التفرد القابل للإزالة

في التحليل المركب ، تعتبر نقطة التفرد القابلة للإزالة لدالة هولومورفية نقطة تكون عندها الدالة غير معرفة ، ولكن من الممكن إعادة تعريف الدالة عند تلك النقطة بطريقة تجعل الدالة الناتجة منتظمة في جوار تلك النقطة.

على سبيل المثال، دالة sinc (غير المعيارية) ، كما هو مُعرَّف بواسطة

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {\sin z}{z}}}$

لها نقطة تفرد عند ⁠${\displaystyle z=0}$يمكن إزالة هذه الحالة الشاذة بتعريف${\displaystyle {\text{sinc}}(0):=1}$، وهي نهاية دالة sinc عندما​${\displaystyle z}$يميل إلى​${\displaystyle 0}$الدالة الناتجة هي دالة تحليلية. في هذه الحالة ، نشأت المشكلة منإعطاء دالة sinc شكلاً غير محدد . بأخذمتسلسلة قوى لـ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sin(z)}{z}}}$حول النقطة المفردة يوضح أن

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)!}}=1- {\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots .}$

رسميًا، إذا${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$هي مجموعة فرعية مفتوحة من المستوى المركب${\displaystyle \mathbb {C} }$،​${\displaystyle a\in U}$نقطة من${\displaystyle U}$، و${\displaystyle f:U\smallsetminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} }$إذا كانت دالة تامة الشكل ، فإن${\displaystyle a}$يُطلق عليه اسم التفرد القابل للإزالة لـ${\displaystyle f}$إذا وُجدت دالة تحليلية${\displaystyle g:U\rightarrow \mathbb {C} }$وهو ما يتزامن مع${\displaystyle f}$في​${\displaystyle U\smallsetminus \{a\}}$نقول​${\displaystyle f}$قابل للتمديد الهولومورفي على${\displaystyle U}$إذا كان هذا${\displaystyle g}$موجود.

تنص نظرية ريمان حول النقاط الشاذة القابلة للإزالة على ما يلي:

الاستنتاجات 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 بديهية. لإثبات 4 ⇒ 1، نتذكر أولاً أن الشكل التام للدالة عند${\displaystyle a}$وهو ما يعادل كونه تحليليًا في${\displaystyle a}$( إثبات )، أي امتلاك تمثيل متسلسلة قوى. عرّف

${\displaystyle h(z)={\begin{cases}(za)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}}$

بكل وضوح ،${\displaystyle h}$⁠ هولومورفي على ⁠${\displaystyle D\smallsetminus \{a\}}$، ويوجد

${\displaystyle h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(za)^{2}f(z)-0}{za}}=\lim _{z\to a}(za)f(z)=0}$

بضربها في 4، ومن ثم${\displaystyle h}$⁠ هولومورفي على ⁠${\displaystyle D}$ولديها سلسلة تايلور حول​${\displaystyle a}$⁠ :

${\displaystyle h(z)=c_{0}+c_{1}(za)+c_{2}(za)^{2}+c_{3}(za)^{3}+\ldots \,.}$

لدينا​${\displaystyle c_{0}=h(a)=0}$و​​${\displaystyle c_{1}=h'(a)=0}$لذلك ؛

${\displaystyle h(z)=c_{2}(za)^{2}+c_{3}(za)^{3}+\ldots \,.}$

ومن ثم، حيث${\displaystyle z\neq a}$لدينا :

${\displaystyle f(z)={\frac {h(z)}{(za)^{2}}}=c_{2}+c_{3}(za)+\ldots \,.}$

لكن،

${\displaystyle g(z)=c_{2}+c_{3}(za)+\cdots \,.}$

هو هولومورفي على${\displaystyle D}$وبالتالي فهو امتداد لـ${\displaystyle f}$⁠ .

بخلاف الدوال ذات المتغير الحقيقي، تتميز الدوال التحليلية بصلابة كافية تسمح بتصنيف نقاطها الشاذة المعزولة تصنيفًا كاملًا. فنقطة شاذة الدالة التحليلية إما أنها ليست نقطة شاذة على الإطلاق، أي نقطة شاذة قابلة للإزالة، أو أنها تنتمي إلى أحد النوعين التاليين:

1. في ضوء نظرية ريمان، إذا افترضنا وجود حالة شاذة غير قابلة للإزالة، فقد يتساءل المرء عما إذا كان هناك عدد طبيعي${\displaystyle m}$بحيث​${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}(za)^{m+1}f(z)=0}$. إذا كان الأمر كذلك،${\displaystyle a}$يُطلق عليه اسم قطب${\displaystyle f}$وأصغرها${\displaystyle m}$هو ترتيب ⁠​${\displaystyle a}$إذن ، فإنّ النقاط الشاذة القابلة للإزالة هي تحديداً أقطاب النظام .${\displaystyle 0}$. تنفجر الدالة الميرومورفية بشكل منتظم بالقرب من أقطابهاالأخرى .
2. إذا كانت نقطة تفرد معزولة${\displaystyle a}$ل${\displaystyle f}$لا يمكن إزالته ولا يمثل قطبًا، ويُطلق عليه اسم التفرد الجوهري . تُظهر نظرية بيكارد الكبرى أن مثل هذا${\displaystyle f}$خرائط لكل حي مفتوح مثقوب${\displaystyle U\smallsetminus \{a\}}$إلى المستوى المركب بأكمله، باستثناء نقطة واحدة على الأكثر.

• القدرة التحليلية
• انقطاع قابل للإزالة

• نقطة مفردة قابلة للإزالة في موسوعة الرياضيات. رابط قديم مؤرشف بتاريخ 20 ديسمبر 2012 على archive.today