الكسر الوحدوي

ينتج عن ضرب أي كسرين من فئة الوحدة ناتج يكون كسرًا آخر من فئة الوحدة: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.}$$ ومع ذلك، فإن جمع ^{[ 3 ]} أو طرح ^{[ 3 ]} أو قسمة كسرين من فئة الوحدة ينتج عنه نتيجة ليست كسرًا من فئة الوحدة بشكل عام :$${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {yx}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.}$$

كما توضح الصيغة الأخيرة من هذه الصيغ، يمكن التعبير عن كل كسر على أنه ناتج قسمة كسرين وحدة. ^{[ 4 ]}

في الحساب النمطي ، يمكن تحويل أي كسر وحدة إلى عدد صحيح مكافئ باستخدام خوارزمية إقليدس الموسعة . ^{[ 5 ] [ 6 ]} ويمكن استخدام هذا التحويل لإجراء القسمة النمطية: القسمة على عدد.${\displaystyle x}$، modulo${\displaystyle y}$ويمكن القيام بذلك عن طريق تحويل الكسر الواحدي${\displaystyle 1/x}$إلى عدد صحيح مكافئ modulo${\displaystyle y}$ثم ضرب الناتج في ذلك الرقم. ^{[ 7 ]}

بتفصيل أكثر، لنفترض أن${\displaystyle x}$يُعدّ موقعاً متميزاً نسبياً لـ${\displaystyle y}$(وإلا، القسمة على${\displaystyle x}$غير مُعرَّف modulo${\displaystyle y}$يمكن استخدام خوارزمية إقليدس الموسعة لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لإيجاد الأعداد الصحيحة.${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$بحيث تتحقق هوية بيزو :$${\displaystyle \displaystyle ax+by=\gcd(x,y)=1.}$$ بنمط-${\displaystyle y}$الحساب، المصطلح${\displaystyle by}$يمكن حذفها لأنها تساوي صفرًا (باقي القسمة على صفر).${\displaystyle y}$وهذا يترك $${\displaystyle \displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}.}$$ إنه،${\displaystyle a}$هو المعكوس المعياري لـ${\displaystyle x}$، العدد الذي عند ضربه في${\displaystyle x}$ينتج واحداً. وبالمثل، ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.}$$ وبالتالي القسمة على${\displaystyle x}$(modolo)${\displaystyle y}$ويمكن بدلاً من ذلك إجراء العملية عن طريق الضرب في عدد صحيح.${\displaystyle a}$[ ^{7 ]​}

يمكن كتابة أي عدد نسبي موجب على شكل مجموع كسور وحدة مختلفة، وذلك بعدة طرق. على سبيل المثال،

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.}$

تُسمى هذه المجاميع بالكسور المصرية ، لأن الحضارات المصرية القديمة استخدمتها كرمز للأعداد النسبية الأكثر عمومية . ولا يزال هناك اهتمام حتى اليوم بتحليل الطرق التي استخدمها القدماء للاختيار من بين التمثيلات الممكنة للعدد الكسري، ولإجراء العمليات الحسابية باستخدام هذه التمثيلات. ^{[ 8 ]} كما حظي موضوع الكسور المصرية باهتمام في نظرية الأعداد الحديثة ؛ فعلى سبيل المثال، تتعلق مسألة إردوش-غراهام ^{[ 9 ]} وتخمين إردوش-ستراوس ^{[ 10 ]} بمجاميع الكسور الوحدوية، وكذلك تعريف الأعداد التوافقية لأور . ^{[ 11 ]}

في نظرية الزمر الهندسية ، تُصنف زمر المثلثات إلى حالات إقليدية وكروية وقطع زائدية وفقًا لما إذا كان مجموع الكسور الوحدية المرتبطة بها يساوي واحدًا أو أكبر من واحد أو أصغر من واحد على التوالي. ^{[ 12 ]}

تحتوي العديد من المتسلسلات اللانهائية المعروفة على حدود عبارة عن كسور وحدة. ومنها:

• المتسلسلة التوافقية هي مجموع جميع الكسور الوحدوية الموجبة. هذا المجموع متباعد، وكذلك مجاميعه الجزئية.$${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$$تقارب بشكل كبير اللوغاريتم الطبيعي لـ${\displaystyle n}$بالإضافة إلى ثابت أويلر-ماسكيروني . ^{[ 13 ]} إن تغيير كل عملية جمع إلى عملية طرح ينتج عنه سلسلة توافقية متناوبة، والتي مجموعها يساوي اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2 : ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$$
• صيغة لايبنيز لـ π هي ^{[ 15 ]}$${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$
• تتعلق مسألة بازل بمجموع مربعات الكسور الوحدوية: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$وبالمثل، فإن ثابت أبيري هو عدد غير نسبي ، وهو مجموع الكسور الوحدوية المكعبة. ^{[ 17 ]}
• المتسلسلة الهندسية الثنائية هي ^{[ 18 ]}$${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.}$$

مصفوفة هيلبرت هي مصفوفة مربعة تكون عناصرها على${\displaystyle i}$جميع العناصر المضادة للقطر تساوي الكسر الواحدي${\displaystyle 1/i}$أي أن له عناصر $${\displaystyle B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.}$$ على سبيل المثال، المصفوفة $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}}$$ هي مصفوفة هيلبرت. تتميز بخاصية غير عادية، وهي أن جميع عناصر مصفوفة معكوسها أعداد صحيحة. ^{[ 19 ]} وبالمثل، عرّف ريتشاردسون (2001) مصفوفة عناصرها كسور وحدة مقاماتها أعداد فيبوناتشي : $${\displaystyle C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},}$$ أين${\displaystyle F_{i}}$يشير إلى${\displaystyle i}$العدد 1 من متتالية فيبوناتشي. ويُطلق على هذه المصفوفة اسم مصفوفة فيلبرت، ولها نفس الخاصية المتمثلة في وجود معكوس صحيح. ^{[ 20 ]}

كسران${\displaystyle a/b}$و${\displaystyle c/d}$تُسمى (في أبسط صورة) متجاورة إذا$${\displaystyle ad-bc=\pm 1,}$$مما يعني أنهما يختلفان عن بعضهما البعض بمقدار وحدة كسرية: $${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}\right|={\frac {|ad-bc|}{bd}}={\frac {1}{bd}}.}$$ على سبيل المثال،${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$و${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$متجاورة:${\displaystyle 1\cdot 5-2\cdot 3=-1}$و${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{10}}}$ومع ذلك، فإن بعض أزواج الكسور التي يكون الفرق بينها كسرًا واحدًا لا تكون متجاورة بهذا المعنى: على سبيل المثال،${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$و${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$يختلفان بمقدار كسر وحدة، لكنهما ليسا متجاورين، لأنه بالنسبة لهما${\displaystyle ad-bc=3}$[ ^{21 ]​}

يأتي هذا المصطلح من دراسة دوائر فورد . وهي عبارة عن نظام من الدوائر التي تمس خط الأعداد عند كسر معين، ويكون قطرها مساويًا لمربع مقام الكسر. الكسور${\displaystyle a/b}$و${\displaystyle c/d}$تكون متجاورة إذا وفقط إذا كانت دوائر فورد الخاصة بها دوائر مماسية . ^{[ 21 ]}

في تعليم الرياضيات ، تُقدَّم كسور الوحدة عادةً في وقت أبكر من أنواع الكسور الأخرى، لسهولة شرحها بصريًا كأجزاء متساوية من الكل. ^{[ 22 ] [ 23 ]} ومن الاستخدامات العملية الشائعة لكسور الوحدة تقسيم الطعام بالتساوي بين عدد من الأشخاص، وتُعدّ تمارين إجراء هذا النوع من التقسيم العادل مثالًا نموذجيًا في الفصل الدراسي لتعليم الطلاب التعامل مع كسور الوحدة. ^{[ 24 ]}

في التوزيع المنتظم على فضاء منفصل ، تكون جميع الاحتمالات عبارة عن كسور متساوية قيمتها 1. وبسبب مبدأ اللامبالاة ، تظهر الاحتمالات من هذا الشكل بشكل متكرر في الحسابات الإحصائية. ^{[ 25 ]}

تنشأ احتمالات غير متساوية مرتبطة بالكسور الوحدوية في قانون زيبف . ينص هذا القانون على أنه بالنسبة للعديد من الظواهر المرصودة التي تتضمن اختيار عناصر من تسلسل مرتب، فإن احتمال أن${\displaystyle n}$يتم اختيار العنصر رقم 1 بما يتناسب مع الكسر الموحد${\displaystyle 1/n}$[ ^{26 ]​}

في دراسة مسائل التحسين التوافقي ، تتضمن مسائل تعبئة الصناديق سلسلة مدخلات من العناصر ذات الأحجام الكسرية، والتي يجب وضعها في صناديق سعتها (إجمالي حجم العناصر الموضوعة في كل صندوق) تساوي واحدًا. وقد شملت الأبحاث في هذه المسائل دراسة مسائل تعبئة الصناديق المقيدة حيث تكون أحجام العناصر كسورًا وحدوية. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

أحد دوافع ذلك هو استخدامه كحالة اختبار لأساليب تعبئة الصناديق الأكثر عمومية. ويتضمن دافع آخر شكلاً من أشكال جدولة العجلة الدوارة ، حيث يجب بث مجموعة من الرسائل متساوية الطول بشكل متكرر على عدد محدود من قنوات الاتصال، مع وجود حد أقصى للتأخير بين أوقات بدء بث كل رسالة بشكل متكرر. العنصر الذي يكون تأخيره${\displaystyle k}$يجب أن يشغل طول الرسالة أضعاف جزء من على الأقل${\displaystyle 1/k}$من الفترات الزمنية على القناة المخصصة لها، لذا فإن حل مشكلة الجدولة لا يمكن أن يأتي إلا من حل مشكلة تعبئة الحاويات ذات الكسور الوحدوية مع اعتبار القنوات حاويات والكسور${\displaystyle 1/k}$كأحجام العناصر. ^{[ 27 ]}

حتى في مسائل تعبئة الصناديق ذات الأحجام العشوائية للعناصر، قد يكون من المفيد تقريب حجم كل عنصر إلى الكسر الأكبر التالي، ثم تطبيق خوارزمية تعبئة صناديق مُخصصة لأحجام الكسور. وعلى وجه الخصوص، تقوم طريقة التعبئة التوافقية للصناديق بذلك تمامًا، ثم تعبئ كل صندوق باستخدام عناصر ذات حجم كسر واحد مُقرّب فقط. ^{[ 28 ]}

وفقًا لصيغة ريدبيرغ ، تتناسب مستويات طاقة الفوتونات التي يمكن أن يمتصها أو ينبعثها ذرة الهيدروجين طرديًا مع الفرق بين كسرين وحدويين. ويُقدم نموذج بور تفسيرًا لهذه الظاهرة ، حيث ينص على أن مستويات طاقة مدارات الإلكترون في ذرة الهيدروجين تتناسب عكسيًا مع مربعات الكسور الوحدوية، وأن طاقة الفوتون مُكمّمة إلى الفرق بين مستويين. ^{[ 29 ]}

جادل آرثر إيدنغتون بأن ثابت البنية الدقيقة هو كسر وحدة. اعتقد في البداية أنه يساوي 1/136، ثم عدّل نظريته لاحقًا إلى 1/137. وقد ثبت خطأ هذا الادعاء، نظرًا لأن التقديرات الحالية لثابت البنية الدقيقة (حتى 6 أرقام معنوية) هي 1/137.036. ^{[ 30 ]}