توزيع سكيلام

توزيع سكيلام هو التوزيع الاحتمالي المنفصل للفرق${\displaystyle N_{1}-N_{2}}$من متغيرين عشوائيين مستقلين إحصائياً${\displaystyle N_{1}}$و${\displaystyle N_{2},}$كل منها موزعة وفقًا لتوزيع بواسون بقيم متوقعة خاصة بها${\displaystyle \mu _{1}}$و${\displaystyle \mu _{2}}$. إنه مفيد في وصف إحصائيات الفرق بين صورتين مع ضوضاء الفوتون البسيطة ، وكذلك وصف توزيع انتشار النقاط في الرياضات التي تكون فيها جميع النقاط المسجلة متساوية، مثل البيسبول والهوكي وكرة القدم .

ينطبق التوزيع أيضًا على حالة خاصة من الفرق بين متغيرات بواسون العشوائية التابعة، ولكن فقط الحالة الواضحة حيث يكون للمتغيرين مساهمة عشوائية جمعية مشتركة يتم إلغاؤها عن طريق التفريق: انظر كارليس ونتزوفراس (2003) للحصول على التفاصيل والتطبيق.

دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع سكيلام للفرق${\displaystyle K=N_{1}-N_{2}}$بين متغيرين عشوائيين مستقلين موزعين وفقًا لتوزيع بواسون بمتوسطات${\displaystyle \mu _{1}}$و${\displaystyle \mu _{2}}$يُعطى بواسطة:

$${\displaystyle p(k;\mu _{1},\mu _{2})=\Pr\{K=k\}=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$$

حيث I _k ( z ) هي دالة بيسل المعدلة من النوع الأول. وبما أن k عدد صحيح، فإن I _k ( z )  = I _{| k |} ( z ). 

دالة الكتلة الاحتمالية لمتغير عشوائي يتبع توزيع بواسون بمتوسط ​​μ معطاة بالصيغة التالية:

$${\displaystyle p(k;\mu )={\mu ^{k} \over k!}e^{-\mu }.\,}$$

ل${\displaystyle k\geq 0}$(وصفر فيما عدا ذلك). دالة كتلة الاحتمال لسكيلام لفرق عددين مستقلين${\displaystyle K=N_{1}-N_{2}}$هو التفاف توزيعين من توزيعات بواسون: ( سكيلام ، 1946)

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(k;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }p(k+n;\mu _{1})p(n;\mu _{2})\\&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\sum _{n=\max(0,-k)}^{\infty }{{\mu _{1}^{k+n}\mu _{2}^{n}} \over {n!(k+n)!}}\end{aligned}}}$$ بما أن توزيع بواسون يساوي صفرًا للقيم السالبة للعدد${\displaystyle (p(N<0;\mu )=0)}$، يتم احتساب المجموع الثاني فقط لتلك الحدود حيث${\displaystyle n\geq 0}$و${\displaystyle n+k\geq 0}$يمكن إثبات أن المجموع أعلاه يستلزم أن

$${\displaystyle {\frac {p(k;\mu _{1},\mu _{2})}{p(-k;\mu _{1},\mu _{2})}}=\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k}}$$

لهذا السبب:

$${\displaystyle p(k;\mu _{1},\mu _{2})=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{|k|}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$$

حيث I _k (z) هي دالة بيسل المعدلة من النوع الأول. الحالة الخاصة لـ ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}(=\mu )}$وقد ذكرها إيروين (1937):

$${\displaystyle p{\left(k;\mu ,\mu \right)}=e^{-2\mu }I_{|k|}(2\mu ).}$$

باستخدام القيم الحدية لدالة بيسل المعدلة للوسائط الصغيرة، يمكننا استعادة توزيع بواسون كحالة خاصة من توزيع سكيلام لـ${\displaystyle \mu _{2}=0}$.

بما أنها دالة احتمالية منفصلة، ​​فإن دالة كتلة الاحتمال لسكيلام تكون مُعَيَّرة:

$${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }p(k;\mu _{1},\mu _{2})=1.}$$

نعلم أن دالة توليد الاحتمالات (pgf) لتوزيع بواسون هي:

$${\displaystyle G\left(t;\mu \right)=e^{\mu (t-1)}.}$$

ويترتب على ذلك أن دالة توليد العزوم،${\displaystyle G(t;\mu _{1},\mu _{2})}$، بالنسبة لدالة كتلة الاحتمال لسكيلام، ستكون كالتالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}G(t;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(k;\mu _{1},\mu _{2})t^{k}\\[4pt]&=G\left(t;\mu _{1}\right)G\left(1/t;\mu _{2}\right)\\[4pt]&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}t+\mu _{2}/t}.\end{aligned}}}$$

لاحظ أن شكل دالة توليد الاحتمالات يشير إلى أن توزيع مجاميع أو فروق أي عدد من المتغيرات المستقلة الموزعة وفقًا لتوزيع سكيلام هو أيضًا توزيع سكيلام. يُزعم أحيانًا أن أي توليفة خطية من متغيرين موزعين وفقًا لتوزيع سكيلام هي أيضًا توزيع سكيلام، لكن هذا غير صحيح قطعًا، إذ أن أي مُضاعِف بخلاف${\displaystyle \pm 1}$سيؤدي ذلك إلى تغيير نطاق التوزيع وتغيير نمط العزوم بطريقة لا يمكن لأي توزيع سكيلام أن يفي بها.

دالة توليد العزوم معطاة بالصيغة التالية:

$${\displaystyle M\left(t;\mu _{1},\mu _{2}\right)=G(e^{t};\mu _{1},\mu _{2})=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,m_{k}}$$

مما ينتج عنه العزوم الخام m _k  . عرّف:

$${\displaystyle \Delta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mu _{1}-\mu _{2}}$$

$${\displaystyle \mu \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\tfrac {1}{2}}(\mu _{1}+\mu _{2}).}$$

ثم تكون اللحظات الخام m _k

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\Delta \\m_{2}&=2\mu +\Delta ^{2}\\m_{3}&=\Delta \left(1+6\mu +\Delta ^{2}\right)\end{aligned}}}$$

اللحظات المركزية M _k هي

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{2}&=2\mu ,\\M_{3}&=\Delta ,\\M_{4}&=2\mu +12\mu ^{2}.\,\end{aligned}}}$$

المتوسط ، والتباين ، والالتواء ، والتفرطح الزائد هي على التوالي :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (n)&=\Delta ,\\[4pt]\sigma ^{2}&=2\mu ,\\[4pt]\gamma _{1}&=\Delta /(2\mu )^{3/2},\\[4pt]\gamma _{2}&=1/2.\end{aligned}}}$$

تُعطى دالة توليد العزوم التراكمية بالصيغة التالية:

$${\displaystyle K(t;\mu _{1},\mu _{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \ln(M(t;\mu _{1},\mu _{2}))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}\,\kappa _{k}}$$

مما ينتج عنه العزوم التراكمية :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{2k}&=2\mu ,\\\kappa _{2k+1}&=\Delta .\end{aligned}}}$$

في الحالة الخاصة عندما يكون μ ₁ = μ ₂ ، ينتج عن التوسع التقاربي لدالة بيسل المعدلة من النوع الأول لقيم μ الكبيرة ما يلي :

$${\displaystyle p(k;\mu ,\mu )\sim {\frac {1}{\sqrt {4\pi \mu }}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(-1\right)^{n}{\frac {\left\{4k^{2}-1^{2}\right\}\left\{4k^{2}-3^{2}\right\}\cdots \left\{4k^{2}-(2n-1)^{2}\right\}}{n!\,2^{3n}\,(2\mu )^{n}}}\right].}$$

(أبراموفيتز وستيجون 1972، ص  377). كذلك، في هذه الحالة الخاصة، عندما تكون قيمة k كبيرة أيضًا، ومن رتبة الجذر التربيعي لـ 2μ ، فإن التوزيع يميل إلى التوزيع الطبيعي :

$${\displaystyle p(k;\mu ,\mu )\sim {\frac {e^{-k^{2}/4\mu }}{\sqrt {4\pi \mu }}}.}$$

يمكن بسهولة تعميم هذه النتائج الخاصة لتشمل الحالة الأكثر عمومية المتمثلة في الوسائل المختلفة.

• توزيع النسبة لتوزيعات بواسون (المقتطعة)