انتشار

يعبّر كل نموذج من نماذج الانتشار عن تدفق الانتشار باستخدام التركيزات والكثافات ومشتقاتها. التدفق هو كمية متجهة.${\displaystyle \mathbf {J} }$يمثل كمية واتجاه النقل. بالنظر إلى مساحة صغيرة${\displaystyle \Delta S}$مع الوضع الطبيعي${\displaystyle {\boldsymbol {\nu }}}$نقل كمية فيزيائية${\displaystyle N}$عبر المنطقة${\displaystyle \Delta S}$في كل مرة${\displaystyle \Delta t}$يكون

${\displaystyle \Delta N=(\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\nu }})\,\Delta S\,\Delta t+o(\Delta S\,\Delta t)\,,}$

أين${\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\nu }})}$هو المنتج الداخلي و${\displaystyle o(\cdots )}$هي رمز θ الصغير . إذا استخدمنا رمز مساحة المتجه${\displaystyle \Delta \mathbf {S} ={\boldsymbol {\nu }}\,\Delta S}$ثم

${\displaystyle \Delta N=(\mathbf {J} ,\Delta \mathbf {S} )\,\Delta t+o(\Delta \mathbf {S} \,\Delta t)\,.}$

بُعد تدفق الانتشار هو [التدفق] = [الكمية]/([الزمن]· [ المساحة]). الكمية الفيزيائية المنتشرة  ${\displaystyle N}$قد يكون عدد الجسيمات، أو الكتلة، أو الطاقة، أو الشحنة الكهربائية، أو أي كمية قياسية شاملة أخرى . أما بالنسبة لكثافتها،${\displaystyle n}$تأخذ معادلة الانتشار الشكل التالي

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} +W\,,}$

أين${\displaystyle W}$تمثل شدة أي مصدر محلي لهذه الكمية (على سبيل المثال، معدل التفاعل الكيميائي). بالنسبة لمعادلة الانتشار، يمكن صياغة شروط الحدود التي لا يوجد فيها تدفق على النحو التالي:${\displaystyle (\mathbf {J} (x)،{\boldsymbol {\nu }}(x))=0}$على الحدود، حيث${\displaystyle {\boldsymbol {\nu }}}$هو العمودي على الحد عند النقطة${\displaystyle x}$.

قانون فيك الأول: تدفق الانتشار،${\displaystyle \mathbf {J} }$، يتناسب مع التدرج السلبي للتركيز المكاني،${\displaystyle n(x,t)}$:

${\displaystyle \mathbf {J} =-D(x)\,\nabla n(x,t),}$

حيث D هو معامل الانتشار ، والذي يمكن تقديره لمزيج معين باستخدام، على سبيل المثال، نموذج فينيس التجريبي للارتباط ^{[ 17 ]} أو مقياس الإنتروبيا ذي الأساس الفيزيائي. ^{[ 18 ]} معادلة الانتشار المقابلة (قانون فيك الثاني) هي

${\displaystyle {\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot (D(x)\,\nabla n(x,t))\,.}$

في حالة كون معامل الانتشار مستقلاً عن${\displaystyle x}$يمكن تبسيط قانون فيك الثاني إلى

${\displaystyle {\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}=D\,\Delta n(x,t)\ ,}$

أين${\displaystyle \Delta }$هو عامل لابلاس ،

${\displaystyle \Delta n(x,t)=\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}n(x,t)}{\partial x_{i}^{2}}}\ .}$

يصف قانون فيك انتشار مادة مختلطة في وسط ما. يجب أن يكون تركيز هذه المادة المختلطة منخفضًا، وكذلك تدرج هذا التركيز. القوة الدافعة للانتشار في قانون فيك هي عكس تدرج التركيز.${\displaystyle -\nabla n}$.

في عام 1931، أدرج لارس أونساغر ^{[ 19 ]} عمليات النقل متعددة المكونات في السياق العام للديناميكا الحرارية الخطية غير المتوازنة. بالنسبة للنقل متعدد المكونات،

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=\sum _{j}L_{ij}X_{j}\,,}$

أين${\displaystyle \mathbf {J} _{i}}$هو تدفق${\displaystyle i}$الكمية الفيزيائية (المكون)،${\displaystyle X_{j}}$هو${\displaystyle j}$القوة الديناميكية الحرارية و${\displaystyle L_{ij}}$هي مصفوفة أونساغر لمعاملات النقل الحركي .

قدم أونساغر القوى الديناميكية الحرارية لعمليات النقل على أنها تدرجات مكانية لمشتقات كثافة الإنتروبيا${\displaystyle s}$(استخدم مصطلح "القوة" بين علامتي اقتباس أو "القوة الدافعة"):

${\displaystyle X_{i}=\nabla {\frac {\partial s(n)}{\partial n_{i}}}\,,}$

أين${\displaystyle n_{i}}$هي "الإحداثيات الديناميكية الحرارية". بالنسبة لانتقال الحرارة والكتلة، يمكن للمرء أن يأخذ${\displaystyle n_{0}=u}$(كثافة الطاقة الداخلية ) و${\displaystyle n_{i}}$هو تركيز${\displaystyle i}$المكون رقم 1. القوى الدافعة المقابلة هي متجهات الفضاء

${\displaystyle X_{0}=\nabla {\frac {1}{T}}\ ,\;\;\;X_{i}=-\nabla {\frac {\mu _{i}}{T}}\;(i>0),}$لأن${\displaystyle \mathrm {d} s={\frac {1}{T}}\,\mathrm {d} u-\sum _{i\geq 1}{\frac {\mu _{i}}{T}}\,{\rm {d}}n_{i}}$

حيث T هي درجة الحرارة المطلقة و${\displaystyle \mu _{i}}$هو الجهد الكيميائي لـ${\displaystyle i}$المكون رقم 1. تجدر الإشارة إلى أن معادلات الانتشار المنفصلة تصف عملية الخلط أو انتقال الكتلة دون حركة كلية. لذلك، يتم إهمال الحدود التي تتضمن تغير الضغط الكلي. هذا ممكن لانتشار كميات صغيرة من الشوائب وللتدرجات الصغيرة.

بالنسبة لمعادلات أونساغر الخطية، يجب أن نأخذ القوى الديناميكية الحرارية في التقريب الخطي بالقرب من حالة التوازن:

${\displaystyle X_{i}=\sum _{k\geq 0}\left.{\frac {\partial ^{2}s(n)}{\partial n_{i}\,\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\nabla n_{k}\ ,}$

حيث مشتقات${\displaystyle s}$يتم حسابها عند التوازن${\displaystyle n^{*}}$مصفوفة المعاملات الحركية${\displaystyle L_{ij}}$ينبغي أن تكون متناظرة ( علاقات أونساغر المتبادلة ) وموجبة التحديد ( لنمو الإنتروبيا ).

معادلات النقل هي

${\displaystyle {\frac {\partial n_{i}}{\partial t}}=-\operatorname {div} \mathbf {J} _{i}=-\sum _{j\geq 0}L_{ij}\operatorname {div} X_{j}=\sum _{k\geq 0}\left[-\sum _{j\geq 0}L_{ij}\left.{\frac {\partial ^{2}s(n)}{\partial n_{j}\,\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\right]\,\Delta n_{k}\ .}$

هنا، ترتبط جميع المؤشرات i و j و k = 0 و 1 و 2 و ... بالطاقة الداخلية (0) ومكوناتها المختلفة. والتعبير الموجود بين قوسين مربعين هو المصفوفة.${\displaystyle D_{ik}}$معاملات الانتشار ( i ، k  >  0 )، والانتشار الحراري ( i  >  0 ، k  =  0 أو k  >  0 ، i  =  0) والتوصيل الحراري ( i = k = 0 ).

في ظل الظروف متساوية الحرارة، تكون درجة الحرارة ثابتة. الجهد الديناميكي الحراري ذو الصلة هو الطاقة الحرة (أو الإنتروبيا الحرة ). القوى الدافعة الديناميكية الحرارية للانتشار متساوي الحرارة هي مضادات تدرجات الجهود الكيميائية.  ${\displaystyle -(1/T)\,\nabla \mu _{j}}$ومصفوفة معاملات الانتشار هي

${\displaystyle D_{ik}={\frac {1}{T}}\sum _{j\geq 1}L_{ij}\left.{\frac {\partial \mu _{j}(n,T)}{\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}}$

( i,k  >  0).

يوجد قدرٌ من التعسف في تعريف القوى الديناميكية الحرارية ومعاملات الحركة، لأنها لا تُقاس بشكل منفصل، وإنما فقط بتراكيبها.${\textstyle \sum _{j}L_{ij}X_{j}}$يمكن قياسها. على سبيل المثال، في العمل الأصلي لأونساغر ^{[ 19 ]،} تتضمن القوى الديناميكية الحرارية مُضاعِفًا إضافيًا T ، بينما في كتاب " دورة في الفيزياء النظرية" ^{[ 20 ]،} يُحذف هذا المُضاعِف، ولكن إشارة القوى الديناميكية الحرارية تكون معاكسة. تُستكمل جميع هذه التغييرات بتغييرات مُقابلة في المعاملات، ولا تؤثر على الكميات القابلة للقياس.

تربط علاقة أينشتاين (النظرية الحركية) بين معامل الانتشار والحركة (نسبة سرعة الانجراف النهائية للجسيم إلى القوة المؤثرة ). ^{[ 21 ]} بالنسبة للجسيمات المشحونة:

${\displaystyle D={\frac {\mu \,k_{\text{B}}T}{q}},}$

حيث D هو ثابت الانتشار ، وμ هو "الحركية"، _و kB هو ثابت بولتزمان ، وT هي درجة الحرارة المطلقة ، و q هي الشحنة الأولية ، أي شحنة إلكترون واحد.

فيما يلي، لدمج الجهد الكيميائي μ والحركية في نفس الصيغة، نستخدم للحركية الرمز التالي:${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$.

قام ت. تيوريل بتطبيق النهج القائم على الحركة. ^{[ 22 ]} في عام 1935، درس انتشار الأيونات عبر غشاء. وقد صاغ جوهر نهجه في الصيغة التالية:

التدفق يساوي الحركة × التركيز × القوة لكل غرام من الأيون .

هذه هي ما تُعرف بصيغة تيوريل . يُستخدم مصطلح "أيون غرامي" ("جسيم غرامي") للإشارة إلى كمية من مادة تحتوي على عدد أفوجادرو من الأيونات (الجسيمات). المصطلح الحديث الشائع هو المول .

تتكون القوة في ظل الظروف متساوية الحرارة من جزأين:

1. قوة الانتشار الناتجة عن تدرج التركيز:${\displaystyle -RT{\frac {1}{n}}\,\nabla n=-RT\,\nabla (\ln(n/n^{\text{eq}}))}$.
2. القوة الكهروستاتيكية الناتجة عن تدرج الجهد الكهربائي:${\displaystyle q\,\nabla \varphi }$.

هنا R هو ثابت الغاز ، T هي درجة الحرارة المطلقة، n هو التركيز، يتم تمييز تركيز التوازن بواسطة رمز علوي "eq"، q هي الشحنة و φ هو الجهد الكهربائي.

يكمن الفرق البسيط، ولكنه جوهري، بين صيغة تيوريل وقوانين أونساغر في عامل التركيز في تعبير تيوريل للتدفق. ففي منهج أينشتاين-تيوريل، إذا كان التركيز يؤول إلى الصفر عند قوة محدودة، فإن التدفق يؤول أيضًا إلى الصفر، بينما تخالف معادلات أونساغر هذه القاعدة البسيطة والبديهية فيزيائيًا.

الصيغة العامة لصيغة تيوريل للأنظمة غير المثالية في ظل الظروف متساوية الحرارة هي ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \mathbf {J} ={\mathfrak {m}}\exp \left({\frac {\mu -\mu _{0}}{RT}}\right)(-\nabla \mu +({\text{external force per mole}})),}$

حيث μ هو الجهد الكيميائي ، _و μ₀ هي القيمة القياسية للجهد الكيميائي. التعبير${\displaystyle a=\exp \left({\frac {\mu -\mu _{0}}{RT}}\right)}$يُعرف هذا بالنشاط . وهو يقيس "التركيز الفعال" لنوع كيميائي في خليط غير مثالي. في هذه الصيغة، تأخذ صيغة تيوريل للتدفق شكلاً بسيطاً للغاية ^{[ 16 ].}

${\displaystyle \mathbf {J} ={\mathfrak {m}}a(-\nabla \mu +({\text{external force per mole}})).}$

يتضمن الانحراف المعياري للنشاط عامل تطبيع، وذلك للتركيزات الصغيرة.${\displaystyle a=n/n^{\ominus }+o(n/n^{\ominus })}$، أين${\displaystyle n^{\ominus }}$يمثل التركيز القياسي. لذلك، تصف هذه الصيغة للتدفق تدفق الكمية اللامبعدية المعيارية${\displaystyle n/n^{\ominus }}$:

${\displaystyle {\frac {\partial (n/n^{\ominus })}{\partial t}}=\nabla \cdot [{\mathfrak {m}}a(\nabla \mu -({\text{external force per mole}}))].}$

يتجاهل نموذج أينشتاين قصور الجزء المنتشر. تبدأ معادلة لانجفين البديلة بقانون نيوتن الثاني للحركة: ^{[ 23 ]}

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {1}{\mu }}{\frac {dx}{dt}}+F(t)}$

أين

• يمثل x الموضع.
• μ هي حركة الجسيم في السائل أو الغاز، والتي يمكن حسابها باستخدام علاقة أينشتاين (النظرية الحركية) .
• m هي كتلة الجسيم.
• F هي القوة العشوائية المطبقة على الجسيم.
• لقد حان الوقت.

بحل هذه المعادلة، يمكن الحصول على ثابت الانتشار المعتمد على الزمن في الحد الزمني الطويل وعندما تكون الجسيمات أكثر كثافة بشكل ملحوظ من السائل المحيط، ^{[ 23 ]}

${\displaystyle D(t)=\mu \,k_{\rm {B}}T(1-e^{-t/(m\mu )})}$

أين

• k _B هو ثابت بولتزمان ؛
• T هي درجة الحرارة المطلقة .
• μ هي حركة الجسيم في السائل أو الغاز، والتي يمكن حسابها باستخدام علاقة أينشتاين (النظرية الحركية) .
• m هي كتلة الجسيم.
• لقد حان الوقت.

على المدى الزمني الطويل، يتم استعادة نتيجة أينشتاين، ولكن على المدى الزمني القصير، يتم تفسير النظام الباليستي أيضًا. علاوة على ذلك، وخلافًا لنهج أينشتاين، يمكن تعريف السرعة، مما يؤدي إلى نظرية التذبذب والتبدد ، التي تربط بين التنافس بين الاحتكاك والقوى العشوائية في تحديد درجة الحرارة. ^{[ 23 ] : 3.2}

قد يلعب انتشار الكواشف على سطح المحفز دورًا هامًا في التحفيز غير المتجانس. يعتمد نموذج الانتشار في الطبقة الأحادية المثالية على انتقال الكواشف إلى أقرب المواقع الحرة. وقد استُخدم هذا النموذج لدراسة أكسدة أول أكسيد الكربون على البلاتين تحت ضغط غاز منخفض.

يتضمن النظام العديد من الكواشف${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{m}}$على السطح. تركيزاتها السطحية هي${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{m}.}$السطح عبارة عن شبكة من مواقع الامتزاز. كل جزيء من الكاشف يشغل موقعًا على السطح. بعض هذه المواقع فارغة. تركيز المواقع الفارغة هو${\displaystyle z=c_{0}}$مجموع كل${\displaystyle c_{i}}$(بما في ذلك الأماكن الحرة) ثابت، كثافة أماكن الامتزاز b .

يُعطي نموذج القفزة تدفق الانتشار لـ${\displaystyle A_{i}}$( i  =  1,  ..., n ): 

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-D_{i}[z\,\nabla c_{i}-c_{i}\nabla z]\,.}$

معادلة الانتشار المقابلة هي: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial c_{i}}{\partial t}}=-\operatorname {div} \mathbf {J} _{i}=D_{i}[z\,\Delta c_{i}-c_{i}\,\Delta z]\,.}$

بسبب قانون الحفاظ على البيئة،${\displaystyle z=b-\sum _{i=1}^{n}c_{i}\,,}$ولدينا نظام من m معادلات انتشار. بالنسبة لمكون واحد، نحصل على قانون فيك ومعادلات خطية لأن${\displaystyle (b-c)\,\nabla c-c\,\nabla (b-c)=b\,\nabla c}$. بالنسبة لمكونين أو أكثر، تكون المعادلات غير خطية.

إذا كان بإمكان جميع الجسيمات تبادل مواقعها مع أقرب جيرانها، فإن تعميمًا بسيطًا يعطي

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-\sum _{j}D_{ij}[c_{j}\,\nabla c_{i}-c_{i}\,\nabla c_{j}]}$

${\displaystyle {\frac {\partial c_{i}}{\partial t}}=\sum _{j}D_{ij}[c_{j}\,\Delta c_{i}-c_{i}\,\Delta c_{j}]}$

أين${\displaystyle D_{ij}=D_{ji}\geq 0}$هي مصفوفة متناظرة من المعاملات التي تميز شدة القفزات. ينبغي اعتبار الأماكن الحرة (الفراغات) بمثابة "جسيمات" خاصة ذات تركيز${\displaystyle c_{0}}$.

تُعد الإصدارات المختلفة من نماذج القفز هذه مناسبة أيضًا لآليات الانتشار البسيطة في المواد الصلبة.

بالنسبة للانتشار في الوسائط المسامية، تكون المعادلات الأساسية (إذا كانت Φ ثابتة): ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \mathbf {J} =-\phi D\,\nabla n^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=D\,\Delta n^{m}\,,}$

حيث D هو معامل الانتشار، وΦ هي المسامية، وn هو التركيز، و m  >  0 (عادةً m  >  1، والحالة m  =  1 تتوافق مع قانون فيك).

يجب توخي الحذر عند حساب مسامية (Φ) الوسط المسامي في كلٍّ من حدود التدفق وحدود التراكم. ^{[ 25 ]} على سبيل المثال، عندما تقترب المسامية من الصفر، يؤول التدفق المولي في الوسط المسامي إلى الصفر عند تدرج تركيز معين. عند تطبيق تباعد التدفق، تُحذف حدود المسامية، وتتكون المعادلة الثانية المذكورة أعلاه.

بالنسبة لانتشار الغازات في الأوساط المسامية، تُعد هذه المعادلة صياغة رسمية لقانون دارسي : التدفق الحجمي للغاز في الأوساط المسامية هو

${\displaystyle q=-{\frac {k}{\mu }}\,\nabla p}$

حيث k هي نفاذية الوسط، وμ هي اللزوجة و p هو الضغط.

يُعطى التدفق المولي الحملي على النحو التالي

J  = nq 

ولـ${\displaystyle p\sim n^{\gamma }}$قانون دارسي يعطي معادلة الانتشار في الأوساط المسامية مع m  = γ + 1.   

في الأوساط المسامية، ترتبط السرعة الخطية المتوسطة (ν) بالتدفق الحجمي على النحو التالي:

${\displaystyle \upsilon =q/\phi }$

بدمج التدفق المولي الحملي مع التدفق الانتشارى نحصل على معادلة التشتت الحملي

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=D\,\Delta n^{m}\ -\nu \cdot \nabla n^{m},}$

بالنسبة لتسرب المياه الجوفية، فإن تقريب بوسينسك يعطي نفس المعادلة مع m = 2.   

بالنسبة للبلازما ذات المستوى العالي من الإشعاع، تعطي معادلة زيلدوفيتش -رايزر قيمة m  >  4 لانتقال الحرارة.

معامل الانتشار${\displaystyle D}$هو المعامل في قانون فيك الأول${\displaystyle J=-D\,\partial n/\partial x}$، حيث J هو تدفق الانتشار ( كمية المادة ) لكل وحدة مساحة لكل وحدة زمنية، و n (للخلائط المثالية) هو التركيز، و x هو الموضع [الطول].

لنفترض وجود غازين لهما جزيئات بنفس القطر d والكتلة m ( الانتشار الذاتي ). في هذه الحالة، تعطي نظرية المسار الحر المتوسط ​​الأساسية للانتشار معامل الانتشار.

${\displaystyle D={\frac {1}{3}}\ell v_{T}={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}^{3}}{\pi ^{3}m}}}{\frac {T^{3/2}}{Pd^{2}}}\,,}$

حيث kB هو ثابت بولتزمان ، _و T هي درجة الحرارة ، وP هو الضغط .${\displaystyle \ell }$يمثل متوسط ​​المسار الحر ، و v _T يمثل متوسط ​​السرعة الحرارية:

${\displaystyle \ell ={\frac {k_{\rm {B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}P}}\,,\;\;\;v_{T}={\sqrt {\frac {8k_{\rm {B}}T}{\pi m}}}\,.}$

نلاحظ أن معامل الانتشار في تقريب المسار الحر المتوسط ​​يزداد مع درجة الحرارة T بنسبة T³ ^/²، ويتناقص مع الضغط P بنسبة 1 / P . وإذا استخدمنا قانون الغاز المثالي P = RnT للتركيز الكلي n ، فسنجد أنه عند تركيز n معين، يزداد معامل الانتشار مع T بنسبة T¹ ^/² ، وعند درجة حرارة معينة، يتناقص مع التركيز الكلي بنسبة 1/ n .   

بالنسبة لغازين مختلفين، A و B، بكتل جزيئية m _A و m _B وأقطار جزيئية d _A و d _B ، فإن متوسط ​​المسار الحر المقدر لمعامل الانتشار لـ A في B و B في A هو:

${\displaystyle D_{\rm {AB}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}^{3}}{\pi ^{3}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2m_{\rm {A}}}}+{\frac {1}{2m_{\rm {B}}}}}}{\frac {4T^{3/2}}{P(d_{\rm {A}}+d_{\rm {B}})^{2}}}\,,}$

في حركية بولتزمان لخليط الغازات، لكل غاز دالة توزيع خاصة به.${\displaystyle f_{i}(x,c,t)}$حيث t هي اللحظة الزمنية، و x هو الموضع، و c هي سرعة جزيء المكون i من الخليط. لكل مكون سرعته المتوسطة.${\textstyle C_{i}(x,t)={\frac {1}{n_{i}}}\int _{c}cf(x,c,t)\,dc}$إذا كانت السرعات${\displaystyle C_{i}(x,t)}$إذا لم تتطابق، فإن الانتشار موجود .

في تقريب تشابمان-إنسكوج ، يتم التعبير عن جميع دوال التوزيع من خلال كثافات الكميات المحفوظة: ^{[ 14 ]}

• تركيزات الجسيمات الفردية،${\textstyle n_{i}(x,t)=\int _{c}f_{i}(x,c,t)\,dc}$(عدد الجسيمات لكل وحدة حجم)،
• كثافة الزخم${\textstyle \sum _{i}m_{i}n_{i}C_{i}(x,t)}$( m _i هي كتلة الجسيم رقم i )،
• كثافة الطاقة الحركية$${\displaystyle \sum _{i}\left(n_{i}{\frac {m_{i}C_{i}^{2}(x,t)}{2}}+\int _{c}{\frac {m_{i}(c_{i}-C_{i}(x,t))^{2}}{2}}f_{i}(x,c,t)\,dc\right).}$$

تُعرَّف درجة الحرارة الحركية T والضغط P في الفضاء ثلاثي الأبعاد على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {3}{2}}k_{\rm {B}}T={\frac {1}{n}}\int _{c}{\frac {m_{i}(c_{i}-C_{i}(x,t))^{2}}{2}}f_{i}(x,c,t)\,dc;\quad P=k_{\rm {B}}nT,}$

أين${\textstyle n=\sum _{i}n_{i}}$هي الكثافة الكلية.

بالنسبة لغازين، فإن الفرق بين السرعتين،${\displaystyle C_{1}-C_{2}}$يتم التعبير عنها بالصيغة التالية: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle C_{1}-C_{2}=-{\frac {n^{2}}{n_{1}n_{2}}}D_{12}\left\{\nabla \left({\frac {n_{1}}{n}}\right)+{\frac {n_{1}n_{2}(m_{2}-m_{1})}{Pn(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}\nabla P-{\frac {m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}{P(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}(F_{1}-F_{2})+k_{T}{\frac {1}{T}}\nabla T\right\},}$

أين${\displaystyle F_{i}}$هي القوة المطبقة على جزيئات المكون رقم i و${\displaystyle k_{T}}$هي نسبة الانتشار الحراري.

معامل الانتشار _D12 موجب . هذا هو معامل الانتشار. تصف أربعة _{حدود في} صيغة C1 − C2 أربعة تأثيرات رئيسية في انتشار الغازات:

1. ${\displaystyle \nabla \,\left({\frac {n_{1}}{n}}\right)}$يصف تدفق المكون الأول من المناطق ذات النسبة العالية n ₁ / n إلى المناطق ذات القيم المنخفضة لهذه النسبة (وبالمثل تدفق المكون الثاني من n ₂ / n العالية إلى n ₂ / n المنخفضة لأن n ₂ / n  =  1  – n ₁ / n )؛ 
2. ${\displaystyle {\frac {n_{1}n_{2}(m_{2}-m_{1})}{n(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}\nabla P}$يصف تدفق الجزيئات الأثقل إلى المناطق ذات الضغط الأعلى والجزيئات الأخف إلى المناطق ذات الضغط الأقل، وهذا هو الانتشار البارودي ؛
3. ${\displaystyle {\frac {m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}{P(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}(F_{1}-F_{2})}$يصف هذا الانتشار الناتج عن اختلاف القوى المؤثرة على جزيئات من أنواع مختلفة. فعلى سبيل المثال، في مجال جاذبية الأرض، تتجه الجزيئات الأثقل نحو الأسفل، وفي المجال الكهربائي تتحرك الجزيئات المشحونة، إلى أن يتعادل هذا التأثير مع مجموع التأثيرات الأخرى. ويجب عدم الخلط بين هذا التأثير والانتشار الضغطي الناتج عن تدرج الضغط.
4. ${\displaystyle k_{T}{\frac {1}{T}}\nabla T}$يصف الانتشار الحراري ، وهو تدفق الانتشار الناتج عن تدرج درجة الحرارة.

تُسمى جميع هذه التأثيرات بالانتشار لأنها تصف الاختلافات في سرعات المكونات المختلفة في الخليط. ولذلك، لا يمكن وصف هذه التأثيرات بأنها نقل جماعي ، وهي تختلف عن الحمل أو الانتقال الحراري.

في التقريب الأول، ^{[ 14 ]}

• $${\displaystyle D_{12}={\frac {3}{2n(d_{1}+d_{2})^{2}}}\left[{\frac {kT(m_{1}+m_{2})}{2\pi m_{1}m_{2}}}\right]^{1/2}}$$للكرات الصلبة؛
• $${\displaystyle D_{12}={\frac {3}{8nA_{1}({\nu })\Gamma (3-{\frac {2}{\nu -1}})}}\left[{\frac {kT(m_{1}+m_{2})}{2\pi m_{1}m_{2}}}\right]^{1/2}\left({\frac {2kT}{\kappa _{12}}}\right)^{\frac {2}{\nu -1}}}$$لقوة التنافر${\displaystyle \kappa _{12}r^{-\nu }.}$

الرقم${\displaystyle A_{1}({\nu })}$يتم تعريفها بواسطة التربيعات (الصيغ (3.7)، (3.9)، الفصل 10 من كتاب تشابمان وكاولينج الكلاسيكي ^{[ 14 ]} )

نلاحظ أن اعتمادية درجة الحرارة T للكرات الصلبة هي نفسها في نظرية المسار الحر المتوسط ​​البسيطة، لكن الأس يختلف في قوانين التنافر الأسي. ويظل اعتماد التركيز الكلي n عند درجة حرارة معينة ثابتًا، وهو 1/ n .

في تطبيقات ديناميكا الغازات، يجب دمج تدفق الانتشار وتدفق الكتلة في نظام واحد من معادلات النقل. يصف تدفق الكتلة انتقال الكتلة، وسرعته V هي متوسط ​​سرعة الكتلة، ويتم تحديده من خلال كثافة الزخم وتركيزات الكتلة.

${\displaystyle V={\frac {\sum _{i}\rho _{i}C_{i}}{\rho }}\,.}$

أين${\displaystyle \rho _{i}=m_{i}n_{i}}$يمثل تركيز الكتلة للنوع i ،${\textstyle \rho =\sum _{i}\rho _{i}}$هي كثافة الكتلة.

بحسب التعريف، فإن سرعة انتشار المكون رقم i هي${\displaystyle v_{i}=C_{i}-V}$،${\textstyle \sum _{i}\rho _{i}v_{i}=0}$يتم وصف انتقال الكتلة للمكون رقم i بواسطة معادلة الاستمرارية .

${\displaystyle {\frac {\partial \rho _{i}}{\partial t}}+\nabla (\rho _{i}V)+\nabla (\rho _{i}v_{i})=W_{i}\,,}$

أين${\displaystyle W_{i}}$هو معدل إنتاج الكتلة الصافية في التفاعلات الكيميائية،${\textstyle \sum _{i}W_{i}=0}$.

في هذه المعادلات، المصطلح${\displaystyle \nabla (\rho _{i}V)}$يصف انتقال المكون رقم i والحد${\displaystyle \nabla (\rho _{i}v_{i})}$يمثل انتشار هذا المكون.

في عام 1948، اقترح ويندل إتش. فوري استخدام صيغة معدلات الانتشار الموجودة في النظرية الحركية كإطار عمل للنهج الظاهري الجديد للانتشار في الغازات. وقد طُوّر هذا النهج لاحقًا بواسطة إف. إيه. ويليامز وإس. إتش. لام. ^{[ 26 ]} بالنسبة لسرعات الانتشار في الغازات متعددة المكونات ( N مكونًا)، استخدموا

${\displaystyle v_{i}=-\left(\sum _{j=1}^{N}D_{ij}\mathbf {d} _{j}+D_{i}^{(T)}\,\nabla (\ln T)\right)\,;}$

${\displaystyle \mathbf {d} _{j}=\nabla X_{j}+(X_{j}-Y_{j})\,\nabla (\ln P)+\mathbf {g} _{j}\,;}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{j}={\frac {\rho }{P}}\left(Y_{j}\sum _{k=1}^{N}Y_{k}(f_{k}-f_{j})\right)\,.}$

هنا،${\displaystyle D_{ij}}$هي مصفوفة معامل الانتشار،${\displaystyle D_{i}^{(T)}}$هو معامل الانتشار الحراري،${\displaystyle f_{i}}$هي قوة الجسم لكل وحدة كتلة تؤثر على النوع رقم i ،${\displaystyle X_{i}=P_{i}/P}$يمثل الكسر الجزئي للضغط للنوع i (و${\displaystyle P_{i}}$(الضغط الجزئي)،${\displaystyle Y_{i}=\rho _{i}/\rho }$يمثل الكسر الكتلي للنوع i ، و${\textstyle \sum _{i}X_{i}=\sum _{i}Y_{i}=1.}$

عندما لا يكون تركيز الإلكترونات في المواد الصلبة في حالة اتزان، يحدث انتشار الإلكترونات. على سبيل المثال، عند تطبيق جهد كهربائي على طرفي قطعة من أشباه الموصلات، أو عند تسليط ضوء على أحد طرفيها (انظر الشكل على اليمين)، تنتشر الإلكترونات من المناطق ذات الكثافة العالية (المركز) إلى المناطق ذات الكثافة المنخفضة (الطرفين)، مُشكّلةً تدرجًا في كثافة الإلكترونات. تُولّد هذه العملية تيارًا كهربائيًا يُعرف بتيار الانتشار .

يمكن أيضًا وصف تيار الانتشار بقانون فيك الأول

${\displaystyle J=-D\,\partial n/\partial x\,,}$

حيث J هي كثافة تيار الانتشار ( كمية المادة ) لكل وحدة مساحة لكل وحدة زمنية، و n (للخلائط المثالية) هي كثافة الإلكترون، و x هو الموضع [الطول].

أصبحت النماذج التحليلية والرقمية التي تحل معادلة الانتشار لظروف ابتدائية وحدودية مختلفة شائعة الاستخدام لدراسة مجموعة واسعة من التغيرات التي تطرأ على سطح الأرض. وقد استُخدم الانتشار على نطاق واسع في دراسات التعرية، مثل تراجع المنحدرات، وتعرية الجروف، وتدهور منحدرات الصدوع، وتراجع المدرجات/الخطوط الساحلية بفعل الأمواج، وحفر القنوات الفيضية، وتراجع الجرف القاري، وتقدم الدلتا. ^{[ 27 ]} على الرغم من أن سطح الأرض لا ينتشر حرفيًا في العديد من هذه الحالات، إلا أن عملية الانتشار تحاكي بفعالية التغيرات الشاملة التي تحدث على مدى عقود إلى آلاف السنين. كما يمكن استخدام نماذج الانتشار لحل مسائل القيم الحدية العكسية، حيث تُعرف بعض المعلومات حول بيئة الترسيب من خلال إعادة بناء البيئة القديمة، وتُستخدم معادلة الانتشار لحساب تدفق الرواسب والسلاسل الزمنية لتغيرات التضاريس. ^{[ 28 ]}

تعتمد عملية غسيل الكلى على مبدأي انتشار المواد المذابة والترشيح الفائق للسوائل عبر غشاء شبه منفذ . الانتشار خاصيةٌ للمواد الموجودة في الماء؛ إذ تميل هذه المواد إلى الانتقال من منطقة ذات تركيز عالٍ إلى منطقة ذات تركيز منخفض. ^{[ 29 ]} يتدفق الدم من جانب واحد من الغشاء شبه المنفذ، بينما يتدفق سائل الغسيل، أو سائل غسيل الكلى الخاص، من الجانب الآخر. الغشاء شبه المنفذ عبارة عن طبقة رقيقة من مادة تحتوي على ثقوب بأحجام مختلفة. تمر المواد المذابة والسوائل الأصغر حجمًا عبر الغشاء، بينما يمنع الغشاء مرور المواد الأكبر حجمًا (مثل خلايا الدم الحمراء والبروتينات الكبيرة). تحاكي هذه العملية عملية الترشيح التي تحدث في الكليتين عندما يدخل الدم إليهما، حيث تُفصل المواد الأكبر حجمًا عن الأصغر في الكبيبة . ^{[ 29 ]}

بينما يمكن رصد الحركة البراونية للجسيمات الميزوسكوبية متعددة الجزيئات (مثل حبوب اللقاح التي درسها براون) باستخدام المجهر الضوئي، فإن الانتشار الجزيئي لا يمكن دراسته إلا في ظروف تجريبية مضبوطة بدقة. ومنذ تجارب غراهام، بات من المعروف أن تجنب الحمل الحراري ضروري، وقد يكون هذا الأمر بالغ الصعوبة.

في الظروف العادية، لا يهيمن الانتشار الجزيئي إلا على أطوال تتراوح بين النانومتر والمليمتر. أما على نطاقات أطوال أكبر، فيُعزى النقل في السوائل والغازات عادةً إلى ظاهرة نقل أخرى هي الحمل الحراري . ويتطلب فصل الانتشار في هذه الحالات بذل جهود خاصة.

على النقيض من ذلك، يُعدّ التوصيل الحراري عبر المواد الصلبة ظاهرة يومية (على سبيل المثال، ملعقة معدنية مغمورة جزئيًا في سائل ساخن). وهذا يفسر سبب تفسير انتشار الحرارة رياضيًا قبل تفسير انتشار الكتلة.

• يعزز الانتشار غير المتجانس ، المعروف أيضاً بمعادلة بيرونا-مالك، التدرجات العالية.
• الانتشار الذري في المواد الصلبة
• انتشار بوم ، انتشار البلازما عبر المجالات المغناطيسية
• الانتشار الدوامي ، في الوصف التقريبي للتدفق المضطرب
• تدفق الغاز عبر ثقوب صغيرة
• الانتشار الإلكتروني ، مما ينتج عنه تيار كهربائي يسمى تيار الانتشار
• الانتشار المُيسَّر ، الموجود في بعض الكائنات الحية
• الانتشار الغازي ، المستخدم لفصل النظائر
• معادلة الحرارة ، انتشار الطاقة الحرارية
• انتشار إيتو ، والرياضيات لحركة براون، والعملية العشوائية المستمرة.
• انتشار كنودسن للغاز في المسام الطويلة مع تصادمات متكررة مع الجدران
• رحلة ليفي
• الانتشار الجزيئي ، هو انتشار الجزيئات من المناطق الأكثر كثافة إلى المناطق الأقل كثافة.
• انتشار الزخم، مثال: انتشار مجال السرعة الهيدروديناميكية
• انتشار الفوتون
• انتشار البلازما
• ^نموذج المشي العشوائي [ ^{30 ]} للانتشار
• الانتشار العكسي ، عكس تدرج التركيز، في فصل الطور
• الانتشار الدوراني ، إعادة توجيه عشوائية للجزيئات
• انتشار اللف المغزلي ، انتشار العزوم المغناطيسية المغزلية في المواد الصلبة
• الانتشار السطحي ، انتشار الجسيمات الممتزة على سطح ما
• التاكسي هو نشاط الحركة الاتجاهية للحيوان استجابةً لمؤثر ما
  • الحركة هي نشاط حركي غير اتجاهي يقوم به الحيوان استجابةً لمؤثر ما
• الانتشار عبر الثقافات ، انتشار السمات الثقافية عبر المناطق الجغرافية
• الانتشار المضطرب ، نقل الكتلة أو الحرارة أو الزخم داخل سائل مضطرب