نظرية هان للتحليل

في الرياضيات ، تنص نظرية هان للتحليل ، التي سميت على اسم عالم الرياضيات النمساوي هانز هان ، على أنه لأي فضاء قابل للقياس${\displaystyle (X,\Sigma )}$وأي إجراء موقع${\displaystyle \mu }$محدد في${\displaystyle \sigma }$-الجبر${\displaystyle \Sigma }$يوجد اثنان${\displaystyle \Sigma }$- مجموعات قابلة للقياس،${\displaystyle P}$و${\displaystyle N}$، ل${\displaystyle X}$بحيث:

1. ${\displaystyle P\cup N=X}$و ${\displaystyle P\cap N=\varnothing }$.
2. لكل${\displaystyle E\in \Sigma }$بحيث${\displaystyle E\subseteq P}$، لدى المرء${\displaystyle \mu (E)\geq 0}$، أي،${\displaystyle P}$مجموعة موجبة لـ${\displaystyle \mu }$.
3. لكل${\displaystyle E\in \Sigma }$بحيث${\displaystyle E\subseteq N}$، لدى المرء${\displaystyle \mu (E)\leq 0}$، أي،${\displaystyle N}$مجموعة سلبية لـ${\displaystyle \mu }$.

علاوة على ذلك، فإن هذا التفكيك فريد بشكل أساسي ، مما يعني أنه بالنسبة لأي زوج آخر${\displaystyle (P',N')}$ل${\displaystyle \Sigma }$- مجموعات فرعية قابلة للقياس من${\displaystyle X}$بتحقيق الشروط الثلاثة المذكورة أعلاه، فإن الاختلافات المتناظرة${\displaystyle P\triangle P'}$و${\displaystyle N\triangle N'}$نكون${\displaystyle \mu }$- مجموعات فارغة بالمعنى الدقيق للكلمة، كل${\displaystyle \Sigma }$مجموعة فرعية قابلة للقياس منها لها قياس صفري. الزوج${\displaystyle (P,N)}$ويُطلق عليه حينها اسم تحليل هان للمقياس المُوَقَّع${\displaystyle \mu }$.

من نتائج نظرية هان للتحليل ما يلي:تنص نظرية جوردان للتحليل على أن كل مقياس موقّع${\displaystyle \mu }$محدد في${\displaystyle \Sigma }$يتميز بتحليل فريد إلى الفرق${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$من بين مقياسين إيجابيين،${\displaystyle \mu ^{+}}$و${\displaystyle \mu ^{-}}$، واحد منها على الأقل محدود، بحيث${\displaystyle {\mu ^{+}}(E)=0}$لكل${\displaystyle \Sigma }$مجموعة فرعية قابلة للقياس${\displaystyle E\subseteq N}$و${\displaystyle {\mu ^{-}}(E)=0}$لكل${\displaystyle \Sigma }$مجموعة فرعية قابلة للقياس${\displaystyle E\subseteq P}$، لأي تحليل هان${\displaystyle (P,N)}$ل${\displaystyle \mu }$نسمي${\displaystyle \mu ^{+}}$و${\displaystyle \mu ^{-}}$الجانب الإيجابي والسلبي من​${\displaystyle \mu }$على التوالي. الزوج${\displaystyle (\mu ^{+},\mu ^{-})}$يُطلق عليه اسم تحليل جوردان (أو أحيانًا تحليل هان-جوردان ) لـ${\displaystyle \mu }$يمكن تعريف المقياسين على النحو التالي:

${\displaystyle {\mu ^{+}}(E):=\mu (E\cap P)\qquad {\text{and}}\qquad {\mu ^{-}}(E):=-\mu (E\cap N)}$

لكل${\displaystyle E\in \Sigma }$وأي تحلل هان${\displaystyle (P,N)}$ل${\displaystyle \mu }$.

لاحظ أن تحليل جوردان فريد من نوعه، بينما تحليل هان فريد بشكل أساسي فقط.

ينتج عن تحليل جوردان النتيجة التالية: بالنظر إلى تحليل جوردان${\displaystyle (\mu ^{+},\mu ^{-})}$قياس موقع محدود${\displaystyle \mu }$، لدى المرء

${\displaystyle {\mu ^{+}}(E)=\sup _{B\in \Sigma ,~B\subseteq E}\mu (B)\quad {\text{and}}\quad {\mu ^{-}}(E)=-\inf _{B\in \Sigma ,~B\subseteq E}\mu (B)}$

لأي${\displaystyle E}$في${\displaystyle \Sigma }$علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle \mu =\nu ^{+}-\nu ^{-}}$للزوج${\displaystyle (\nu ^{+},\nu ^{-})}$من القياسات غير السالبة المحدودة على${\displaystyle X}$، ثم

${\displaystyle \nu ^{+}\geq \mu ^{+}\quad {\text{and}}\quad \nu ^{-}\geq \mu ^{-}.}$

يعني التعبير الأخير أن تحليل جوردان هو التحليل الأدنى لـ${\displaystyle \mu }$إلى فرق المقاييس غير السالبة. هذه هي خاصية الحد الأدنى لتحليل جوردان.

إثبات تحليل جوردان: للحصول على برهان أساسي على وجود ووحدانية وصغر حجم تحليل مقياس جوردان، انظر فيشر (2012) .

التحضير: افترض أن${\displaystyle \mu }$لا يأخذ القيمة${\displaystyle -\infty }$(وإلا فإنه يتحلل وفقًا لـ${\displaystyle -\mu }$كما ذكرنا سابقًا، فإن المجموعة السالبة هي مجموعة${\displaystyle A\in \Sigma }$بحيث${\displaystyle \mu (B)\leq 0}$لكل${\displaystyle \Sigma }$مجموعة فرعية قابلة للقياس${\displaystyle B\subseteq A}$.

الادعاء: لنفترض أن${\displaystyle D\in \Sigma }$يرضي${\displaystyle \mu (D)\leq 0}$ثم هناك مجموعة سالبة${\displaystyle A\subseteq D}$بحيث${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (D)}$.

إثبات الادعاء: عرّف${\displaystyle A_{0}:=D}$افترض استقرائيًا لـ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$الذي - التي${\displaystyle A_{n}\subseteq D}$تم بناؤه. دع

${\displaystyle t_{n}:=\sup(\{\mu (B)\mid B\in \Sigma ~{\text{and}}~B\subseteq A_{n}\})}$

يشير إلى القيمة العليا لـ${\displaystyle \mu (B)}$بشكل عام${\displaystyle \Sigma }$- مجموعات فرعية قابلة للقياس${\displaystyle B}$ل${\displaystyle A_{n}}$قد تكون هذه القيمة العليا لانهائية مبدئيًا . كما هو الحال مع المجموعة الفارغة${\displaystyle \varnothing }$مرشح محتمل لـ${\displaystyle B}$في تعريف${\displaystyle t_{n}}$و${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$لدينا${\displaystyle t_{n}\geq 0}$بحسب تعريف${\displaystyle t_{n}}$إذن يوجد${\displaystyle \Sigma }$مجموعة فرعية قابلة للقياس${\displaystyle B_{n}\subseteq A_{n}}$مُرضٍ

${\displaystyle \mu (B_{n})\geq \min \!\left(1,{\frac {t_{n}}{2}}\right).}$

تعيين${\displaystyle A_{n+1}:=A_{n}\setminus B_{n}}$لإنهاء خطوة الاستقراء. وأخيرًا، حدد

${\displaystyle A:=D{\Bigg \backslash }\bigcup _{n=0}^{\infty }B_{n}.}$

كما هو الحال مع المجموعات${\displaystyle (B_{n})_{n=0}^{\infty }}$هي مجموعات فرعية منفصلة من${\displaystyle D}$ويترتب على ذلك خاصية جمع سيجما للمقياس الموقّع${\displaystyle \mu }$الذي - التي

${\displaystyle \mu (D)=\mu (A)+\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B_{n})\geq \mu (A)+\sum _{n=0}^{\infty }\min \!\left(1,{\frac {t_{n}}{2}}\right)\geq \mu (A).}$

هذا يدل على أن${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (D)}$. يفترض${\displaystyle A}$لم تكن مجموعة سلبية. هذا يعني أنه سيكون هناك${\displaystyle \Sigma }$مجموعة فرعية قابلة للقياس${\displaystyle B\subseteq A}$ذلك يرضي${\displaystyle \mu (B)>0}$. ثم${\displaystyle t_{n}\geq \mu (B)}$لكل${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$لذا، سيتعين على السلسلة الموجودة على اليمين أن تتباعد إلى${\displaystyle +\infty }$، مما يعني أن${\displaystyle \mu (D)=+\infty }$وهذا تناقض، لأن${\displaystyle \mu (D)\leq 0}$. لذلك،${\displaystyle A}$يجب أن تكون مجموعة سالبة.

بناء التفكيك: مجموعة${\displaystyle N_{0}=\varnothing }$استقرائياً، بالنظر إلى${\displaystyle N_{n}}$، يُعرِّف

${\displaystyle s_{n}:=\inf(\{\mu (D)\mid D\in \Sigma ~{\text{and}}~D\subseteq X\setminus N_{n}\}).}$

باعتباره الحد الأدنى لـ${\displaystyle \mu (D)}$بشكل عام${\displaystyle \Sigma }$- مجموعات فرعية قابلة للقياس${\displaystyle D}$ل${\displaystyle X\setminus N_{n}}$. قد يكون هذا الحد الأدنى بداهة${\displaystyle -\infty }$. مثل${\displaystyle \varnothing }$مرشح محتمل لـ${\displaystyle D}$في تعريف${\displaystyle s_{n}}$و${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$لدينا${\displaystyle s_{n}\leq 0}$وبالتالي، يوجد${\displaystyle \Sigma }$مجموعة فرعية قابلة للقياس${\displaystyle D_{n}\subseteq X\setminus N_{n}}$بحيث

${\displaystyle \mu (D_{n})\leq \max \!\left({\frac {s_{n}}{2}},-1\right)\leq 0.}$

بناءً على الادعاء أعلاه، توجد مجموعة سالبة${\displaystyle A_{n}\subseteq D_{n}}$بحيث${\displaystyle \mu (A_{n})\leq \mu (D_{n})}$. تعيين${\displaystyle N_{n+1}:=N_{n}\cup A_{n}}$لإنهاء خطوة الاستقراء. وأخيرًا، حدد

${\displaystyle N:=\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}.}$

كما هو الحال مع المجموعات${\displaystyle (A_{n})_{n=0}^{\infty }}$منفصلة، ​​لدينا لكل${\displaystyle \Sigma }$مجموعة فرعية قابلة للقياس${\displaystyle B\subseteq N}$الذي - التي

${\displaystyle \mu (B)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B\cap A_{n})}$

بواسطة خاصية الجمع سيجما لـ${\displaystyle \mu }$وعلى وجه الخصوص، يُظهر هذا أن${\displaystyle N}$هي مجموعة سالبة. بعد ذلك، عرّف${\displaystyle P:=X\setminus N}$. لو${\displaystyle P}$لو لم تكن مجموعة موجبة، لكان هناك${\displaystyle \Sigma }$مجموعة فرعية قابلة للقياس${\displaystyle D\subseteq P}$مع${\displaystyle \mu (D)<0}$. ثم${\displaystyle s_{n}\leq \mu (D)}$للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$و

${\displaystyle \mu (N)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (A_{n})\leq \sum _{n=0}^{\infty }\max \!\left({\frac {s_{n}}{2}},-1\right)=-\infty ,}$

وهو أمر غير مسموح به لـ${\displaystyle \mu }$. لذلك،${\displaystyle P}$هي مجموعة موجبة.

برهان على عبارة التفرد: لنفترض أن${\displaystyle (N',P')}$يُعد هذا تحليل هان آخر لـ${\displaystyle X}$. ثم${\displaystyle P\cap N'}$ هي مجموعة موجبة وسالبة في آن واحد. لذلك، فإن كل مجموعة جزئية قابلة للقياس منها يكون قياسها صفرًا. وينطبق الأمر نفسه على${\displaystyle N\cap P'}$. مثل

${\displaystyle P\triangle P'=N\triangle N'=(P\cap N')\cup (N\cap P'),}$

وبهذا يكتمل البرهان .

• بيلينغسلي، باتريك (1995). الاحتمالات والقياس - الطبعة الثالثة . سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاء الرياضي. نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-00710-2.
• فيشر، توم (2012). "وجود وتفرد وصغر حجم تحليل مقياس جوردان". arXiv : 1206.5449 [ math.ST ].

• نظرية هان للتحليل في موقع PlanetMath .
• "تحليل هان" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• "تحليل جوردان (للمقياس الموقع)" ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS، 2001 [1994]