عدد طبيعي

في الرياضيات ، الأعداد الطبيعية هي الأرقام 0، 1، 2، 3، وما إلى ذلك، باستثناء 0 ربما. ^[1] يبدأ البعض العد بالرقم 0، ويحددون الأعداد الطبيعية على أنها الأعداد الصحيحة غير السالبة 0، 1، 2، 3، ... ، بينما يبدأ البعض الآخر بالرقم 1، ويحددونها على أنها الأعداد الصحيحة الموجبة 1، 2، 3، ... . ^[أ] يعترف بعض المؤلفين بكلا التعريفين كلما كان ذلك مناسبًا. ^[2] في بعض الأحيان، تكون الأعداد الصحيحة هي الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الصفر. في حالات أخرى، تشير الأعداد الصحيحة إلى جميع الأعداد الصحيحة ، بما في ذلك الأعداد الصحيحة السالبة. ^[3] تعد الأعداد العدية مصطلحًا آخر للأعداد الطبيعية، خاصة في التعليم الابتدائي، وهي غامضة أيضًا على الرغم من أنها تبدأ عادةً من 1. ^[4]

تُستخدم الأعداد الطبيعية لحساب الأشياء، مثل "يوجد ست عملات معدنية على الطاولة"، وفي هذه الحالة تُسمى الأعداد الأساسية . تُستخدم أيضًا لترتيب الأشياء، مثل "هذه هي ثالث أكبر مدينة في البلاد"، والتي تُسمى الأعداد الترتيبية . تُستخدم الأعداد الطبيعية أيضًا كعناوين، مثل أرقام القمصان في فريق رياضي، حيث تعمل كأرقام اسمية ولا تحتوي على خصائص رياضية. ^{[2] [5]}

تشكل الأعداد الطبيعية مجموعة ، يرمز لها عادةً بحرف N غامق أو خط أسود غامق . يتم إنشاء العديد من مجموعات الأعداد الأخرى من الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، يتم إنشاء الأعداد الصحيحة عن طريق إضافة 0 والأعداد السالبة. تضيف الأعداد النسبية كسورًا، وتضيف الأعداد الحقيقية أعدادًا عشرية لا نهائية. تضيف الأعداد المركبة الجذر التربيعي لـ -1 . تدمج هذه السلسلة من الامتدادات الأعداد الطبيعية بشكل قانوني في أنظمة الأعداد الأخرى. ^{[6] [7]}${\displaystyle \mathbb {N} }$

تُدرَس الأعداد الطبيعية في مجالات مختلفة من الرياضيات. تدرس نظرية الأعداد أشياء مثل كيفية تقسيم الأعداد بالتساوي ( قابلية القسمة )، أو كيفية توزيع الأعداد الأولية . تدرس التركيبات الحسابية عد وترتيب الكائنات المرقمة ، مثل الأقسام والأرقام .

الطريقة الأكثر بدائية لتمثيل عدد طبيعي هي استخدام الأصابع، كما في العد بالأصابع . وضع علامة إحصاء لكل كائن هو طريقة بدائية أخرى. لاحقًا، يمكن اختبار مجموعة من الكائنات للمساواة أو الزيادة أو النقص - عن طريق شطب علامة وإزالة كائن من المجموعة.

كان أول تقدم كبير في التجريد هو استخدام الأرقام لتمثيل الأرقام. سمح هذا بتطوير أنظمة لتسجيل الأرقام الكبيرة. طور المصريون القدماء نظامًا قويًا للأرقام مع هيروغليفية مميزة للأرقام 1 و10 وجميع قوى 10 حتى أكثر من مليون. يصور نقش حجري من الكرنك ، يعود تاريخه إلى حوالي 1500 قبل الميلاد وهو الآن في متحف اللوفر في باريس، الرقم 276 على أنه 2 مئات و7 عشرات و6 آحاد؛ وبالمثل للرقم 4622. كان لدى البابليين نظام قيمة مكانية يعتمد بشكل أساسي على الأرقام 1 و10، باستخدام القاعدة ستين، بحيث يكون رمز الستين هو نفسه رمز الواحد - حيث يتم تحديد قيمته من السياق. ^[11]

كان التقدم الذي حدث لاحقًا هو تطوير فكرة أنه  يمكن اعتبار 0 رقمًا له رقمه الخاص. يعود استخدام رقم 0 في تدوين القيمة المكانية (داخل أرقام أخرى) إلى وقت مبكر من عام 700 قبل الميلاد من قبل البابليين، الذين حذفوا مثل هذا الرقم عندما كان سيكون الرمز الأخير في الرقم. [ ^{ب] استخدمت} حضارتا الأولمك والمايا الرقم 0 كرقم منفصل في وقت مبكر من القرن الأول قبل الميلاد ، لكن هذا الاستخدام لم ينتشر خارج أمريكا الوسطى . ^{[13] [14]} نشأ استخدام الرقم 0 في العصر الحديث مع عالم الرياضيات الهندي براهماجوبتا في عام 628 م. ومع ذلك، فقد تم استخدام الرقم 0 كرقم في حساب العصور الوسطى (حساب تاريخ عيد الفصح)، بدءًا من ديونيسيوس إكسيجوس في عام 525 م، دون الإشارة إليه برقم. لا تحتوي الأرقام الرومانية القياسية على رمز لـ 0؛ بدلاً من ذلك، تم استخدام nulla (أو الشكل المضاف إليه nullae ) من nullus ، الكلمة اللاتينية التي تعني "لا شيء"، للإشارة إلى القيمة 0. ^[15]

تُنسب أول دراسة منهجية للأعداد باعتبارها تجريدات عادةً إلى الفلاسفة اليونانيين فيثاغورس وأرخميدس . تعامل بعض علماء الرياضيات اليونانيين مع الرقم 1 بشكل مختلف عن الأعداد الأكبر، وأحيانًا لم يتعاملوا معه كرقم على الإطلاق. [ ^{ج] على سبيل المثال، عرّف} إقليدس الوحدة أولاً ثم الرقم على أنه عدد من الوحدات، وبالتالي وفقًا لتعريفه، فإن الوحدة ليست عددًا ولا توجد أرقام فريدة (على سبيل المثال، أي وحدتين من عدد غير محدود من الوحدات هي 2). ^[17] ومع ذلك، في تعريف العدد المثالي الذي يأتي بعد ذلك بفترة وجيزة، يعامل إقليدس الرقم 1 كرقم مثل أي رقم آخر. ^[18]

كما أجريت دراسات مستقلة حول الأرقام في نفس الوقت تقريبًا في الهند والصين وأمريكا الوسطى . ^[19]

استخدم نيكولاس تشوكيت مصطلح التقدم الطبيعي في عام 1484. ^[20] أقدم استخدام معروف لـ "العدد الطبيعي" كعبارة إنجليزية كاملة كان في عام 1763. ^{[21] [22]} تُعرّف الموسوعة البريطانية لعام 1771 الأعداد الطبيعية في مقالة اللوغاريتم. ^[22]

لقد كان البدء من 0 أو 1 مسألة تعريف لفترة طويلة. في عام 1727، كتب برنارد لوبوفييه دي فونتينيل أن مفاهيمه عن المسافة والعنصر أدت إلى تعريف الأعداد الطبيعية على أنها تتضمن أو تستبعد 0. ^[23] في عام 1889، استخدم جوزيبي بيانو N للأعداد الصحيحة الموجبة وبدأ من 1، ^[24] لكنه غير لاحقًا إلى استخدام N ₀ و N _1. ^[25] تاريخيًا، استبعدت معظم التعريفات 0، ^{[22] [26] [27]} لكن العديد من علماء الرياضيات مثل جورج أ. وينتوورث وبرتراند راسل ونيكولاس بورباكي وبول هالموس وستيفن كول كلين وجون هورتون كونواي فضلوا تضمين 0. ^{[28] [22]}

لاحظ علماء الرياضيات اتجاهات يتم فيها استخدام التعريف، مثل نصوص الجبر التي تتضمن 0، ^{[22] [د]} نصوص نظرية الأعداد والتحليل التي تستبعد 0، ^{[22] [29] [30]} نصوص المنطق ونظرية المجموعات التي تتضمن 0، ^{[31] [32] [33]} القواميس التي تستبعد 0، ^{[22] [34]} الكتب المدرسية (حتى مستوى المدرسة الثانوية) باستثناء 0، وكتب مستوى الكلية العليا التي تتضمن 0. ^[1] هناك استثناءات لكل من هذه الاتجاهات وحتى عام 2023 لم يتم إجراء مسح رسمي. تشمل الحجج التي أثيرت القسمة على الصفر ^[29] وحجم المجموعة الفارغة . غالبًا ما تبدأ لغات الكمبيوتر من الصفر عند تعداد العناصر مثل عدادات الحلقة وعناصر السلسلة أو المصفوفة . ^{[35] [36]} بدأ تضمين 0 في الارتفاع في الشعبية في الستينيات. ^[22] تضمنت معايير ISO 31-11 الرقم 0 في الأعداد الطبيعية في إصدارها الأول عام 1978 واستمرت على هذا النحو حتى إصدارها الحالي كـ ISO 80000-2 . ^[37]

في أوروبا في القرن التاسع عشر، كان هناك نقاش رياضي وفلسفي حول الطبيعة الدقيقة للأعداد الطبيعية. صرح هنري بوانكاريه بأن المسلمات لا يمكن إثباتها إلا في تطبيقها المحدود، وخلص إلى أن "قوة العقل" هي التي تسمح بتصور التكرار غير المحدود لنفس الفعل. ^{[38] لخص} ليوبولد كرونيكر اعتقاده على النحو التالي: "لقد خلق الله الأعداد الصحيحة، وكل شيء آخر هو عمل الإنسان". ^[هـ]

رأى البنائيون الحاجة إلى تحسين الدقة المنطقية في أسس الرياضيات . ^[f] في ستينيات القرن التاسع عشر، اقترح هيرمان جراسمان تعريفًا متكررًا للأعداد الطبيعية، وبالتالي صرح بأنها ليست طبيعية حقًا - ولكنها نتيجة للتعريفات. لاحقًا، ظهرت فئتان من هذه التعريفات الرسمية، باستخدام نظرية المجموعات ومسلمات بيانو على التوالي. في وقت لاحق، ثبت أنهما متكافئان في معظم التطبيقات العملية.

كانت التعريفات النظرية للمجموعات للأعداد الطبيعية من قِبَل فريجه . وقد عرَّف في البداية العدد الطبيعي على أنه فئة جميع المجموعات التي تتوافق مع مجموعة معينة. ومع ذلك، فقد أدى هذا التعريف إلى مفارقات، بما في ذلك مفارقة راسل . ولتجنب مثل هذه المفارقات، تم تعديل الصيغة بحيث يتم تعريف العدد الطبيعي على أنه مجموعة معينة، ويُقال إن أي مجموعة يمكن وضعها في توافق واحد لواحد مع تلك المجموعة تحتوي على هذا العدد من العناصر. ^[41]

في عام 1881، قدم تشارلز ساندرز بيرس أول بديهية لحساب الأعداد الطبيعية. ^{[42] [43]} في عام 1888، اقترح ريتشارد ديديكيند بديهية أخرى لحساب الأعداد الطبيعية، ^[44] وفي عام 1889، نشر بيانو نسخة مبسطة من بديهيات ديديكيند في كتابه مبادئ الحساب المقدمة بطريقة جديدة ( باللاتينية : Arithmetices principia، nova methodo exposita ). يُطلق على هذا النهج الآن حساب بيانو . وهو يعتمد على بديهية لخصائص الأعداد الترتيبية : كل عدد طبيعي له خليفة وكل عدد طبيعي غير صفري له سلف فريد. حساب بيانو متساوي الاتساق مع العديد من الأنظمة الضعيفة لنظرية المجموعات . أحد هذه الأنظمة هو ZFC مع استبدال بديهية اللانهاية بنفيها. ^[45] تشمل النظريات التي يمكن إثباتها في ZFC ولكن لا يمكن إثباتها باستخدام بديهيات Peano نظرية Goodstein . ^[46]

مجموعة جميع الأعداد الطبيعية يشار إليها بشكل قياسي بـ N أو ^{[2] [47]} وقد استخدمت النصوص القديمة أحيانًا J كرمز لهذه المجموعة. ^[48 ]${\displaystyle \mathbb {N} .}$

نظرًا لأن الأعداد الطبيعية قد تحتوي على 0 أو لا تحتوي، فقد يكون من المهم معرفة الإصدار المشار إليه. غالبًا ما يتم تحديد ذلك من خلال السياق، ولكن يمكن أيضًا القيام بذلك باستخدام حرف سفلي أو علوي في التدوين، مثل: ^{[37] [49]}

• طبيعيات بدون صفر:${\displaystyle \{1,2,...\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}=\mathbb {N} _{1}}$
• المواد الطبيعية مع صفر:${\displaystyle \;\{0,1,2,...\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}}$

بدلاً من ذلك، نظرًا لأن الأعداد الطبيعية تشكل بشكل طبيعي مجموعة فرعية من الأعداد الصحيحة (غالبًا ما يشار إليها بـ )،${\displaystyle \mathbb {Z} }$ فقد يُشار إليها بالأعداد الصحيحة الموجبة أو غير السالبة على التوالي. ^[50] لكي نكون واضحين بشأن ما إذا كان 0 متضمنًا أم لا، في بعض الأحيان تتم إضافة علامة علوية " " أو "+" في الحالة الأولى، ويتم إضافة علامة سفلية (أو علوية) "0" في الحالة الثانية: ^[37]${\displaystyle *}$

${\displaystyle \{1,2,3,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x>0\}=\mathbb {Z} ^{+}=\mathbb {Z} _{>0}}$

${\displaystyle \{0,1,2,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x\geq 0\}=\mathbb {Z} _{0}^{+}=\mathbb {Z} _{\geq 0}}$

يستخدم هذا القسم الاتفاقية . ${\displaystyle \mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}}$

بالنظر إلى مجموعة الأعداد الطبيعية ودالة الخلف التي ترسل كل عدد طبيعي إلى العدد التالي، يمكن للمرء تعريف جمع الأعداد الطبيعية بشكل متكرر عن طريق تعيين a + 0 = a و a + S ( b ) = S ( a + b ) لجميع a و b . وبالتالي، فإن a + 1 = a + S(0) = S( a +0) = S( a ) ، و a + 2 = a + S(1) = S( a +1) = S( S( a )) ، وهكذا. البنية الجبرية هي أحادية تبادلية مع عنصر محايد  0. وهي أحادية حرة على مولد واحد. تلبي هذه الأحادية التبادلية خاصية الإلغاء ، لذا يمكن تضمينها في مجموعة . أصغر مجموعة تحتوي على الأعداد الطبيعية هي الأعداد الصحيحة . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$

إذا تم تعريف 1 على أنه S (0) ، فإن b + 1 = b + S (0) = S ( b + 0) = S ( b ) . أي أن b + 1 هو ببساطة خليفة b .

على نحو مماثل، نظرًا لأن الجمع قد تم تعريفه، يمكن تعريف عامل الضرب عبر a × 0 = 0 و a × S( b ) = ( a × b ) + a . يتحول هذا إلى أحادي تبادلي حر مع عنصر الهوية 1؛ مجموعة المولد لهذا الأحادي هي مجموعة الأعداد الأولية . ${\displaystyle \times }$${\displaystyle (\mathbb {N} ^{*},\times )}$

الجمع والضرب متوافقان، وهو ما يُعبر عنه في قانون التوزيع : أ × ( ب + ج ) = ( أ × ب ) + ( أ × ج ) . تجعل خصائص الجمع والضرب هذه الأعداد الطبيعية مثالًا على شبه حلقة تبديلية . شبه الحلقات هي تعميم جبري للأعداد الطبيعية حيث لا يكون الضرب بالضرورة تبديليًا. إن عدم وجود معكوسات جمع، وهو ما يعادل حقيقة عدم إغلاقه تحت الطرح (أي أن طرح عدد طبيعي من آخر لا يؤدي دائمًا إلى ظهور عدد طبيعي آخر)، يعني أن ليس حلقة ؛ بدلاً من ذلك فهو شبه حلقة (يُعرف أيضًا باسم rig ). ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

إذا تم اعتبار الأعداد الطبيعية "باستثناء 0"، و"بدءًا من 1"، فإن تعريفات + و× تكون كما هو موضح أعلاه، باستثناء أنها تبدأ بـ a + 1 = S ( a ) و a × 1 = a . علاوة على ذلك، لا يوجد عنصر تطابق. ${\displaystyle (\mathbb {N^{*}} ,+)}$

في هذا القسم، تشير المتغيرات المتجاورة مثل ab إلى حاصل ضرب a × b ، ^[51] ويُفترض الترتيب القياسي للعمليات .

يتم تعريف الترتيب الكلي للأعداد الطبيعية بجعل a ≤ b إذا وفقط إذا كان هناك عدد طبيعي آخر c حيث a + c = b . هذا الترتيب متوافق مع العمليات الحسابية بالمعنى التالي: إذا كانت a و b و c أعدادًا طبيعية و a ≤ b ، فإن a + c ≤ b + c و ac ≤ bc .

من أهم خصائص الأعداد الطبيعية أنها منظمة بشكل جيد : كل مجموعة غير فارغة من الأعداد الطبيعية لها عنصر أصغر. يتم التعبير عن المرتبة بين المجموعات المنظمة بشكل جيد من خلال رقم ترتيبي ؛ بالنسبة للأعداد الطبيعية، يتم الإشارة إلى هذا الرقم بـ ω (أوميغا).

في هذا القسم، تشير المتغيرات المتجاورة مثل ab إلى حاصل ضرب a × b ، ويفترض الترتيب القياسي للعمليات .

في حين أنه من غير الممكن بشكل عام قسمة عدد طبيعي على آخر والحصول على عدد طبيعي كنتيجة، فإن إجراء القسمة مع الباقي أو القسمة الإقليدية متاح كبديل: لأي عددين طبيعيين a و b مع b ≠ 0 يوجد عددين طبيعيين q و r بحيث

${\displaystyle a=bq+r{\text{ و }}r<b.}$

يُطلق على الرقم q اسم الحاصل ويُطلق على الرقم r اسم الباقي من قسمة a على  b . يتم تحديد الرقمين q و r بشكل فريد بواسطة a و  b . يُعد هذا القسمة الإقليدية مفتاحًا للعديد من الخصائص الأخرى ( قابلية القسمة )، والخوارزميات (مثل الخوارزمية الإقليدية )، والأفكار في نظرية الأعداد.

إن عمليتي الجمع (+) والضرب (×) على الأعداد الطبيعية كما هو موضح أعلاه لهما عدة خصائص جبرية:

• الإغلاق تحت الجمع والضرب: لجميع الأعداد الطبيعية a و b ، فإن كلًا من a + b و a × b أعداد طبيعية. ^[52]
• الترابطية : لجميع الأعداد الطبيعية أ ، ب ، ج ، أ + ( ب + ج ) = ( أ + ب ) + ج وأ × ( ب × ج ) = ( أ × ب ) × ج . ^[53]
• التبادلية : لجميع الأعداد الطبيعية a و b ، a + b = b + a و a × b = b × a . ^[54]
• وجود عناصر متطابقة : لكل عدد طبيعي أ ، أ + 0 = أ ، أ × 1 = أ .
  • إذا تم اعتبار الأعداد الطبيعية "باستثناء 0"، و"بدءًا من 1"، فعندئذٍ لكل عدد طبيعي a ، a × 1 = a . ومع ذلك، فإن خاصية "وجود عنصر هوية مضافة" غير مُرضية
• توزيع الضرب على الجمع لجميع الأعداد الطبيعية أ ، ب ، ج ، أ × ( ب + ج ) = ( أ × ب ) + ( أ × ج ) .
• لا يوجد قواسم صفرية غير صفرية : إذا كان a و b عددين طبيعيين بحيث a × b = 0 ، فإن a = 0 أو b = 0 (أو كلاهما).

تنشأ تعميمان مهمان للأعداد الطبيعية من استخدامي العد والترتيب: الأعداد الأساسية والأعداد الترتيبية .

• يمكن استخدام عدد طبيعي للتعبير عن حجم مجموعة منتهية؛ وبشكل أكثر دقة، فإن العدد الأساسي هو مقياس لحجم المجموعة، وهو مناسب حتى للمجموعات اللانهائية. يبدأ ترقيم الأعداد الأساسية عادةً من الصفر، لاستيعاب المجموعة الفارغة . يعتمد مفهوم "الحجم" هذا على الخرائط بين المجموعات، بحيث يكون لمجموعتين نفس الحجم ، تمامًا إذا كان هناك تطابق بينهما. يُقال إن مجموعة الأعداد الطبيعية نفسها، وأي صورة تطابقية لها، غير محدودة العد ولها عدد أساسي أليف-لا شيء ( ℵ ₀ ).${\displaystyle \emptyset }$
• تُستخدم الأعداد الطبيعية أيضًا كأعداد ترتيبية لغوية : "الأول"، "الثاني"، "الثالث"، وهكذا. يبدأ ترقيم الأعداد الترتيبية عادةً من الصفر، لاستيعاب نوع الترتيب للمجموعة الفارغة . بهذه الطريقة، يمكن تخصيصها لعناصر مجموعة منتهية مرتبة تمامًا، وأيضًا لعناصر أي مجموعة لا نهائية قابلة للعد ومنظمة جيدًا بدون نقاط حد . يمكن تعميم هذا التخصيص على ترتيبات جيدة عامة ذات عدد يتجاوز القدرة على العد، لإنتاج الأعداد الترتيبية. يمكن أيضًا استخدام العدد الترتيبي لوصف مفهوم "الحجم" لمجموعة مرتبة جيدًا، بمعنى مختلف عن العددية: إذا كان هناك تماثل ترتيبي (أكثر من التطابق) بين مجموعتين منظمتين جيدًا، فسيكون لهما نفس العدد الترتيبي. يتم التعبير عن أول عدد ترتيبي ليس عددًا طبيعيًا على أنه ω ؛ هذا هو أيضًا العدد الترتيبي لمجموعة الأعداد الطبيعية نفسها.${\displaystyle \emptyset }$

أصغر ترتيب للعدد الأساسي ℵ ₀ (أي الترتيب الأولي لـ ℵ ₀ ) هو ω ولكن العديد من المجموعات المرتبة جيدًا ذات العدد الأساسي ℵ ₀ لها عدد ترتيبي أكبر من ω .

بالنسبة للمجموعات المحدودة المرتبة جيدًا، هناك تطابق واحد لواحد بين الأعداد الترتيبية والكاردينالية؛ وبالتالي يمكن التعبير عنهما بنفس العدد الطبيعي، وهو عدد عناصر المجموعة. يمكن أيضًا استخدام هذا العدد لوصف موضع عنصر في تسلسل محدود أو لانهائي أكبر .

تم تطوير نموذج غير قياسي قابل للعد للحساب يلبي حسابيات بيانو (أي بديهيات بيانو من الدرجة الأولى) بواسطة سكوليم في عام 1933. الأعداد الفائقة هي نموذج غير قابل للعد يمكن بناؤه من الأعداد الطبيعية العادية عبر بناء القوة الفائقة . تتم مناقشة التعميمات الأخرى في الأعداد § امتدادات المفهوم .

كان جورج ريب يزعم بشكل استفزازي أن "الأعداد الصحيحة الساذجة لا تمتلئ ". ^[55]${\displaystyle \mathbb {N} }$

هناك طريقتان قياسيتان لتحديد الأعداد الطبيعية رسميًا. الطريقة الأولى، والتي سميت باسم جوزيبي بيانو ، تتكون من نظرية بديهية مستقلة تسمى حسابيات بيانو ، تستند إلى عدد قليل من البديهيات تسمى بديهيات بيانو .

التعريف الثاني يعتمد على نظرية المجموعات . وهو يحدد الأعداد الطبيعية كمجموعات محددة . وبصورة أدق، يتم تعريف كل عدد طبيعي n كمجموعة محددة صراحة، تسمح عناصرها بحساب عناصر المجموعات الأخرى، بمعنى أن الجملة "المجموعة S بها n عنصر " تعني وجود تطابق واحد لواحد بين المجموعتين n و S.

إن المجموعات المستخدمة لتعريف الأعداد الطبيعية تلبي بديهيات بيانو. ويترتب على ذلك أن كل نظرية يمكن صياغتها وإثباتها في حسابيات بيانو يمكن أيضًا إثباتها في نظرية المجموعات. ومع ذلك، فإن التعريفين ليسا متكافئين، حيث توجد نظريات يمكن صياغتها من حيث حسابيات بيانو وإثباتها في نظرية المجموعات، والتي لا يمكن إثباتها داخل حسابيات بيانو. ومن الأمثلة المحتملة على ذلك نظرية فيرما الأخيرة .

إن تعريف الأعداد الصحيحة كمجموعات تلبي بديهيات بيانو يوفر نموذجًا لحسابات بيانو داخل نظرية المجموعات. ومن النتائج المهمة أنه إذا كانت نظرية المجموعات متسقة (كما يُخمَّن عادةً)، فإن حسابيات بيانو متسقة. بعبارة أخرى، إذا كان من الممكن إثبات تناقض في حسابيات بيانو، فإن نظرية المجموعات ستكون متناقضة، وستكون كل نظرية في نظرية المجموعات صحيحة وخاطئة في نفس الوقت.

البديهيات الخمس لبيانو هي التالية: ^{[56] [g]}

1. 0 هو عدد طبيعي.
2. كل عدد طبيعي له خليفة وهو أيضًا عدد طبيعي.
3. 0 ليس خليفة لأي عدد طبيعي.
4. إذا كان خليفة يساوي خليفة ، فإن ذلك يساوي .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
5. بديهية الاستقراء : إذا كانت العبارة صحيحة بالنسبة للعدد 0، وإذا كانت صحة تلك العبارة بالنسبة لرقم ما تعني صحتها بالنسبة لخليفة ذلك الرقم، فإن العبارة تكون صحيحة بالنسبة لكل عدد طبيعي.

هذه ليست البديهيات الأصلية التي نشرها بيانو، ولكنها سميت على شرفه. بعض أشكال بديهيات بيانو تحتوي على 1 بدلاً من 0. في الحساب العادي، يكون خليفة هو . ${\displaystyle x}$${\displaystyle x+1}$

بديهيًا، العدد الطبيعي n هو الخاصية المشتركة لجميع المجموعات التي تحتوي على n عنصرًا. لذا، يبدو من الطبيعي تعريف n كفئة تكافؤ بموجب العلاقة "يمكن إجراؤها في تطابق واحد لواحد ". لا يعمل هذا في جميع نظريات المجموعات ، حيث لن تكون فئة التكافؤ هذه مجموعة ^[h] (بسبب مفارقة راسل ). الحل القياسي هو تعريف مجموعة معينة بها n عنصرًا والتي ستُسمى العدد الطبيعي n .

تم نشر التعريف التالي لأول مرة بواسطة جون فون نيومان ، ^[57] على الرغم من أن ليفي يعزو الفكرة إلى عمل غير منشور لزيرميلو في عام 1916. ^[58] نظرًا لأن هذا التعريف يمتد إلى المجموعة اللانهائية كتعريف للعدد الترتيبي ، فإن المجموعات المدروسة أدناه تسمى أحيانًا ترتيبات فون نيومان .

ويتم التعريف على النحو التالي:

• اتصل بـ 0 = { } ، المجموعة الفارغة .
• حدد الخليفة S ( a ) لأي مجموعة a بواسطة S ( a ) = a ∪ { a } .
• وفقًا لمبدأ اللانهاية ، توجد مجموعات تحتوي على 0 ومغلقة تحت دالة الخلف. يُقال عن هذه المجموعات أنها استقرائية . لا يزال تقاطع جميع المجموعات الاستقرائية عبارة عن مجموعة استقرائية.
• هذا التقاطع هو مجموعة الأعداد الطبيعية .

ومن ثم فإن الأعداد الطبيعية يتم تعريفها تكراريًا على النحو التالي:

• 0 = { } ،
• 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }} ،
• 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}} ,
• 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} ,
• ن = ن −1 ∪ { ن −1} = {0، 1، ...، ن −1} = {{ }، {{ }}، ...، {{ }، {{ }}، ...}} ،
• إلخ.

يمكن التحقق من أن الأعداد الطبيعية تلبي مسلمات بيانو .

باستخدام هذا التعريف، نظرًا لوجود عدد طبيعي n ، يمكن تعريف الجملة " تحتوي المجموعة S على n عنصر" رسميًا على أنها "يوجد تطابق من n إلى S. وهذا يضفي طابعًا رسميًا على عملية حساب عناصر S. أيضًا، n ≤ m إذا وفقط إذا كانت n مجموعة جزئية من m . بعبارة أخرى، يحدد تضمين المجموعة الترتيب الإجمالي المعتاد للأعداد الطبيعية. هذا الترتيب هو ترتيب جيد .

ويترتب على التعريف أن كل عدد طبيعي يساوي مجموعة كل الأعداد الطبيعية الأصغر منه. ويمكن توسيع هذا التعريف ليشمل تعريف فون نيومان للأعداد الترتيبية لتحديد كل الأعداد الترتيبية ، بما في ذلك الأعداد اللانهائية: "كل عدد ترتيبي هو المجموعة المرتبة جيدًا لكل الأعداد الترتيبية الأصغر".

إذا لم نقبل بديهية اللانهاية ، فقد لا تشكل الأعداد الطبيعية مجموعة. ومع ذلك، لا يزال من الممكن تعريف الأعداد الطبيعية بشكل فردي كما هو مذكور أعلاه، ولا تزال تلبي بديهيات بيانو.

هناك هياكل نظرية أخرى. على وجه الخصوص، قدم إرنست زيرميلو هيكلاً لا يحظى اليوم إلا بأهمية تاريخية، ويُشار إليه أحيانًا باسمترتيبات زيرميلو .^[58]تتكون من تعريف0كمجموعة فارغة، و S ( a ) = { a }.

وفقًا لهذا التعريف، فإن كل عدد طبيعي غير صفري هو مجموعة مفردة . لذا، فإن خاصية الأعداد الطبيعية لتمثيل العناصر الأساسية ليست قابلة للوصول إليها بشكل مباشر؛ فقط الخاصية الترتيبية (كونها العنصر رقم n في المتتالية) هي الفورية. وعلى عكس بناء فون نيومان، فإن ترتيبات زيرميلو لا تمتد إلى ترتيبات لا نهائية.

• التمثيل القياسي لعدد صحيح موجب  – تمثيل عدد على أنه حاصل ضرب الأعداد الأولية
• المجموعة القابلة للعد  – مجموعة رياضية يمكن عدها
• التسلسل  - دالة الأعداد الطبيعية في مجموعة أخرى
• العدد الترتيبي  – تعميم "n-th" إلى الحالات اللانهائية
• العدد الأساسي  – حجم مجموعة لا نهائية محتملة
• تعريف الأعداد الطبيعية في نظرية المجموعات  – بديهيات نظرية المجموعات

أنظمة الأعداد معقد ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$ حقيقي ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$ عاقِل ${\displaystyle :\;\mathbb {س} }$ عدد صحيح ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$ طبيعي${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$ صفر : 0 واحد : 1 الأعداد الأولية الأرقام المركبة الأعداد الصحيحة السالبة جزء عدد عشري منته ثنائي (منتهٍ) تكرار العشرية غير عقلاني جبري غير نسبي فترة غير منطقية متسامي خيالي

• "الأعداد الطبيعية"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• "المسلمات وبناء الأعداد الطبيعية". apronus.com .