جذر عدد صحيح

في نظرية الأعداد ، يُعرَّف جذر العدد الصحيح الموجب n بأنه حاصل ضرب الأعداد الأولية المختلفة التي تقسم n . يظهر كل عامل أولي من عوامل n مرة واحدة فقط كعامل لهذا الناتج:

$${\displaystyle \displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p}$$

يلعب الجذر دورًا محوريًا في صياغة حدسية abc . ^{[ 1 ]}

الأعداد الجذرية للأعداد الصحيحة الموجبة القليلة الأولى هي

1، 2، 3، 2، 5، 6، 7، 2، 3، 10، 11، 6، 13، 14، 15، 2، 17، 6، 19، 10، 21، 22، 23، 6، 5، 26، 3، 14، 29، 30، 31، 2، 33، 34، 35، 6، 37، 38، 39، 10، 41، 42، 43، 22، 15، 46، 47، 6، 7، 10، ... (التسلسل A007947 في OEIS ) .

على سبيل المثال، $${\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}$$

وبالتالي $${\displaystyle \operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42}$$

الوظيفة${\displaystyle \mathrm {rad} }$هي ضربية (ولكنها ليست ضربية تمامًا ).

الجذر لأي عدد صحيح${\displaystyle n}$هو أكبر قاسم خالٍ من المربعات لـ${\displaystyle n}$وبالتالي يوصف أيضًا بأنه النواة الخالية من المربعات لـ${\displaystyle n}$^{[ 2 ]} لا توجد خوارزمية معروفة ذات زمن متعدد الحدود لحساب الجزء الخالي من المربعات لعدد صحيح. ^{[ 3 ]}

يتم تعميم التعريف ليشمل أكبر عدد ممكن من الأشخاص.${\displaystyle t}$-قاسم حر لـ${\displaystyle n}$،${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}}$وهي دوال ضربية تعمل على قوى الأعداد الأولية كما يلي:

$${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}}$$

القضايا${\displaystyle t=3}$و${\displaystyle t=4}$يتم إدراجها في الجدولين OEIS : A007948  و OEIS : A058035  .

يظهر مفهوم الجذر في حدسية abc ، التي تنص على أنه لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$، يوجد عدد محدود${\displaystyle K_{\varepsilon }}$بحيث يكون ذلك صحيحاً بالنسبة لجميع ثلاثيات الأعداد الصحيحة الموجبة الأولية فيما بينها${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$، و${\displaystyle c}$مُرضٍ${\displaystyle a+b=c}$, ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}$$

لأي عدد صحيح${\displaystyle n}$، العناصر العديمة القوة في الحلقة المنتهية${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$جميعها مضاعفات${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$.

متسلسلة ديريشليه هي

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {p^{1-s}}{1-p^{-s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {rad} (n)}{n^{s}}}}$

من المرجح أن جوزيف أوسترلي هو من قدم رمز الدالة ، في نفس الورقة البحثية التي نُشرت فيها حدسية abc . ^{[ 4 ]} ويرتبط الاسم بجذر المثالي ، كما هو الحال مع جذر${\displaystyle I=\langle p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}\rangle }$في الحلبة${\displaystyle \mathbb {Z} }$من الأعداد الصحيحة هو بالضبط${\displaystyle {\sqrt {I}}=\langle p_{1}\cdots p_{k}\rangle }$.