التباين الكلي

This article relies excessively on references to primary sources. Please improve this article by adding secondary or tertiary sources. Find sources: "Total variation" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2012) (Learn how and when to remove this message)

في الرياضيات ، يحدد التباين الكلي عدة مفاهيم مختلفة قليلاً، تتعلق بالبنية ( المحلية أو العالمية) للمجال المشترك لدالة أو مقياس . بالنسبة للدالة المستمرة ذات القيمة الحقيقية f ، المعرفة على فاصل [ a , b ] ⊂ R ، فإن تباينها الكلي على فاصل التعريف هو مقياس لطول القوس أحادي البعد للمنحنى ذي المعادلة البارامترية x ↦ f ( x )، لـ x ∈ [ a , b ]. تسمى الدوال التي يكون تباينها الكلي محدودًا دوال التباين المحدود .

تم تقديم مفهوم التباين الكلي لوظائف متغير حقيقي واحد لأول مرة بواسطة كاميل جوردان في الورقة البحثية (جوردان 1881). ^[1] لقد استخدم المفهوم الجديد لإثبات نظرية التقارب لسلسلة فورييه من الوظائف الدورية غير المتصلة التي يكون تباينها محدودًا . ومع ذلك، فإن توسيع المفهوم ليشمل وظائف أكثر من متغير واحد ليس بالأمر البسيط لأسباب مختلفة.

التعريف 1.1. التباين الكلي لدالة ذات قيمة حقيقية (أو بشكل عام ذات قيمة معقدة ) ، محددة على فاصل زمني هو الكمية ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{\mathcal {P}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,}$

حيث يمر الحد الأقصى عبر مجموعة جميع أقسام الفاصل الزمني المحدد . وهذا يعني أن . ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ is a partition of }}[a,b]\right\}}$${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n_{P}}=b}$

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (September 2022) (Learn how and when to remove this message)

التعريف 1.2. ^[2] ليكن Ω مجموعة فرعية مفتوحة من R ⁿ . إذا كانت الدالة f تنتمي إلى L ¹ ( Ω )، فإن التغير الكلي لـ f في Ω يُعرَّف على أنه

${\displaystyle V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f(x)\operatorname {div} \phi (x)\,\mathrm {d} x\colon \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert \phi \Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\},}$

أين

• ${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$هي مجموعة الدوال المتجهة القابلة للاشتقاق بشكل مستمر للدعم المدمج والمضمنة في ،${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$هي القاعدة الأساسية العليا ، و
• ${\displaystyle \operatorname {div} }$هو عامل التباعد .

لا يتطلب هذا التعريف أن يكون مجال الدالة المعطاة مجموعة محدودة . ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

باتباع ساكس (1937، ص 10)، ضع في اعتبارك مقياسًا موقّعًا على مساحة قابلة للقياس : عندئذٍ من الممكن تعريف دالتين محددتين و ، تسمى على التوالي التباين العلوي والتباين السفلي ، على النحو التالي ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )}$${\displaystyle {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\sup \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ and }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma }$

${\displaystyle {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\inf \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ and }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma }$

بوضوح

${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\geq 0\geq {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\qquad \forall E\in \Sigma }$

التعريف 1.3. التباين (يُسمى أيضًا التباين المطلق ) للمقياس المُوقَّع هو دالة المجموعة ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)+\left|{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\right|\qquad \forall E\in \Sigma }$

ويتم تعريف التغير الإجمالي لها على أنه قيمة هذا المقياس على كامل مساحة التعريف، أي

${\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)}$

يستخدم ساكس (1937، ص 11) الاختلافات العليا والسفلى لإثبات تحلل هان-جوردان : وفقًا لنسخته من هذه النظرية، فإن الاختلافات العليا والسفلى هي على التوالي مقياس غير سلبي وغير إيجابي . باستخدام تدوين أكثر حداثة، حدد

${\displaystyle \mu ^{+}(\cdot )={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,}$

${\displaystyle \mu ^{-}(\cdot )=-{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,}$

ثم و هما مقياسان غير سلبيين بحيث ${\displaystyle \mu ^{+}}$${\displaystyle \mu ^{-}}$

${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$

${\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$

يُطلق على المقياس الأخير أحيانًا، عن طريق إساءة استخدام التدوين ، اسم مقياس التباين الكلي .

إذا كان المقياس ذو قيمة معقدة، أي أنه مقياس مركب ، فلا يمكن تعريف تباينه العلوي والسفلي ولا يمكن تطبيق نظرية تحلل هان-جوردان إلا على أجزائه الحقيقية والتخيلية. ومع ذلك، فمن الممكن اتباع رودين (1966، ص 137-139) وتحديد التباين الكلي للمقياس ذي القيمة المعقدة على النحو التالي ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

التعريف 1.4. تباين المقياس ذي القيمة المركبة هو دالة المجموعة${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }|\mu (A)|\qquad \forall E\in \Sigma }$

حيث يتم أخذ الحد الأعلى على جميع أقسام المجموعة القابلة للقياس إلى عدد قابل للعد من المجموعات الفرعية القابلة للقياس المنفصلة. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E}$

يتوافق هذا التعريف مع التعريف أعلاه لحالة المقاييس الموقعة ذات القيمة الحقيقية. ${\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$

التباين المحدد على هذا النحو هو مقياس موجب (انظر رودين (1966، ص 139)) ويتطابق مع التباين المحدد بواسطة 1.3 عندما يكون مقياسًا موقّعًا : يتم تعريف تباينه الإجمالي على النحو الوارد أعلاه. يعمل هذا التعريف أيضًا إذا كان مقياسًا متجهًا : يتم تعريف التباين بعد ذلك بالصيغة التالية ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }\|\mu (A)\|\qquad \forall E\in \Sigma }$

حيث يكون الحد الأقصى كما هو مذكور أعلاه. هذا التعريف أكثر عمومية قليلاً من التعريف الذي قدمه رودين (1966، ص 138) لأنه يتطلب فقط النظر في أقسام محدودة من الفضاء : وهذا يعني أنه يمكن استخدامه أيضًا لتحديد التباين الكلي في المقاييس الإضافية المحدودة . ${\displaystyle X}$

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (May 2012) (Learn how and when to remove this message)

إن التباين الكلي لأي مقياس احتمالي يساوي واحدًا بالضبط، وبالتالي فهو ليس مثيرًا للاهتمام كوسيلة للتحقيق في خصائص مثل هذه المقاييس. ومع ذلك، عندما يكون μ وν مقياسين للاحتمال ، يمكن تعريف مسافة التباين الكلي لمقاييس الاحتمال على أنها حيث يكون المعيار هو معيار التباين الكلي للمقاييس الموقعة. باستخدام الخاصية التي ، نصل في النهاية إلى التعريف المكافئ ${\displaystyle \|\mu -\nu \|}$${\displaystyle (\mu -\nu )(X)=0}$

${\displaystyle \|\mu -\nu \|=|\mu -\nu |(X)=2\sup \left\{\,\left|\mu (A)-\nu (A)\right|:A\in \Sigma \,\right\}}$

وقيمها غير تافهة. عادة ما يتم إسقاط العامل أعلاه (كما هو متبع في مقالة مسافة التباين الكلية لمقاييس الاحتمال ). بشكل غير رسمي، هذا هو أكبر فرق ممكن بين الاحتمالات التي يمكن لتوزيعي الاحتمالين تعيينها لنفس الحدث. بالنسبة للتوزيع التصنيفي، من الممكن كتابة مسافة التباين الكلية على النحو التالي ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \delta (\mu ,\nu )=\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|\;.}$

يمكن أيضًا تطبيعها إلى قيم في عن طريق تقسيم التعريف السابق إلى النصف على النحو التالي ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle \delta (\mu ,\nu )={\frac {1}{2}}\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|}$^[3]

يمكن التعبير عن التغير الكلي للدالة على أنه تكامل يتضمن الدالة المعطاة بدلاً من التعبير عنه باعتباره الحد الأعلى للدوال في التعريفين 1.1 و 1.2 . ${\displaystyle C^{1}({\overline {\Omega }})}$${\displaystyle f}$

المبرهنة 1. التغير الكلي لدالة قابلة للاشتقاق ، معرفة على فاصل ، له التعبير التالي إذا كانت قابلة للتكامل الريماني ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f'}$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\mathrm {d} x}$

إذا كان قابلاً للاشتقاق ورتيبًا ، فإن ما سبق يبسط إلى ${\displaystyle f}$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=|f(a)-f(b)|}$

بالنسبة لأي دالة قابلة للاشتقاق ، يمكننا تحليل نطاق الفاصل ، إلى فترات فرعية (مع ) حيث يكون رتيبًا محليًا، ومن ثم يمكن كتابة التباين الكلي لـ على أنه مجموع التباينات المحلية على تلك الفترات الفرعية: ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,a_{1}],[a_{1},a_{2}],\dots ,[a_{N},b]}$${\displaystyle a<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{N}<b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{a}^{b}(f)&=V_{a}^{a_{1}}(f)+V_{a_{1}}^{a_{2}}(f)+\,\cdots \,+V_{a_{N}}^{b}(f)\\[0.3em]&=|f(a)-f(a_{1})|+|f(a_{1})-f(a_{2})|+\,\cdots \,+|f(a_{N})-f(b)|\end{aligned}}}$

المبرهنة 2. إذا كانت الدالة معرفة على مجموعة مفتوحة محدودة ، مع فئة ، فإن التغير الكلي لـ له التعبير التالي ${\displaystyle C^{1}({\overline {\Omega }})}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle V(f,\Omega )=\int _{\Omega }\left|\nabla f(x)\right|\mathrm {d} x}$.

الخطوة الأولى في الإثبات هي إثبات المساواة التي تنبع من نظرية جاوس-أوستروجرادسكي .

في ظل ظروف النظرية، تنطبق المساواة التالية:

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \varphi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \varphi }$

من نظرية جاوس-أوستروجرادسكي :

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \mathbf {R} =\int _{\partial \Omega }\mathbf {R} \cdot \mathbf {n} }$

من خلال الاستبدال ، لدينا: ${\displaystyle \mathbf {R} :=f\mathbf {\varphi } }$

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=\int _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\varphi } \right)\cdot \mathbf {n} }$

حيث يكون الصفر على حدود حسب التعريف: ${\displaystyle \mathbf {\varphi } }$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\partial _{x_{i}}\left(f\mathbf {\varphi } _{i}\right)=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f+f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f}$

في ظل شروط النظرية، من الفرضية لدينا:

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\leq \left|\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\mathbf {\varphi } \right|\cdot \left|\nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$

في الجزء الأخير يمكن حذفه، لأنه بحكم التعريف فإن أعلى قيمة أساسية له هي واحد على الأكثر. ${\displaystyle \mathbf {\varphi } }$

من ناحية أخرى، نأخذ في الاعتبار و الذي هو التقريب الأعلى لـ في بنفس التكامل. يمكننا القيام بذلك لأنه كثيف في . الآن نستبدل مرة أخرى في الفرضية: ${\displaystyle \theta _{N}:=-\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\mathbb {I} _{\{\nabla f\neq 0\}}{\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}}$${\displaystyle \theta _{N}^{*}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \theta _{N}}$${\displaystyle C_{c}^{1}}$${\displaystyle C_{c}^{1}}$${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{N\to \infty }\int _{\Omega }f\operatorname {div} \theta _{N}^{*}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\{\nabla f\neq 0\}}\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\left[-N,N\right]\cap {\{\nabla f\neq 0\}}}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\int _{\Omega }\left|\nabla f\right|\end{aligned}}}$

هذا يعني أن لدينا تسلسل متقارب من الذي يميل إلى أن يكون كذلك كما نعلم أن .${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } }$${\textstyle \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } \leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$

ومن الممكن أن نرى من الدليل أن السيادة تتحقق عندما

${\displaystyle \varphi \to {\frac {-\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}.}$

يقال أن الدالة ذات تغير محدود على وجه التحديد إذا كان تغيرها الإجمالي محدودًا. ${\displaystyle f}$

التباين الكلي هو معيار محدد في فضاء مقاييس التباين المحدود. فضاء المقاييس في جبر سيجما للمجموعات هو فضاء باناخ ، يسمى فضاء ca ، نسبة إلى هذا المعيار. وهو موجود في فضاء باناخ الأكبر، يسمى فضاء ba ، يتكون من مقاييس إضافية محدودة (على عكس المقاييس الإضافية القابلة للعد)، بنفس المعيار أيضًا. تؤدي دالة المسافة المرتبطة بالمعيار إلى نشوء مسافة التباين الكلي بين مقياسين μ و ν .

بالنسبة للمقاييس المحدودة على R ، فإن الرابط بين التغير الكلي للقياس μ والتغير الكلي للدالة، كما هو موضح أعلاه، يسير على النحو التالي. نظرًا لـ μ ، حدد الدالة بواسطة ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi (t)=\mu ((-\infty ,t])~.}$

عندئذٍ، يكون التباين الكلي للمقياس الموقّع μ مساويًا للتباين الكلي، بالمعنى المذكور أعلاه، للدالة . وبشكل عام، يمكن تعريف التباين الكلي للمقياس الموقّع باستخدام نظرية تحلل جوردان بواسطة ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \|\mu \|_{TV}=\mu _{+}(X)+\mu _{-}(X)~,}$

لأي قياس موقّع μ على مساحة قابلة للقياس . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

يمكن اعتبار التباين الكلي دالة غير سالبة ذات قيمة حقيقية محددة على مساحة الدوال ذات القيمة الحقيقية (في حالة الدوال ذات المتغير الواحد) أو على مساحة الدوال القابلة للتكامل (في حالة الدوال ذات المتغيرات المتعددة). وكدالة، يجد التباين الكلي تطبيقات في العديد من فروع الرياضيات والهندسة، مثل التحكم الأمثل ، والتحليل العددي ، وحساب التباين ، حيث يتعين على حل مشكلة معينة تقليل قيمتها. على سبيل المثال، يعد استخدام دالة التباين الكلي شائعًا في النوعين التاليين من المشكلات

• التحليل العددي للمعادلات التفاضلية : هو علم إيجاد حلول تقريبية للمعادلات التفاضلية . يتم تفصيل تطبيقات التباين الكلي على هذه المشاكل في المقال " تضاؤل ​​التباين الكلي "
• إزالة الضوضاء من الصورة : في معالجة الصور ، إزالة الضوضاء هي مجموعة من الطرق المستخدمة لتقليل الضوضاء في صورة أعيد بناؤها من البيانات التي تم الحصول عليها بوسائل إلكترونية، على سبيل المثال نقل البيانات أو الاستشعار . " إزالة الضوضاء من التباين الكلي " هو اسم تطبيق التباين الكلي على تقليل ضوضاء الصورة؛ يمكن العثور على مزيد من التفاصيل في أوراق (Rudin، Osher & Fatemi 1992) و (Caselles، Chambolle & Novaga 2007). يمكن العثور على امتداد معقول لهذا النموذج على الصور الملونة، يسمى التلفزيون الملون، في (Blomgren & Chan 1998).

• التباين المحدود
• التباين-p
• التباين الكلي يتناقص
• إزالة الضوضاء من التباين الكلي
• التباين التربيعي
• المسافة الكلية للتباين في مقاييس الاحتمالية
• اختبار كولموغوروف-سميرنوف
• الانتشار المتباين الخواص

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (February 2012) (Learn how and when to remove this message)

• أرزيلا، سيزار (7 مايو 1905)، “Sulle funzioni di Due variabili a variazione Limitata (حول وظائف متغيرين من التباين المحدود)”، Rendiconto delle Sessioni della Reale Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna ، Nuova serie (باللغة الإيطالية) ، التاسع (4): 100-107، ج اف ام  36.0491.02، مؤرشفة من الأصلي بتاريخ 2007-08-07.
• جولوبوف، بوريس آي. (2001) [1994]، "تباين أرزيلا"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS.
• جولوبوف، بوريس آي. (2001) [1994]، "تباين فريشيه"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS.
• جولوبوف، بوريس آي. (2001) [1994]، "تباين هاردي"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS.
• جولوبوف، بوريس آي. (2001) [1994]، "تباين بيربونت"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS.
• جولوبوف، بوريس آي. (2001) [1994]، "تباين فيتالي"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS.
• جولوبوف، بوريس آي. (2001) [1994]، "تباين مستوى تونيلي"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS.
• جولوبوف، بوريس آي.؛ فيتوشكين، أناتولي جي. (2001) [1994]، "تغير الدالة"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS
• جوردان ، كاميل (1881)، “Sur la série de Fourier”، Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences (بالفرنسية)، 92 : 228–230، JFM  13.0184.01(متوفر على موقع Gallica ). هذه، وفقًا لبوريس جولوبوف، هي أول ورقة بحثية عن وظائف التباين المحدود.
• هان، هانز (1921)، Theorie der reellen Funktionen (في المانيا)، برلين: Springer Verlag، pp. VII+600، JFM  48.0261.09.
• فيتالي، جوزيبي (1908) [17 ديسمبر 1907]، “Sui Gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali (حول مجموعات النقاط ووظائف المتغيرات الحقيقية)”، Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (باللغة الإيطالية)، 43 : 75-92، JFM  39.0101.05، مؤرشف من الأصل في 2009-03-31. الورقة التي تحتوي على أول دليل لنظرية فيتالي التي تغطي .

• آدامز، سي. رايموند؛ كلاركسون، جيمس أ. (1933)، "حول تعريفات التباين المحدود لوظائف متغيرين"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 35 (4): 824-854، doi : 10.1090/S0002-9947-1933-1501718-2 ، JFM  59.0285.01، MR  1501718، Zbl  0008.00602.
• سيزاري، لامبرتو (1936)، “Sulle funzioni a variazione Limitata (حول وظائف التباين المحدود)”، Annali della Scuola Normale Superiore ، II (باللغة الإيطالية)، 5 (3–4): 299–313، JFM  62.0247.03 ، م.ر  1556778، زبل  0014.29605متوفر في Numdam.

• ليوني، جيوفاني (2017)، دورة أولى في فضاءات سوبوليف: الطبعة الثانية ، دراسات عليا في الرياضيات، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص. xxii+734، ISBN 978-1-4704-2921-8.
• ساكس، ستانيسلاف (1937). نظرية التكامل. مونوغرافيا Matematyczne. المجلد. 7 (الطبعة الثانية). Warszawa – Lwów: GE Stechert & Co. الصفحات VI+347. جي اف ام  63.0183.05. زبل  0017.30004.(متوفر في المكتبة الافتراضية البولندية للعلوم). الترجمة الإنجليزية من الفرنسية الأصلية بقلم لورانس تشيشولم يونج ، مع ملاحظتين إضافيتين بقلم ستيفان باناخ .
• رودين، والتر (1966)، التحليل الحقيقي والمعقد ، سلسلة ماكجرو هيل في الرياضيات العليا (الطبعة الأولى)، نيويورك: ماكجرو هيل، ص. xi+412، MR  0210528، Zbl  0142.01701.

متغير واحد

• "التباين الكلي" على PlanetMath .

متغير واحد وأكثر

• دالة التباين المحدود في موسوعة الرياضيات

نظرية القياس

• رولاند، تود. "التباين الكلي". MathWorld ..
• تحلل الأردن في PlanetMath ..
• تحلل الأردن في موسوعة الرياضيات

• Caselles, Vicent; Chambolle, Antonin; Novaga, Matteo (2007), The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions, SIAM , Multiscale Modeling and Simulation, vol. 6 n. 3, archived from the original on 2011-09-27(عمل يتناول تطبيق التباين الكلي في مشاكل إزالة الضوضاء لمعالجة الصور ).

• رودين، ليونيد آي؛ أوشر، ستانلي؛ فاطمي، عماد (1992)، "خوارزميات إزالة الضوضاء القائمة على التباين الكلي غير الخطي"، فيزيكا د: الظواهر غير الخطية ، 60 (1-4)، فيزيكا د: الظواهر غير الخطية 60.1: 259-268: 259-268، رمز Bibcode :1992PhyD...60..259R، doi :10.1016/0167-2789(92)90242-F.

• بلومجرين، بيتر؛ تشان، توني ف. (1998)، "التلفزيون الملون: طرق التباين الكلي لاستعادة الصور ذات القيمة المتجهة"، معاملات IEEE في معالجة الصور ، 7 (3)، معالجة الصور، معاملات IEEE في، المجلد 7، العدد 3: 304-309: 304، رمز Bibcode :1998ITIP....7..304B، doi :10.1109/83.661180، PMID  18276250.

• توني ف. تشان وجاكي (جيانهونغ) شين (2005)، معالجة الصور وتحليلها - الأساليب التباينية، والتفاضلية الجزئية، والموجات، والعشوائية، SIAM ، ISBN 0-89871-589-X (مع تغطية متعمقة وتطبيقات واسعة النطاق للتباينات الكلية في معالجة الصور الحديثة، كما بدأها رودين وأوشير وفاطمي).