نظرية المجموعات الوصفية

في المنطق الرياضي ، تُعنى نظرية المجموعات الوصفية بدراسة فئات معينة من المجموعات الجزئية من خط الأعداد الحقيقية والفضاءات البولندية الأخرى التي تستوفي معيارًا معينًا للتعريف. وإلى جانب كونها أحد المجالات البحثية الرئيسية في نظرية المجموعات ، فإن لها تطبيقات في مجالات أخرى من الرياضيات، مثل التحليل الوظيفي ، ونظرية الإرجودية ، ودراسة جبر المؤثرات وتأثيرات الزمر ، والمنطق الرياضي .

تبدأ نظرية المجموعات الوصفية بدراسة الفضاءات البولندية ومجموعات بوريل الخاصة بها .

الفضاء البولندي هو فضاء طوبولوجي قابل للعد من الدرجة الثانية، وقابل للقياس بمقياس كامل . ويمكن تعريفه، بشكل مبسط، بأنه فضاء متري كامل قابل للفصل، تم "تجاهل" مقياسه. ومن الأمثلة على ذلك خط الأعداد الحقيقية.${\displaystyle \mathbb {R} }$مساحة باير${\displaystyle {\mathcal {N}}}$مساحة كانتور${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ومكعب هيلبرت${\displaystyle I^{\mathbb {N} }}$.

تتألف فئة مجموعات بوريل للفضاء الطوبولوجي X من جميع المجموعات في أصغر جبر سيجما يحتوي على المجموعات المفتوحة لـ X. وهذا يعني أن مجموعات بوريل لـ X هي أصغر مجموعة من المجموعات التي تحقق ما يلي:

• كل مجموعة جزئية مفتوحة من X هي مجموعة بوريل.
• إذا كانت A مجموعة بوريل، فإن A كذلك${\displaystyle X\setminus A}$أي أن فئة مجموعات بوريل مغلقة تحت التتميم.
• إذا كانت A _{_n} مجموعة بوريل لكل عدد طبيعي n ، فإن الاتحاد${\displaystyle \bigcup A_{n}}$هي مجموعة بوريل. أي أن مجموعات بوريل مغلقة تحت اتحادات قابلة للعد.

تُظهر نتيجة أساسية أن أي فضاءين بولنديين غير قابلين للعد، X و Y ، متماثلان بوريليًا : يوجد تقابل من X إلى Y بحيث تكون الصورة العكسية لأي مجموعة بوريلية هي بوريلية، وصورة أي مجموعة بوريلية هي بوريلية. وهذا يُعطي تبريرًا إضافيًا لممارسة حصر الاهتمام بفضاء باير وفضاء كانتور، حيث أن هذه الفضاءات وأي فضاءات بولندية أخرى متماثلة على مستوى مجموعات بوريل.

تتجاوز مجموعات بوريل في التعقيد مجموعات التحليلية والمجموعات التحليلية المساعدة . تُعتبر مجموعة جزئية من فضاء بولندي X تحليلية إذا كانت الصورة المتصلة لمجموعة بوريل جزئية من فضاء بولندي آخر. مع أن أي صورة عكسية متصلة لمجموعة بوريل هي بوريل، إلا أن ليس كل المجموعات التحليلية هي مجموعات بوريل. تُعتبر المجموعة تحليلية مساعدة إذا كانت مكملتها تحليلية.

تعتمد العديد من المسائل في نظرية المجموعات الوصفية في نهاية المطاف على اعتبارات نظرية المجموعات وخصائص الأعداد الترتيبية والأعداد الأصلية . وتتجلى هذه الظاهرة بشكل خاص في المجموعات الإسقاطية ، التي تُعرَّف من خلال التسلسل الهرمي الإسقاطي على فضاء بولندي X.

• يُعلن أن المجموعة${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{1}}$إذا كان تحليليًا.
• المجموعة هي${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{1}}$إذا كان تحليليًا مشتركًا.
• المجموعة أ هي${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}}$إذا كان هناك${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}}$المجموعة الفرعية ب من${\displaystyle X\times X}$بحيث يكون A هو إسقاط B على الإحداثي الأول.
• المجموعة أ هي${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}}$إذا كان هناك${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}}$المجموعة الفرعية ب من${\displaystyle X\times X}$بحيث يكون A هو إسقاط B على الإحداثي الأول.
• المجموعة هي${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}}$إذا كان كلاهما${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}}$و${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}}$.

كما هو الحال مع التسلسل الهرمي لبوريل، لكل n ، أي${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}}$المجموعة هي كلاهما${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}}$و${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}}$.

لا تُحدد ZFC خصائص المجموعات الإسقاطية بشكل كامل. فبافتراض أن V = L ، لا تمتلك جميع المجموعات الإسقاطية خاصية المجموعة الكاملة أو خاصية باير. مع ذلك، بافتراض حتمية الإسقاط ، تمتلك جميع المجموعات الإسقاطية كلتا الخاصيتين. ويرتبط هذا بحقيقة أن ZFC تُثبت حتمية بوريل ، لا حتمية الإسقاط.

توجد أيضًا امتدادات عامة لـ${\displaystyle L}$لأي عدد طبيعي${\displaystyle n>2}$في أي${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )\cap L}$يتكون من جميع الأسطح المضيئة${\displaystyle \Delta _{n}^{1}}$مجموعات فرعية من${\displaystyle \omega }$[ ^{1 ]​}

بشكلٍ أعم، يمكن تجميع جميع مجموعات عناصر الفضاء البولندي X في فئات تكافؤ، تُعرف بدرجات وادج ، والتي تُعمم التسلسل الهرمي الإسقاطي. تُرتّب هذه الدرجات وفقًا لتسلسل وادج الهرمي . تنص بديهية الحتمية على أن تسلسل وادج الهرمي على أي فضاء بولندي مُؤسس جيدًا وله طول Θ ، مع بنية تُوسّع التسلسل الهرمي الإسقاطي.

يدرس أحد مجالات البحث المعاصرة في نظرية المجموعات الوصفية علاقات التكافؤ البوريلية . علاقة التكافؤ البوريلية على فضاء بولندي X هي مجموعة جزئية بوريلية من${\displaystyle X\times X}$هذه علاقة تكافؤ على X.

يجمع مجال نظرية المجموعات الوصفية الفعّالة بين أساليب نظرية المجموعات الوصفية وأساليب نظرية الاستدعاء المعممة (وخاصةً نظرية الحساب الفائق ). ويركز هذا المجال تحديدًا على نظائر الأوجه الخفيفة لتسلسلات نظرية المجموعات الوصفية الكلاسيكية. وهكذا ، تُدرس التسلسلات الهرمية للحساب الفائق بدلًا من تسلسلات بوريل، والتسلسلات الهرمية التحليلية بدلًا من التسلسلات الهرمية الإسقاطية. ويرتبط هذا البحث بإصدارات أضعف من نظرية المجموعات، مثل نظرية مجموعات كريپكي-بلاتيك والحساب من الرتبة الثانية .

• فئة النقاط
• الطلب المسبق
• خاصية المقياس

• كيكريس، ألكسندر س. (1994). نظرية المجموعات الوصفية الكلاسيكية . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-94374-9.
• موشوفاكيس، يانيس ن. (1980). نظرية المجموعات الوصفية . نورث هولاند. ISBN 0-444-70199-0.
• بارتوشينسكي، توميك؛ يهودا، حاييم (1995). نظرية المجموعات: حول بنية خط الأعداد الحقيقية . ناتيك: إيه كيه بيترز/سي آر سي برس. رقم ISBN 978-1-56881-044-7.

• نظرية المجموعات الوصفية ، ديفيد ماركر، 2002. ملاحظات المحاضرة.