.

الحلقة التي يكون لكل عنصر غير صفري فيها معكوس ضربي هي حلقة قسمة ؛ وبالمثل فإن الجبر الذي يتحقق فيه هذا هو جبر قسمة .

كما ذُكر أعلاه، فإن مقلوب كل عدد مركب غير صفري z = a + bi هو عدد مركب. ويمكن إيجاده بضرب بسط ومقام العدد المركب z = a + bi.${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$بواسطة مرافقها المعقد${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$وباستخدام الخاصية التي${\displaystyle z{\bar {z}}=\|z\|^{2}}$، القيمة المطلقة لـ z تربيع، وهو العدد الحقيقي a ² + b ² :

$$\displaystyle \begin{aligned}{\frac {1}{z}}&={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}\\[2pt]&={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}\\[2pt]&={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}\\[2pt]&={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.\end{aligned}}}$$

الحدس هو أن${\displaystyle {\tfrac {\bar {z}}{\|z\|}}}$يعطينا ذلك المرافق المركب بقيمة مطلقة مخفضة إلى 1، لذا فإن القسمة مرة أخرى على | z | تضمن أن القيمة المطلقة تساوي الآن مقلوب القيمة المطلقة الأصلية أيضًا، وبالتالي: $${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}}$$ على وجه الخصوص، إذا كانت القيمة المطلقة لـ z تساوي 1 (أي أن z لها مقدار يساوي واحدًا)، فإن${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}={\bar {z}}.}$وبالتالي، فإنّ الوحدات التخيلية ، ± i ، لها معكوس جمعي يساوي معكوس ضربي، وهي الأعداد المركبة الوحيدة التي تتمتع بهذه الخاصية. على سبيل المثال، المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي للعدد i هما −( i ) = − i و ( i ) ⁻¹ = − i على التوالي.

بالنسبة للعدد المركب في الصورة القطبية z = r (cos φ + i sin φ ) ، فإن المقلوب ببساطة يأخذ مقلوب المقدار وسالب الزاوية:

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}{\bigl (}\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi ){\bigr )}.}$$

هندسياً في المستوى المركب، يمكن إيجاد معكوس العدد المركب عن طريق إجراء عملية انعكاس في دائرة الوحدة متبوعة بانعكاس حول المحور الحقيقي (انظر الرسم).

في حساب التفاضل والتكامل الحقيقي ، مشتقة${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}=x^{-1}}$يتم تحديدها بواسطة قاعدة القوة مع القوة -1: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.}$$

لا يمكن استخدام قاعدة القوة للتكاملات ( صيغة كافالييري التربيعية ) لحساب تكامل${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$لأن القيام بذلك سيؤدي إلى القسمة على صفر : $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{0}}{0}}+C}$$ بدلاً من ذلك، يُعطى التكامل بالصيغة التالية: $${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=\ln a,\qquad \int {\frac {dx}{x}}=\ln x+C.}$$ حيث ln هو اللوغاريتم الطبيعي . ولإثبات ذلك، لاحظ أن${\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}$لذلك إذا${\displaystyle x=e^{y}}$و${\displaystyle y=\ln x}$لدينا: ^{[ 2 ]}$$\begin{aligned} \frac{dx}{dy} = x \rightarrow \quad \int {dx}{x} = \int dy = y + C = ln x + C \end{aligned}$$

يمكن حساب المقلوب يدويًا باستخدام القسمة المطولة .

يُعد حساب المقلوب مهمًا في العديد من خوارزميات القسمة ، لأن ناتج القسمة${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$يمكن حسابها عن طريق حساب${\displaystyle {\tfrac {1}{b}}}$ثم ضربها في . مع ملاحظة أن${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}-b}$يحتوي على صفر في${\displaystyle x={\tfrac {1}{b}},}$يمكن لطريقة نيوتن إيجاد الصفر، بدءًا من تخمين x ₀ والتكرار باستخدام القاعدة:

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {{\frac {1}{x_{n}}}-b}{\frac {-1}{x_{n}^{2}}}}=2x_{n}-bx_{n}^{2}=x_{n}(2-bx_{n}).}$$

يستمر هذا حتى الوصول إلى الدقة المطلوبة. على سبيل المثال، لنفترض أننا نريد حساب 1/17 ≈ 0.0588 بدقة ثلاثة أرقام. بأخذ x₀ = 0.1 _، نحصل على التسلسل التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=0.1(2-17\times 0.1)&&=0.03\\x_{2}&=0.03(2-17\times 0.03)&&=0.0447\\x_{3}&=0.0447(2-17\times 0.0447)&&\approx 0.0554\\x_{4}&=0.0554(2-17\times 0.0554)&&\approx 0.0586\\x_{5}&=0.0586(2-17\times 0.0586)&&\approx 0.0588\end{aligned}}}$$

يمكن إيجاد تخمين أولي نموذجي عن طريق تقريب b إلى قوة قريبة من 2، ثم استخدام عمليات إزاحة البت لحساب مقلوبها.

في الرياضيات البنائية ، لكي يكون للعدد الحقيقي x مقلوب، لا يكفي أن يكون x ≠ 0. بل يجب أن يكون هناك عدد نسبي r بحيث يكون 0 < r < | x | . وبالنسبة لخوارزمية التقريب المذكورة أعلاه، فإن هذا ضروري لإثبات أن التغير في y سيصبح في النهاية صغيرًا جدًا.

يمكن تعميم هذه العملية التكرارية لتشمل أنواعًا أوسع من المعكوسات؛ على سبيل المثال، معكوسات المصفوفات .

لكل عدد حقيقي أو مركب باستثناء الصفر مقلوب، وقد تتمتع مقلوبات بعض الأعداد غير النسبية بخصائص مميزة. من الأمثلة على ذلك مقلوب العدد e (≈  0.367879) ومقلوب النسبة الذهبية (≈  0.618034). يتميز المقلوب الأول بأنه لا يوجد عدد موجب آخر يمكن أن ينتج عنه عدد أصغر عند رفعه إلى قوة نفسه.${\displaystyle f{\bigl (}{\tfrac {1}{e}}{\bigr )}}$يمثل الحد الأدنى العالمي للدالة f ( x ) = x ^x . العدد الثاني هو العدد الموجب الوحيد الذي يساوي مقلوبه زائد واحد. $${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\varphi }}+1.}$$ معكوسه الجمعي هو العدد السالب الوحيد الذي يساوي مقلوبه ناقص واحد: $${\displaystyle -\varphi =-{\frac {1}{\varphi }}-1.}$$

الوظيفة

$${\displaystyle f(n)={\tfrac {1}{2}}n+{\sqrt {\left({\tfrac {1}{2}}n\right)^{\!2}+1}}}$$

يمكن استخدام هذه الطريقة لإيجاد العدد غير النسبي الذي يختلف عن مقلوبه بعدد صحيح n ، لأنه بشكل عام f ( n ) – f ( n ) ^{– 1} = n . على سبيل المثال:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(4)=2+{\sqrt {5}};\qquad f^{-1}(4)={\frac {1}{2+{\sqrt {5}}}}=-2+{\sqrt {5}};\\&\therefore \,f(4)-f^{-1}(4)=4.\end{aligned}}}$$

تشترك هذه الأعداد غير النسبية في خاصية واضحة: فهي تحتوي على نفس الجزء الكسري مثل مقلوبها، لأن هذه الأعداد تختلف بمقدار عدد صحيح.

تلعب الدالة المقلوبة دورًا مهمًا في الكسور المستمرة البسيطة ، والتي لها عدد من الخصائص الرائعة المتعلقة بتمثيل الأعداد (النسبية وغير النسبية).

إذا كانت عملية الضرب تجميعية، فلا يمكن أن يكون العنصر x الذي له معكوس ضربي قاسمًا للصفر ( يكون x قاسمًا للصفر إذا كان هناك عدد غير صفري y ، xy = 0 ). ولإثبات ذلك، يكفي ضرب المعادلة xy = 0 في معكوس x (على اليسار)، ثم تبسيطها باستخدام خاصية التجميع. في حالة عدم وجود خاصية التجميع، تُقدّم السدينيونات مثالًا مضادًا.

لا ينطبق العكس: فالعنصر الذي ليس قاسمًا للصفر ليس بالضرورة أن يكون له معكوس ضربي. ضمن${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$جميع الأعداد الصحيحة باستثناء -1 و 0 و 1 تُقدّم أمثلة؛ فهي ليست قواسم للصفر ولا يوجد لها معكوس في${\displaystyle \mathbb {Z} .}$إذا كانت الحلقة أو الجبر منتهية ، فإن جميع العناصر a التي ليست قواسم للصفر لها معكوس (يساري ويميني). لاحظ أولًا أن الدالة f ( x ) = ax يجب أن تكون أحادية : f ( x ) = f ( y ) تستلزم x = y . $${\displaystyle {\begin{aligned}ax=ay&&\Rightarrow &\quad ax-ay=0\\&&\Rightarrow &\quad a(x-y)=0\\&&\Rightarrow &\quad x-y=0\\&&\Rightarrow &\quad x=y.\end{aligned}}}$$ تُقابل العناصر المختلفة عناصر مختلفة، لذا تتكون الصورة من نفس العدد المحدود من العناصر، وبالتالي فإن التطبيق شامل بالضرورة . تحديدًا، يجب أن يُقابل f (أي الضرب في a ) عنصرًا ما x بالعدد 1 ، ax = 1 ، بحيث يكون x معكوسًا لـ a .

توسيع المقلوب${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}$يمكن لأي أساس أن يعمل أيضًا ^{[ 3 ]} كمصدر للأرقام شبه العشوائية ، إذا كان q عددًا أوليًا آمنًا "مناسبًا" ، وهو عدد أولي على الصورة 2p + 1 حيث p عدد أولي أيضًا. سينتج عن هذا التوسع سلسلة من الأرقام شبه العشوائية بطول q − 1 .

• القسمة (الرياضيات)
• اضمحلال أسي
• جزء
• المجموعة (الرياضيات)
• القطع الزائد
• التوزيع العكسي
• العنصر العكسي
• قائمة بمجموع مقلوبات الأعداد
• عدد عشري دوري
• إحداثيات الكرة السداسية
• الكسور الوحدوية – مقلوب الأعداد الصحيحة
• الأصفار والأقطاب

• المعكوسات الدورية القصوى، ماثيوز آر إيه جيه، نشرة معهد الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد 28، الصفحات 147-148، 1992