عامل إغلاق

في الرياضيات ، عامل الإغلاق على مجموعة S هو دالة${\displaystyle \operatorname {cl}$ :{\mathcal {P}}(S)\rightarrow {\mathcal {P}}(S)} من مجموعة القوى لـ S إلى نفسها والتي تحقق الشروط التالية لجميع المجموعات${\displaystyle X,Y\subseteq S}$

${\displaystyle X\subseteq \operatorname {cl} (X)}$	(cl واسع النطاق )،
${\displaystyle X\subseteq Y\Rightarrow \operatorname {cl} (X)\subseteq \operatorname {cl} (Y)}$	( يزداد التصفية )،
${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {cl} (X))=\operatorname {cl} (X)}$	(cl هي دالة متطابقة ).

تُحدد عوامل الإغلاق بمجموعاتها المغلقة ، أي بالمجموعات التي تأخذ الشكل cl( X )، لأن إغلاق cl( X ) لمجموعة X هو أصغر مجموعة مغلقة تحتوي على X. تُسمى هذه العائلات من "المجموعات المغلقة" أحيانًا أنظمة الإغلاق أو " عائلات مور ". ^{[ 1 ]} تُسمى المجموعة مع عامل إغلاق عليها أحيانًا فضاء الإغلاق . تُسمى عوامل الإغلاق أيضًا " عوامل الغلاف "، مما يمنع الخلط بينها وبين "عوامل الإغلاق" التي تُدرس في علم الطوبولوجيا .

درس إي. إتش. مور عوامل الإغلاق في كتابه " مقدمة في شكل من أشكال التحليل العام" عام 1910 ، بينما نشأ مفهوم إغلاق مجموعة جزئية في أعمال فريجيس ريس فيما يتعلق بالفضاءات الطوبولوجية. ^{[ 2 ]} على الرغم من عدم صياغته رسميًا في ذلك الوقت، إلا أن فكرة الإغلاق نشأت في أواخر القرن التاسع عشر بمساهمات بارزة من إرنست شرودر وريتشارد ديديكيند وجورج كانتور . ^{[ 3 ]}

تشكل المجموعات المغلقة بالنسبة لمؤثر الإغلاق على S مجموعة جزئية C من مجموعة القوى P ( S ). أي تقاطع لمجموعات في C يكون أيضًا في C. بعبارة أخرى، C هي شبه شبكة تقاطع كاملة لـ P ( S ). على العكس من ذلك، إذا كانت C ⊆ P ( S ) مغلقة تحت أي تقاطع، فإن الدالة التي تربط كل مجموعة جزئية X من S بأصغر مجموعة Y ∈ C بحيث X ⊆ Y هي مؤثر إغلاق.

توجد خوارزمية بسيطة وسريعة لتوليد جميع المجموعات المغلقة لمؤثر إغلاق معين. ^{[ 4 ]}

يكون عامل الإغلاق على مجموعة ما طوبولوجيًا إذا وفقط إذا كانت مجموعة المجموعات المغلقة مغلقة تحت الاتحادات المنتهية، أي أن C هي شبكة فرعية كاملة التقاطع من P ( S ). حتى بالنسبة لعوامل الإغلاق غير الطوبولوجية، يمكن اعتبار C ذات بنية شبكية. (اتحاد مجموعتين X و Y ⊆ P ( S ) هو cl( X).${\displaystyle \cup }$Y ).) ولكن C ليست شبكة فرعية من الشبكة P ( S ).

بفرض وجود عامل إغلاق منتهٍ على مجموعة، فإن إغلاقات المجموعات المنتهية هي تحديدًا العناصر المدمجة في مجموعة C من المجموعات المغلقة. ويترتب على ذلك أن C هي مجموعة جزئية مرتبة جبريًا . ولأن C هي أيضًا شبكة، يُشار إليها غالبًا باسم شبكة جبرية في هذا السياق. وعلى العكس، إذا كانت C مجموعة جزئية مرتبة جبريًا، فإن عامل الإغلاق يكون منتهيًا.

إن الإغلاق المعتاد للمجموعات في علم الطوبولوجيا هو عامل إغلاق. ومن الأمثلة الأخرى: الامتداد الخطي لمجموعة جزئية من فضاء متجهي ، أو الغلاف المحدب أو الغلاف الأفيني لمجموعة جزئية من فضاء متجهي، أو الغلاف شبه المتصل السفلي.${\displaystyle {\overline {f}}}$دالة${\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$، أين${\displaystyle E}$على سبيل المثال، فضاء معياري ، مُعرَّف ضمنيًا.${\displaystyle \operatorname {epi} ({\overline {f}})={\overline {\operatorname {epi} (f)}}}$، أين${\displaystyle \operatorname {epi} (f)}$هو نقش افتتاحي لدالة${\displaystyle f}$.

الجزء الداخلي النسبي${\displaystyle \operatorname {ri} }$ليس عامل إغلاق: على الرغم من أنه عامل ثابت، إلا أنه ليس متزايدًا، وإذا${\displaystyle C_{1}}$مكعب في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$و${\displaystyle C_{2}}$إذن، هذا أحد أوجهها.${\displaystyle C_{2}\subset C_{1}}$، لكن${\displaystyle \operatorname {ri} (C_{1})\neq \emptyset \neq \operatorname {ri} (C_{2})}$و${\displaystyle \operatorname {ri} (C_{1})\cap \operatorname {ri} (C_{2})=\emptyset }$لذا فهو لا يزداد. ^{[ 6 ]}

في علم الطوبولوجيا، تُعرف عوامل الإغلاق بأنها عوامل إغلاق طوبولوجية ، والتي يجب أن تُحقق الشروط التالية:

${\displaystyle \operatorname {cl} (X_{1}\cup \dots \cup X_{n})=\operatorname {cl} (X_{1})\cup \dots \cup \operatorname {cl} (X_{n})}$

للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$(لاحظ ذلك لـ)${\displaystyle n=0}$هذا يعطي${\displaystyle \operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing }$).

في الجبر والمنطق ، العديد من عوامل الإغلاق هي عوامل إغلاق منتهية ، أي أنها تحقق

${\displaystyle \operatorname {cl} (X)=\bigcup \left\{\operatorname {cl} (Y):Y\subseteq X{\text{ و }}Y{\text{ محدود}}\right\}.}$

في نظرية المجموعات المرتبة جزئيًا ، والتي تُعدّ مهمة في علوم الحاسوب النظرية ، تتمتع عوامل الإغلاق بتعريف أكثر عمومية يحل محل${\displaystyle \subseteq }$مع${\displaystyle \leq }$(انظر §  عوامل الإغلاق على المجموعات المرتبة جزئيًا .)

يتألف الإغلاق الطوبولوجي لمجموعة جزئية X من فضاء طوبولوجي من جميع النقاط y في هذا الفضاء، بحيث تحتوي كل جوار للنقطة y على نقطة من X. والدالة التي تربط كل مجموعة جزئية X بإغلاقها تُسمى عامل إغلاق طوبولوجي. وبالعكس، فإن كل عامل إغلاق طوبولوجي على مجموعة ما يُنشئ فضاءً طوبولوجيًا تكون مجموعاته المغلقة هي نفسها المجموعات المغلقة بالنسبة لعامل الإغلاق.

تلعب عوامل الإغلاق المنتهي دورًا بارزًا نسبيًا في الجبر الشامل ، وفي هذا السياق تُسمى تقليديًا عوامل الإغلاق الجبرية . كل مجموعة جزئية من جبر ما تُولّد جبرًا جزئيًا : وهو أصغر جبر جزئي يحتوي على تلك المجموعة. وهذا ما يُنتج عامل الإغلاق المنتهي.

لعلّ أشهر مثال على ذلك هو الدالة التي تربط كل مجموعة جزئية من فضاء متجهي معين بامتدادها الخطي . وبالمثل، الدالة التي تربط كل مجموعة جزئية من زمرة معينة بالزمرة الجزئية المولدة منها، وينطبق الأمر نفسه على الحقول وجميع أنواع البنى الجبرية الأخرى .

يحقق كل من الامتداد الخطي في فضاء متجهي والإغلاق الجبري المماثل في حقل خاصية التبادل: إذا كان x ينتمي إلى إغلاق اتحاد A و { y } ولكنه لا ينتمي إلى إغلاق A ، فإن y ينتمي إلى إغلاق اتحاد A و { x }. يُسمى عامل الإغلاق المنتهي الذي يتمتع بهذه الخاصية ماترويد . بُعد الفضاء المتجهي، أو درجة التجاوز لحقل (على حقله الأولي )، هو بالضبط رتبة الماترويد المقابل.

الدالة التي تربط كل مجموعة جزئية من حقل معين بإغلاقها الجبري هي أيضاً عامل إغلاق نهائي، وهي عموماً تختلف عن العامل المذكور سابقاً. تُدرس عوامل الإغلاق النهائي التي تعمم هذين العاملين في نظرية النماذج تحت مسميات dcl ( للإغلاق القابل للتعريف ) و acl ( للإغلاق الجبري ).

يُعد الغلاف المحدب في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n مثالًا آخر على مؤثر الإغلاق المنتهي. وهو يحقق خاصية التبادل المضاد: إذا كان x ينتمي إلى إغلاق اتحاد { y } و A ، ولكنه لا ينتمي إلى اتحاد { y } وإغلاق A ، فإن y لا ينتمي إلى إغلاق اتحاد { x } و A. تؤدي مؤثرات الإغلاق المنتهية التي تتمتع بهذه الخاصية إلى ظهور المصفوفات المضادة .

كمثال آخر على عامل الإغلاق المستخدم في الجبر، إذا كان لبعض الجبر فضاء شامل A و X عبارة عن مجموعة من أزواج A ، فإن العامل الذي يسند إلى X أصغر تطابق يحتوي على X هو عامل إغلاق نهائي على A × A. ^{[ 7 ]}

لنفترض أن لديك صيغة منطقية تتضمن قواعد معينة تسمح لك باستنتاج صيغ جديدة من صيغ معطاة. لنعتبر المجموعة F التي تضم جميع الصيغ الممكنة، ولتكن P مجموعة القوى لـ F ، مرتبة حسب ⊆. بالنسبة لمجموعة X من الصيغ، لنفترض أن cl( X ) هي مجموعة جميع الصيغ التي يمكن استنتاجها من X. عندئذٍ، يكون cl عامل إغلاق على P. بتعبير أدق، يمكننا الحصول على cl كما يلي. لنُسمِّ عامل J "متصلًا" بحيث يكون، لكل فئة موجهة T ،

J (lim T ) = lim J ( T ).

يستند شرط الاستمرارية هذا إلى نظرية النقطة الثابتة لـ J. لنفترض المؤثر J أحادي الخطوة في منطق رتيب. هذا المؤثر يربط أي مجموعة X من الصيغ بالمجموعة J ( X ) من الصيغ التي إما أن تكون بديهيات منطقية أو مستنتجة من قاعدة استدلال من صيغ في X أو موجودة في X. عندئذٍ، يكون هذا المؤثر مستمرًا، ويمكننا تعريف cl( X ) على أنها أصغر نقطة ثابتة لـ J أكبر من أو يساوي X. وفقًا لهذا المنظور، اقترح تارسكي وبراون وسوسكو وغيرهم من المؤلفين منهجًا عامًا للمنطق قائمًا على نظرية مؤثر الإغلاق. كما طُرحت فكرة مماثلة في منطق البرمجة (انظر لويد 1987) وفي المنطق الضبابي (انظر جيرلا 2000).

المجموعة المرتبة جزئيًا (poset) هي مجموعة مرتبطة بترتيب جزئي ≤، أي علاقة ثنائية انعكاسية ( a ≤ a )، ومتعدية ( a ≤ b ≤ c يستلزم a ≤ c )، ومتناظرة عكسيًا ( a ≤ b ≤ a يستلزم a  = b ). كل مجموعة قوى P ( S ) مع عنصر احتواء ⊆ هي مجموعة مرتبة جزئيًا. 

تُسمى الدالة cl: P → P من ترتيب جزئي P إلى نفسها عامل إغلاق إذا كانت تحقق البديهيات التالية لجميع العناصر x و y في P.

x ≤ cl( x )	(cl واسع النطاق )
x ≤ y يستلزم cl( x ) ≤ cl( y )	( الزيادة في قيمة التصفية )
cl(cl( x )) = cl( x )	(cl هي دالة متطابقة )

تتوفر بدائل أكثر إيجازًا: التعريف أعلاه يعادل البديهية الوحيدة

x ≤ cl( y ) إذا وفقط إذا كان cl( x ) ≤ cl( y )

لكل x و y في P.​

باستخدام الترتيب النقطي للدوال بين المجموعات الجزئية المرتبة، يمكن كتابة خاصية الشمولية على النحو التالي: id _P ≤ cl، حيث id هي دالة التطابق . يُطلق على التطبيق الذاتي k المتزايد والمتساوي القوة، والذي يحقق خاصية الشمولية المزدوجة ، أي k ≤ id _P، اسم عامل النواة ^{[ 8 ]} ، أو العامل الداخلي ^{[ 9 ]} ، أو الإغلاق المزدوج ^{[ 10 ]} . على سبيل المثال، إذا كانت A مجموعة جزئية من المجموعة B ، فإن التطبيق الذاتي على مجموعة القوى لـ B المعطى بالعلاقة μ _A ( X ) = A ∪ X هو عامل إغلاق، بينما λ _A ( X ) = A ∩ X هو عامل نواة. تُعد دالة السقف من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الحقيقية، والتي تُسند لكل عدد حقيقي x أصغر عدد صحيح لا يقل عن x ، مثالًا آخر على عامل الإغلاق.

تُسمى النقطة الثابتة للدالة cl، أي العنصر c من P الذي يحقق cl( c )  = c ، عنصرًا مغلقًا . ويُحدد عامل الإغلاق على مجموعة مرتبة جزئيًا بعناصره المغلقة. إذا كان c عنصرًا مغلقًا، فإن x ≤ c و cl( x ) ≤ c شرطان متكافئان. 

كل اتصال غالوا (أو تطبيق متبقٍ ) يُنتج عامل إغلاق (كما هو موضح في تلك المقالة). في الواقع، ينشأ كل عامل إغلاق بهذه الطريقة من اتصال غالوا مناسب. ^{[ 11 ]} لا يُحدد عامل الإغلاق اتصال غالوا بشكل فريد. يمكن وصف أحد اتصالات غالوا التي تُنتج عامل الإغلاق cl على النحو التالي: إذا كانت A هي مجموعة العناصر المغلقة بالنسبة إلى cl، فإن cl: P → A هو المرافق السفلي لاتصال غالوا بين P و A ، بينما المرافق العلوي هو تضمين A في P. علاوة على ذلك، فإن كل مرافق سفلي لتضمين مجموعة جزئية ما في P هو عامل إغلاق. "عوامل الإغلاق هي مرافق سفلية للتضمينات". لاحظ مع ذلك أنه ليس لكل تضمين مرافق سفلي.

يمكن اعتبار أي مجموعة مرتبة جزئيًا P فئةً ، مع وجود تشاكل واحد من x إلى y إذا وفقط إذا كان x ≤ y . وبالتالي، فإن عوامل الإغلاق على المجموعة المرتبة جزئيًا P ليست سوى المونادات على الفئة P. وبالمثل، يمكن اعتبار عامل الإغلاق دالة داخلية على فئة المجموعات المرتبة جزئيًا، تتميز بخاصيتي التكرار والشمول .

إذا كانت P شبكة كاملة ، فإن المجموعة الجزئية A من P هي مجموعة العناصر المغلقة لبعض عمليات الإغلاق على P إذا وفقط إذا كانت A عائلة مور على P ، أي أن أكبر عنصر في P ينتمي إلى A ، وأن الحد الأدنى (التقاطع) لأي مجموعة جزئية غير فارغة من A ينتمي أيضًا إلى A. أي مجموعة من هذا القبيل A هي نفسها شبكة كاملة بترتيب موروث من P ( لكن عملية الحد الأعلى (الوصل) قد تختلف عن تلك الخاصة بـ P ). عندما تكون P هي جبر القوى البولياني لمجموعة X ، فإن عائلة مور على P تسمى نظام إغلاق على X.

تشكل عوامل الإغلاق على P شبكة كاملة؛ يتم تعريف الترتيب على عوامل الإغلاق بواسطة cl ₁ ≤ cl ₂ إذا وفقط إذا كان cl 1 ₍ x ) ≤ cl ₂ ( x ) لجميع x في P.

• عامل الإغلاق التشيكي – صفحات عامل الإغلاق التي تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
• الإغلاق (في علم الطوبولوجيا) - جميع النقاط ونقاط النهاية في مجموعة فرعية من فضاء طوبولوجي 
• اتصال غالوا – تطابق خاص بين مجموعتين مرتبتين جزئيًا 
• الجبر الداخلي – البنية الجبرية 
• الداخلية (الطوبولوجيا) - أكبر مجموعة جزئية مفتوحة من مجموعة معينة 
• بديهيات إغلاق كوراتوفسكي – بديهيات لتحديد الطوبولوجيا 
• مشغل ما قبل الإغلاق – مشغل الإغلاق 

• غاريت بيركوف . 1967 (1940). نظرية الشبكة، الطبعة الثالثة . الجمعية الرياضية الأمريكية.
• بوريس، ستانلي ن.، وسانكابانافار، إتش بي (1981). دورة في الجبر الشامل. سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-90578-2نسخة إلكترونية مجانية .
• براون، دي جي وسوسزكو، ر. (1973) "المنطق التجريدي،" أطروحات الرياضيات 102- 9-42.
• كاستيليني، ج. (2003) عوامل الإغلاق الفئوية . بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر.
• إيدلمان، بول هـ. (1980) شبكات التوزيع المتقاطع والإغلاق المضاد للتبادل، الجبر العالمي 10: 290-299.
• جانتر، بيرنهارد وأبيدكوف، سيرجي (2016) الاستكشاف المفاهيمي . سبرينغر، ردمك 978-3-662-49290-1.
• جيرلا، ج. (2000) المنطق الضبابي: أدوات رياضية للاستدلال التقريبي . دار نشر كلوير الأكاديمية .
• لويد، جيه دبليو (1987) أسس البرمجة المنطقية . سبرينغر-فيرلاغ .
• Tarski, Alfred (1983) "المفاهيم الأساسية لمنهجية العلوم الاستنتاجية" في المنطق، والدلالات، وما وراء الرياضيات . هاكيت (طبعة 1956، مطبعة جامعة أكسفورد ).
• ألفريد تارسكي (1956) المنطق، والدلالات، وما وراء الرياضيات . مطبعة جامعة أكسفورد .
• وارد، مورغان (1942) "عوامل الإغلاق للشبكة"، حوليات الرياضيات 43: 191-96.
• جي. جيرز، كيه إتش هوفمان، كيه. كيمل، جيه دي لوسون، إم. ميسلوف، دي إس سكوت: الشبكات والمجالات المتصلة ، مطبعة جامعة كامبريدج، 2003
• تي إس بليث، الشبكات والهياكل الجبرية المرتبة ، سبرينغر، 2005، رقم ISBN 1-85233-905-5.
• إم. إرني، ج. كوسلوفسكي، أ. ميلتون، جي إي ستريكر، مدخل إلى اتصالات غالوا ، في: وقائع المؤتمر الصيفي لعام 1991 حول الطوبولوجيا العامة وتطبيقاتها تكريمًا لماري إلين رودين وعملها، حوليات أكاديمية نيويورك للعلوم، المجلد 704، 1993، الصفحات  103-125. متاح على الإنترنت بصيغ ملفات مختلفة: PS.GZ PS

• موسوعة ستانفورد للفلسفة : " المنطق الافتراضي الجبري " - بقلم رامون جانسانا.