دالة ليوفيل

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 64 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الأعداد ، تُعرف دالة ليوفيل ، نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف ليوفيل ، بالرمز التالي:λ(ن){\displaystyle \lambda (n)}، هي دالة حسابية مهمة . قيمتها هي1{\displaystyle 1}لون{\displaystyle n}هو ناتج ضرب عدد زوجي من الأعداد الأولية ، و-1{\displaystyle -1}إذا كان ناتج ضرب عدد فردي من الأعداد الأولية.

تعريف

بحسب النظرية الأساسية للحساب ، فإن أي عدد صحيح موجبن{\displaystyle n}يمكن تمثيلها بشكل فريد كحاصل ضرب قوى الأعداد الأولية:

ن=ص1أ1⋯صكأك{\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}،

أينص1،...،صك{\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}الأعداد الأولية والأسسأ1،...،أك{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}هي أعداد صحيحة موجبة. دالة أوميغا الأوليةΩ(ن){\displaystyle \Omega (n)}يحسب عدد الأعداد الأولية في تحليل العدد إلى عوامله الأوليةن{\displaystyle n}مع التعددية:

Ω(ن)=أ1+أ2+⋯+أك{\displaystyle \Omega (n)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}}.

وبالتالي، تُعرَّف دالة ليوفيل بواسطة

λ(ن)=(-1)Ω(ن){\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}

(التسلسل A008836 في OEIS ) .

ملكيات

منذΩ(ن){\displaystyle \Omega (n)}هي عملية تراكمية تمامًا ؛ أيΩ(أب)=Ω(أ)+Ω(ب){\displaystyle \Omega (ab)=\Omega (a)+\Omega (b)}، ثمλ(ن){\displaystyle \lambda (n)}هي عملية ضربية بالكامل . بما أن1{\displaystyle 1}ليس له عوامل أولية،Ω(1)=0{\displaystyle \Omega (1)=0}، لذاλ(1)=1{\displaystyle \lambda (1)=1}.

λ(ن){\displaystyle \lambda (n)}ويرتبط ذلك أيضاً بدالة موبيوسμ(ن){\displaystyle \mu (n)}إذا كتبنان{\displaystyle n}مثلن=أ2ب{\displaystyle n=a^{2}b}، أينب{\displaystyle b}إذا كان مربعًا خاليًا من المربعات ، فـ

λ(ن)=μ(ب).{\displaystyle \lambda (n)=\mu (b).}

مجموع دالة ليوفيل على قواسمن{\displaystyle n}هي الدالة المميزة للمربعات :

∑د|نλ(د)={1لو ن مربع كامل،0خلاف ذلك.{\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{إذا كان }}n{\text{ مربعًا كاملًا،}}\\0&{\text{فيما عدا ذلك.}}\end{cases}}}

ينتج عن قلب موبيوس لهذه الصيغة

λ(ن)=∑د2|نμ(ند2).{\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).}

معكوس دالة ديريشليه لدالة ليوفيل هو القيمة المطلقة لدالة موبيوس.λ-1(ن)=|μ(ن)|=μ2(ن){\displaystyle \lambda ^{-1}(n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n)}، الدالة المميزة للأعداد الصحيحة الخالية من المربعات.

مسلسل

ترتبط متسلسلة ديريشليه لدالة ليوفيل بدالة زيتا لريمان بالعلاقة التالية:

ζ(2s)ζ(s)=∑ن=1∞λ(ن)نs.{\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}

أيضًا:

∑ن=1∞λ(ن)ln⁡نن=-ζ(2)=-π26.{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\ln n}{n}}=-\zeta (2)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}

متسلسلة لامبرت لوظيفة ليوفيل هي

∑ن=1∞λ(ن)qن1-qن=∑ن=1∞qن2=12(ϑ3(q)-1)،{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),}

أينϑ3(q){\displaystyle \vartheta _{3}(q)}هي دالة جاكوبي ثيتا .

تخمينات حول الدوال التجميعية الموزونة

دالة ليوفيل التجميعية L ( n ) حتى n  =  10 4 . التذبذبات المرئية بسهولة تعود إلى الصفر الأول غير التافه لدالة زيتا لريمان.
دالة ليوفيل التجميعية L ( n ) حتى n  =  10 7 . لاحظ الثبات الظاهر للتذبذبات على المقياس .
الرسم البياني اللوغاريتمي لسالب دالة ليوفيل التجميعية L ( n ) حتى n  =  2  ×  10 9 . يُظهر الارتفاع الأخضر الدالة نفسها (وليس سالبها) في المنطقة الضيقة التي تفشل فيها حدسية بوليا ؛ ويُظهر المنحنى الأزرق المساهمة التذبذبية للصفر الأول لريمان.
دالة ليوفيل التجميعية التوافقية T ( n ) حتى n  =  10 3

مشكلة بوليا هي سؤال طرحه جورج بوليا عام 1919. تعريف

ل(ن)=∑ك=1نλ(ك){\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}( التسلسل A002819 في OEIS )

تسأل المسألة عما إذا كان L ( n )  ≤  0 لجميع قيم n  >  1. والإجابة هي لا. أصغر مثال مضاد هو n  =  906150257، والذي اكتشفه مينورو تاناكا عام 1980. وقد ثبت منذ ذلك الحين أن L ( n )  >  0.0618672√n لعدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة الموجبة n ، [ 1 ] بينما يمكن أيضًا إثبات، باستخدام الطرق نفسها، أن L ( n ) <  −1.3892783√n  لعدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة الموجبة n . [ 2 ]

لأيε>0{\displaystyle \varepsilon >0}وبافتراض صحة فرضية ريمان، فإن الدالة التجميعيةل(x)≡ل0(x){\displaystyle L(x)\equiv L_{0}(x)}يحدها

ل(x)=يا(xخبرة⁡(ج⋅سجل1/2⁡(x)(سجل⁡سجل⁡x)5/2+ε))،{\displaystyle L(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left(C\cdot \log ^{1/2}(x)\left(\log \log x\right)^{5/2+\varepsilon }\right)\right),}

حيثج>0{\displaystyle C>0}هو ثابت حد مطلق. [ 2 ]

عرّف المجموع ذي الصلة

تي(ن)=∑ك=1نλ(ك)ك.{\displaystyle T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.}

ظلّ السؤال مطروحًا لبعض الوقت حول ما إذا كانت T ( n )  ≥ 0  لقيم n الكبيرة بما يكفي (يُنسب هذا التخمين أحيانًا -وإن كان خطأً- إلى بال توران ). ثمّ دحض هاسلجروف (1958) هذا التخمين ، مُبيّنًا أن T ( n ) تأخذ قيمًا سالبة عددًا لا نهائيًا من المرات. وكان من شأن تأكيد هذا التخمين الإيجابي أن يُؤدي إلى إثبات فرضية ريمان ، كما بيّن بال توران .

التعميمات

بشكل أعم، يمكننا النظر في الدوال التجميعية الموزونة على دالة ليوفيل المعرفة لأيα∈R{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }كما يلي بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة x حيث (كما سبق) لدينا الحالات الخاصةل(x):=ل0(x){\displaystyle L(x):=L_{0}(x)}وتي(x)=ل1(x){\displaystyle T(x)=L_{1}(x)}[ 2 ]

لα(x):=∑ن≤xλ(ن)نα.{\displaystyle L_{\alpha }(x):=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n^{\alpha }}}.}

هؤلاءα-1{\displaystyle \alpha ^{-1}}ترتبط الدوال التجميعية الموزونة بدالة ميرتنز ، أو الدوال التجميعية الموزونة لدالة موبيوس . في الواقع، لدينا ما يسمى بالدالة غير الموزونة، أو العادية.ل(x){\displaystyle L(x)}يتوافق تمامًا مع المجموع

ل(x)=∑د2≤xم(xد2)=∑د2≤x∑ن≤xد2μ(ن).{\displaystyle L(x)=\sum _{d^{2}\leq x}M\left({\frac {x}{d^{2}}}\right)=\sum _{d^{2}\leq x}\sum _{n\leq {\frac {x}{d^{2}}}}\mu (n).}

علاوة على ذلك، تحقق هذه الدوال علاقات تقارب مماثلة. [ 2 ] على سبيل المثال، عندما0≤α≤12{\displaystyle 0\leq \alpha \leq {\frac {1}{2}}}نلاحظ أن هناك ثابتًا مطلقًاجα>0{\displaystyle C_{\alpha }>0}بحيث

لα(x)=يا(x1-αخبرة⁡(-جα(سجل⁡x)3/5(سجل⁡سجل⁡x)1/5)).{\displaystyle L_{\alpha }(x)=O\left(x^{1-\alpha }\exp \left(-C_{\alpha }{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).}

بتطبيق صيغة بيرون ، أو بشكل مكافئ عن طريق تحويل ميلين (العكسي) ، نحصل على ما يلي:

ζ(2α+2s)ζ(α+s)=s⋅∫1∞لα(x)xs+1دx،{\displaystyle {\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {L_{\alpha }(x)}{x^{s+1}}}dx,}

والتي يمكن عكسها بعد ذلك عبر التحويل العكسي لإظهار أنه بالنسبة لـx>1{\displaystyle x>1}،تي≥1{\displaystyle T\geq 1}و0≤α<12{\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}

لα(x)=12πأنا∫σ0-أناتيσ0+أناتيζ(2α+2s)ζ(α+s)⋅xssدs+هـα(x)+Rα(x،تي)،{\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\sigma _{0}-\imath T}^{\sigma _{0}+\imath T}{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{s}}ds+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T),}

إلى أين يمكننا أن نأخذσ0:=1-α+1/سجل⁡(x){\displaystyle \sigma _{0}:=1-\alpha +1/\log(x)}وباستخدام حدود الباقي المحددة بحيثهـα(x)=يا(x-α){\displaystyle E_{\alpha }(x)=O(x^{-\alpha })}وRα(x،تي)→0{\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\rightarrow 0}مثلتي→∞{\displaystyle T\rightarrow \infty }.

على وجه الخصوص، إذا افترضنا أن فرضية ريمان (RH) صحيحة وأن جميع الأصفار غير التافهة، المشار إليها بـρ=12+أناγ{\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+\imath \gamma }إذا كانت دوال زيتا لريمان بسيطة ، فإنه لأي0≤α<12{\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}وx≥1{\displaystyle x\geq 1}توجد سلسلة لانهائية من{تيv}v≥1{\displaystyle \{T_{v}\}_{v\geq 1}}وهو ما يحقق ذلكv≤تيv≤v+1{\displaystyle v\leq T_{v}\leq v+1}لكل v بحيث

لα(x)=x1/2-α(1-2α)ζ(1/2)+∑|γ|<تيvζ(2ρ)ζ′(ρ)⋅xρ-α(ρ-α)+هـα(x)+Rα(x،تيv)+أناα(x)،{\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {x^{1/2-\alpha }}{(1-2\alpha )\zeta (1/2)}}+\sum _{|\gamma |<T_{v}}{\frac {\zeta (2\rho )}{\zeta ^{\prime }(\rho )}}\cdot {\frac {x^{\rho -\alpha }}{(\rho -\alpha )}}+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T_{v})+I_{\alpha }(x),}

حيث بالنسبة لأي شيء صغير بشكل متزايد0<ε<12-α{\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{2}}-\alpha }نحن نحدد

أناα(x):=12πأنا⋅xα∫ε+α-أنا∞ε+α+أنا∞ζ(2s)ζ(s)⋅xs(s-α)دs،{\displaystyle I_{\alpha }(x):={\frac {1}{2\pi \imath \cdot x^{\alpha }}}\int _{\varepsilon +\alpha -\imath \infty }^{\varepsilon +\alpha +\imath \infty }{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{(s-\alpha )}}ds,}

وحيث يكون مصطلح الباقي

Rα(x،تي)≪x-α+x1-αسجل⁡(x)تي+x1-αتي1-εسجل⁡(x)،{\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\ll x^{-\alpha }+{\frac {x^{1-\alpha }\log(x)}{T}}+{\frac {x^{1-\alpha }}{T^{1-\varepsilon }\log(x)}},}

والتي تؤول بالطبع إلى الصفر عندماتي→∞{\displaystyle T\rightarrow \infty }تتشابه هذه التوسعات التحليلية الدقيقة في الصيغ مع تلك المقابلة لحالات دالة ميرتنز الموزونة . بالإضافة إلى ذلك، بما أنζ(1/2)<0{\displaystyle \zeta (1/2)<0}لدينا تشابه آخر يتمثل في شكللα(x){\displaystyle L_{\alpha }(x)}لم(x){\displaystyle M(x)}بقدر ما يتنبأ الحد الرئيسي المهيمن في الصيغ السابقة بانحياز سلبي في قيم هذه الدوال على الأعداد الطبيعية الموجبة x .

مراجع

  1. ↑ بورواين، ب.؛ فيرغسون، ر.؛ موسينغهوف، م. ج. (2008). "تغيرات الإشارة في مجاميع دالة ليوفيل" . رياضيات الحساب . 77 (263): 1681-1694 . doi : 10.1090/S0025-5718-08-02036-X .
  2. ١ ٢ ٣ ٤ همفريز، بيتر (٢٠١٣). "توزيع المجاميع المرجحة لدالة ليوفيل وتخمين بوليا" . مجلة نظرية الأعداد . ١٣٣ (٢): ٥٤٥-٥٨٢ . arXiv : ١١٠٨.١٥٢٤ . doi : ١٠.١٠١٦/j.jnt.٢٠١٢.٠٨.٠١١ .