رقم الليشريل

عدد ليكريل هو عدد طبيعي لا يمكن تكوينه كعدد متناظر من خلال عملية تكرارية تتمثل في عكس أرقامه وجمع الأرقام الناتجة. تُعرف هذه العملية أحيانًا باسم خوارزمية 196 ، نسبةً إلى الرقم الأكثر شهرة المرتبط بها. في النظام العشري ، لم يُثبت وجود أي عدد ليكريل حتى الآن ، ولكن يُشتبه في وجود العديد منها، بما في ذلك 196، استنادًا إلى أسس استدلالية ^{[ 1 ]} وإحصائية . وقد صاغ ويد فان لاندينغهام اسم "ليكريل" كجناس تقريبي لاسم "شيريل"، وهو اسم صديقته. ^{[ 2 ]}

تُنتج عملية الجمع العكسي مجموع عدد والعدد الناتج عن عكس ترتيب أرقامه. على سبيل المثال، 56 + 65 = 121. ومثال آخر، 125 + 521 = 646.

بعض الأرقام تصبح متناظرة بسرعة بعد عكسها وجمعها بشكل متكرر، ولذلك فهي ليست أرقامًا من نوع ليكريل. جميع الأرقام المكونة من رقم واحد ورقمين تصبح في النهاية متناظرة بعد عكسها وجمعها بشكل متكرر.

حوالي 80% من جميع الأعداد الأقل من 10000 تتحول إلى عدد متناظر في أربع خطوات أو أقل؛ وحوالي 90% منها تتحول في سبع خطوات أو أقل. إليك بعض الأمثلة على الأعداد غير الليشرية:

• يصبح العدد 56 متناظرًا بعد تكرار واحد: 56 + 65 = 121 .
• يصبح العدد 57 متناظرًا بعد تكرارين: 57+75 = 132، 132+231 = 363 .
• يصبح العدد 59 عددًا متناظرًا بعد ثلاث دورات: 59 + 95 = 154، 154 + 451 = 605، 605 + 506 = 1111
• يتطلب الرقم 89 عددًا كبيرًا بشكل غير عادي يبلغ 24 تكرارًا (وهو أكبر عدد لأي رقم أقل من 10000 معروف أنه يتحول إلى عدد متناظر) للوصول إلى العدد المتناظر 8813200023188 .
• يصل العدد 10911 إلى العدد المتناظر 4668731596684224866951378664 (28 رقمًا) بعد 55 خطوة .
• يتطلب العدد 1,186,060,307,891,929,990 261 تكرارًا للوصول إلى العدد المتناظر المكون من 119 رقمًا 44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544 ، والذي كان سابقًا رقمًا قياسيًا عالميًا لأطول عدد متناظر متأخر . وقد تم حله بواسطة خوارزمية وبرنامج جيسون دوسيت (باستخدام رمز الجمع العكسي لبنيامين ديبريس ) في 30 نوفمبر 2005.
• في 23 يناير/كانون الثاني 2017، أعلن طالب روسي يُدعى أندريه س. شيبيتوف على موقعه الإلكتروني أنه عثر على سلسلة من أول 126 رقمًا (125 منها لم يُنشر عنها من قبل) تتطلب 261 خطوة بالضبط للوصول إلى عدد متناظر مكون من 119 رقمًا. نُشرت هذه السلسلة في قاعدة بيانات OEIS تحت الرمز A281506 . بدأت هذه السلسلة بالرقم 1,186,060,307,891,929,990، وهو الرقم الوحيد المعروف علنًا آنذاك والذي عثر عليه جيسون دوسيت عام 2005. في 12 مايو/أيار 2017، وُسّعت هذه السلسلة لتضم 108864 حدًا، وشملت أول 108864 عددًا متناظرًا متأخرًا بتأخير 261 خطوة. انتهت السلسلة الممتدة بالرقم 1,999,291,987,030,606,810، وهو أكبر حد فيها وحدها الأخير.
• في 26 أبريل 2019، قام روب فان نوبلين بحساب رقم قياسي عالمي جديد لأكثر عدد متناظر متأخر: 12,000,700,000,025,339,936,491 يتطلب 288 تكرارًا للوصول إلى عدد متناظر مكون من 142 رقمًا 6634343445544188178365154497662249922269477578658488045222897505659677887769565057982225408848568757749622299422667944515638718814455443434366 .
• في 5 يناير 2021، قام أنطون ستيفانوف بحساب رقمين جديدين من أكثر الأرقام المتناظرة تأخراً: 13968441660506503386020 و 13568441660506503386420، ويستغرقان 289 تكرارًا للوصول إلى نفس الرقم المتناظر المكون من 142 رقمًا مثل رقم روب فان نوبلين.
• في 14 ديسمبر 2021، حقق ديمتري ماسلوف رقماً قياسياً عالمياً جديداً لأكثر عدد متناظر تأخيراً: 1,000,206,827,388,999,999,095,750 ، والذي يتطلب 293 تكراراً للوصول إلى عدد متناظر مكون من 132 رقماً : 880226615529888473330265269768646444333433887733883465996765424854458424567699564388337788334333444646867962562033374888925516622088
• يحتوي تسلسل OEIS A326414 على 19353600 مصطلح مع تأخير 288 خطوة معروف في الوقت الحاضر.
• يمكن استخدام أي رقم من A281506 كأساس أولي لإنشاء متواليات متناظرة من 261 خطوة. على سبيل المثال، بناءً على 1,999,291,987,030,606,810، يصبح الرقم التالي 1999291987030606810 متوالية متناظرة مكونة من 238 رقمًا. 44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544 44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544 بعد 261 خطوات.

أصغر عدد غير معروف أنه يشكل عددًا متناظرًا هو 196. ولذلك فهو أصغر عدد مرشح لـ Lychrel.

العدد الناتج عن عكس أرقام عدد ليخريل الذي لا ينتهي بصفر هو أيضًا عدد ليخريل.

في أنظمة أخرى (هذه الأنظمة هي قوى العدد 2 ، مثل النظام الثنائي والنظام الست عشري )، يمكن إثبات أن بعض الأرقام لا تشكل أبدًا عددًا متناظرًا بعد عكسها وجمعها بشكل متكرر، ^{[ 3 ]} ولكن لم يتم العثور على مثل هذا الدليل للعدد 196 وأعداد أخرى في النظام العشري.

يُعتقد أن العدد 196 والأعداد الأخرى التي لم تُنتج بعدُ عددًا متناظرًا هي أعداد ليشرل، ولكن لم يُثبت حتى الآن أن أي عدد في النظام العشري هو عدد ليشرل. تُسمى الأعداد التي لم يُثبت بشكل قاطع أنها ليست أعداد ليشرل، بشكل غير رسمي، أعداد "ليشرل المرشحة". أما الأعداد القليلة الأولى المرشحة (التسلسل A023108 في OEIS ) فهي:

196 ، 295، 394، 493، 592، 689، 691، 788، 790، 879 ، 887، 978، 986، 1495، 1497، 1585، 1587، 1675، 1677، 1765، 1767، 1855، 1857، 1945، 1947، 1997 .

الأرقام المكتوبة بخط عريض هي أرقام بذور الليشرل المشتبه بها (انظر أدناه). وقد عثرت برامج حاسوبية من تطوير جيسون دوسيت، وإيان بيترز، وبنيامين ديبريس على مرشحين آخرين لليشريل. في الواقع، حدد برنامج بنيامين ديبريس جميع أرقام بذور الليشرل المشتبه بها التي يقل عدد أرقامها عن 17 رقمًا. ^{[ 4 ]} يسرد موقع ويد فان لاندينغهام العدد الإجمالي لأرقام بذور الليشرل المشتبه بها التي تم العثور عليها لكل طول رقمي. ^{[ 5 ]}

تم تطوير طريقة البحث الشامل التي استخدمها جون ووكر في الأصل للاستفادة من سلوكيات التكرار. على سبيل المثال، ابتكر فوغان سويت برنامجًا يحفظ فقط الأرقام القليلة الأولى والأخيرة من كل تكرار، مما يتيح اختبار أنماط الأرقام في ملايين التكرارات دون الحاجة إلى حفظ كل تكرار كامل في ملف. ^{[ 6 ]} ومع ذلك، لم يتم تطوير أي خوارزمية حتى الآن لتجاوز عملية التكرار العكسي والجمعي.

يشير مصطلح "الخيط" ، الذي صاغه جيسون دوسيت، إلى سلسلة الأرقام التي قد تؤدي أو لا تؤدي إلى كلمة متناظرة (palindrome) من خلال عملية عكس الأرقام وجمعها. أي بذرة معينة وأرقام القرابة المرتبطة بها ستتقارب على نفس الخيط. لا يشمل الخيط البذرة الأصلية أو رقم القرابة ، بل يشمل فقط الأرقام المشتركة بينهما بعد تقاربهما.

الأرقام الأولية هي مجموعة فرعية من أرقام ليشرل، أي أصغر رقم في كل سلسلة غير متناظرة. قد يكون الرقم الأولي متناظرًا بحد ذاته. تظهر الأمثلة الثلاثة الأولى بخط عريض في القائمة أعلاه.

أعداد كين هي مجموعة فرعية من أعداد ليشرل، وتشمل جميع أعداد سلسلة معينة، باستثناء العدد الأولي، أو أي عدد يتقارب مع سلسلة معينة بعد تكرار واحد. وقد صاغ هذا المصطلح كوجي ياماشيتا عام ١٩٩٧.

لأن 196 ( الأساس 10 ) هو أصغر رقم مرشح لـ Lychrel، فقد حظي بأكبر قدر من الاهتمام.

في ثمانينيات القرن العشرين، استقطبت مسألة العدد المتناظر 196 اهتمام هواة الحواسيب الصغيرة ، حيث ظهرت برامج بحث من تصميم جيم باترفيلد وآخرين في العديد من مجلات الحوسبة واسعة الانتشار. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} وفي عام 1985، استمر برنامج من تصميم جيمس كيلمان في العمل دون جدوى لأكثر من 28 يومًا، حيث نفّذ 12954 دورة ووصل إلى عدد مكون من 5366 رقمًا. ^{[ 9 ]}

بدأ جون ووكر رحلته لاكتشاف الكلمات المتناظرة (196 كلمة) في 12 أغسطس 1987 على محطة عمل Sun 3/260. كتب برنامجًا بلغة C لتنفيذ عمليات عكس الكلمات وجمعها، وللتحقق من وجود كلمة متناظرة بعد كل خطوة. كان البرنامج يعمل في الخلفية بأولوية منخفضة، ويُنشئ نقطة تحقق في ملف كل ساعتين وعند إيقاف تشغيل النظام، مسجلاً عدد الكلمات التي تم الوصول إليها وعدد التكرارات. كان البرنامج يُعيد تشغيل نفسه تلقائيًا من آخر نقطة تحقق بعد كل إيقاف تشغيل. استمر البرنامج في العمل لمدة ثلاث سنوات تقريبًا، ثم توقف (كما هو مُبرمج) في 24 مايو 1990 بالرسالة التالية:

تم الوصول إلى نقطة التوقف في المرور رقم 2,415,836.

يحتوي الرقم على 1,000,000 رقم.

بعد 2,415,836 تكرارًا، نما التسلسل الذي يبدأ بالرقم 196 ليصل إلى مليون رقم دون الوصول إلى عدد متناظر. نشر ووكر نتائجه على الإنترنت مع آخر نقطة توقف، داعيًا الآخرين لاستئناف البحث باستخدام الرقم الذي تم الوصول إليه حتى الآن.

في عام ١٩٩٥، استخدم تيم إيرفين ولاري سيمكينز حاسوبًا متعدد المعالجات ووصلا إلى مليوني رقم في ثلاثة أشهر فقط دون العثور على أي عدد متناظر. ثم حذا جيسون دوسيت حذوهما ووصل إلى ١٢.٥ مليون رقم في مايو ٢٠٠٠. استخدم ويد فانلاندينغهام برنامج جيسون دوسيت للوصول إلى ١٣ مليون رقم، وهو رقم قياسي نُشر في مجلة "يس ماغ": مجلة العلوم الكندية للأطفال. منذ يونيو ٢٠٠٠، يواصل ويد فانلاندينغهام مسيرته باستخدام برامج كتبها العديد من المتحمسين. وبحلول ١ مايو ٢٠٠٦، وصل فانلاندينغهام إلى ٣٠٠ مليون رقم (بمعدل مليون رقم كل ٥ ​​إلى ٧ أيام). باستخدام المعالجة الموزعة ، ^{[ 10 ]} في عام 2011، أكمل رومان دولبو مليار عملية تكرارية لإنتاج عدد مكون من 413,930,770 رقمًا، وفي فبراير 2015 وصلت حساباته إلى عدد مكون من مليار رقم. ^{[ 11 ]} لم يتم العثور على عدد متناظر حتى الآن.

تشمل أرقام Lychrel المحتملة الأخرى التي خضعت لنفس طريقة الجمع العكسي المتكرر، 879 و1997 و7059: وقد تم إخضاعها لعدة ملايين من التكرارات دون العثور على أي عدد متناظر. ^{[ 12 ]}

في النظام الثنائي ، ثبت أن العدد 10110 (22 بالنظام العشري) هو عدد ليكريل، إذ أنه بعد 4 خطوات يصل إلى 10110100، وبعد 8 خطوات يصل إلى 1011101000، وبعد 12 خطوة يصل إلى 101111010000، وبشكل عام بعد 4n خطوة يصل إلى عدد يتكون من 10، متبوعًا بـ n  + 1 من الآحاد، متبوعًا بـ 01، متبوعًا بـ n  + 1 من الأصفار. من الواضح أن هذا العدد لا يمكن أن يكون عددًا متناظرًا، ولا يوجد أي عدد متناظر آخر في المتتالية.

لقد ثبت وجود أعداد الليشريل في القواعد التالية: 11، 17، 20، 26، وجميع قوى العدد 2. ^{[ 13 ] [ 3 ] [ 14 ]}

لا يحتوي أي أساس عددي على أعداد ليخريل أصغر من الأساس. في الواقع، في أي أساس عددي b ، لا يحتاج أي عدد من خانة واحدة إلى أكثر من دورتين ليصبح متناظرًا. بالنسبة لـ b > 4، إذا كان k < b /2، يصبح k متناظرًا بعد دورة واحدة: k + k = 2 k ، وهو عدد من خانة واحدة في الأساس b (وبالتالي متناظر). إذا كان k > b /2، يصبح k متناظرًا بعد دورتين.

أصغر رقم في كل قاعدة والذي يمكن أن يكون رقم Lychrel هو (التسلسل A060382 في OEIS ) :

يمكن توسيع نطاق أعداد Lychrel لتشمل الأعداد الصحيحة السالبة باستخدام تمثيل رقمي موقّع لتمثيل كل عدد صحيح.

• الديناميكا الحسابية
• العدد المتناظر

• تسلسل OEIS A023108 (أعداد صحيحة موجبة لا ينتج عنها على ما يبدو أي عدد متناظر تحت ...)
• جون ووكر - ثلاث سنوات من الحوسبة
• تيم إيرفين – حوالي شهرين من الحوسبة
• جيسون دوسيت – أرقام قياسية عالمية – 196 بحثًا عن الأرقام المتناظرة، الرقم المتناظر الأكثر تأخيرًا
• بنيامين ديبريس
• 196 وأرقام ليشرل أخرى بقلم ويد فانلاندينغهام
• وايسشتاين، إريك دبليو. "خوارزمية 196" . عالم الرياضيات .
• صفحات الرياضيات – عمليات عكس الأرقام التي تؤدي إلى نصوص متناظرة
• محب الأرقام
• جميع الأعداد المتناظرة المتأخرة المعروفة – ديمتري ماسلوف، مشروع MDPN
• اختبار التناظر المتأخر – ديمتري ماسلوف، مشروع MDPN