الديناميكا الحسابية

الديناميكا الحسابية ^{[ 1 ]} هي مجال يجمع بين فرعين من الرياضيات، وهما الأنظمة الديناميكية ونظرية الأعداد . يستمد هذا المجال جزءًا من إلهامه من الديناميكا المركبة ، التي تدرس تكرار التطبيقات الذاتية للمستوى المركب أو غيره من الأصناف الجبرية المركبة . تُعنى الديناميكا الحسابية بدراسة الخصائص العددية للنقاط الصحيحة أو النسبية أو p -adic أو الجبرية عند تطبيق دالة متعددة الحدود أو دالة نسبية عليها بشكل متكرر . يتمثل أحد أهدافها الأساسية في وصف الخصائص الحسابية بدلالة البنى الهندسية الكامنة.

الديناميكا الحسابية العالمية هي دراسة نظائر الهندسة الديوفانتية الكلاسيكية في إطار الأنظمة الديناميكية المنفصلة، ​​بينما الديناميكا الحسابية المحلية ، والتي تسمى أيضًا الديناميكا p-adic أو الديناميكا غير الأرخميدية ، هي نظير للديناميكا المعقدة حيث يتم استبدال الأعداد المركبة C بحقل p -adic مثل Q _p أو C _p ودراسة السلوك الفوضوي ومجموعات فاتو وجوليا .

يوضح الجدول التالي علاقة تقريبية بين المعادلات الديوفانتية، وخاصة المتنوعات الأبيلية ، والأنظمة الديناميكية:

ليكن S مجموعة، وليكن F  : S → S تطبيقًا من S إلى نفسها. يُرمز إلى تكرار F مع نفسها n مرة بـ

${\displaystyle F^{(n)}=F\circ F\circ \cdots \circ F.}$

تكون النقطة P ∈ S دورية إذا كان F ^{( n )} ( P ) = P لبعض n ≥ 1 .

تكون النقطة دورية مسبقة إذا كانت F ^{( k )} ( P ) دورية لبعض k ≥ 1 .

المدار (الأمامي) لـ P هو المجموعة

${\displaystyle O_{F}(P)=\left\{P,F(P),F^{(2)}(P),F^{(3)}(P),\cdots \right\}.}$

وبالتالي فإن P يكون دوريًا مسبقًا إذا وفقط إذا كان مداره O _F ( P ) محدودًا.

لتكن F ( x ) دالة كسرية من الدرجة الثانية على الأقل بمعاملات تنتمي إلى Q. تنص نظرية دوغلاس نورثكوت ^{[ 2 ]} على أن F لا تملك إلا عددًا محدودًا من النقاط الدورية الجزئية من الدرجة Q ، أي أن F لا تملك إلا عددًا محدودًا من النقاط الدورية الجزئية في P1( Q ) . ^وتنص فرضية التقييد المنتظم للنقاط الدورية الجزئية ^{[ 3 ]} لباتريك مورتون وجوزيف سيلفرمان على أن عدد النقاط الدورية الجزئية لـ F في P1 ( Q ⁾ محدود بثابت يعتمد فقط على درجة F.

بشكل أعم، ليكن F  : P ^N → P ^N تشاكلاً من الدرجة الثانية على الأقل معرفاً على حقل عددي K. تنص نظرية نورثكوت على أن F يحتوي على عدد محدود فقط من النقاط ما قبل الدورية في P ^N ( K ) ، وتقول تخمينية التقييد المنتظم العامة أن عدد النقاط ما قبل الدورية في P ^N ( K ) يمكن أن يكون محدوداً فقط بدلالة N ، ودرجة F ، ودرجة K على Q.

لا يُعرف حدسية التقييد المنتظم حتى بالنسبة لكثيرات الحدود التربيعية F _{_c} ⁽ x ) = x² + c على مجموعة الأعداد النسبية Q. من المعروف في هذه الحالة أن F _{_c} ( x ) لا يمكن أن تحتوي على نقاط دورية ذات دورة أربعة، ^{[ 4 ] أو} خمسة، ^{[ 5 ]} أو ستة، ^{[ 6 ]} على الرغم من أن نتيجة الدورة الستة مشروطة بصحة حدسية بيرش وسوينرتون-داير . وقد افترض بيورن بونين أن F _{_c} ( x ) لا يمكن أن تحتوي على نقاط دورية نسبية ذات أي دورة أكبر من ثلاثة. ^{[ 7 ]}

قد يحتوي مدار دالة كسرية على عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة. على سبيل المثال، إذا كانت F ( x ) دالة كثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة، وكان a عددًا صحيحًا، فمن الواضح أن المدار O( _F ( a )) يتكون من أعداد صحيحة. وبالمثل، إذا كانت F ( x ) دالة كسرية، وكان أحد عناصرها المتكررة F ^{( n )} ( x ) دالة كثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة، فإن كل عنصر n في المدار هو عدد صحيح. ومن أمثلة هذه الظاهرة الدالة F ( x ) = x ^{- d} ، حيث يكون عنصرها المتكرر الثاني دالة كثيرة الحدود. ويتضح أن هذه هي الطريقة الوحيدة التي يمكن أن يحتوي بها المدار على عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة.

النظرية ^{[ 8 ]} : لتكن F ( x ) ∈ Q ( x ) دالة كسرية من الدرجة الثانية على الأقل، ولنفترض أن أي تكرار ^{[ 9 ]} لـ F ليس متعدد حدود. ليكن a ∈ Q. عندئذٍ _، يحتوي المدار OF ( a ) على عدد محدود فقط من الأعداد الصحيحة.

توجد تخمينات عامة منسوبة إلى شووو تشانغ ^{[ 10 ]} وآخرين تتعلق بالمتنوعات الفرعية التي تحتوي على عدد لا نهائي من النقاط الدورية أو التي تتقاطع مع مدار في عدد لا نهائي من النقاط. تُعد هذه التخمينات نظائر ديناميكية لتخمين مانين - مامفورد ، الذي أثبته ميشيل رينو ، وتخمين مورديل-لانغ ، الذي أثبته جيرد فالتينغز . توضح التخمينات التالية النظرية العامة في حالة كون المتنوع الفرعي منحنى.

تخمين. ليكن F  : Pⁿ → Pⁿ تشاكلاً، وليكن ^C ⊂ Pⁿ منحنى جبريًا غير قابل للاختزال. لنفترض وجود نقطة P ∈ ^Pⁿ بحيث يحتوي C ^على عدد لا نهائي من النقاط في المدار O( _F ( P )) . عندئذٍ يكون C دوريًا بالنسبة لـ F بمعنى أنه يوجد تكرار F ^{( k )} لـ F يُسقط C ^على نفسه.

يُعنى مجال الديناميكا p -adic (أو غير الأرخميدية) بدراسة المسائل الديناميكية الكلاسيكية على حقل _{K كامل بالنسبة للقيمة المطلقة غير الأرخميدية. ومن أمثلة هذه الحقول حقل الأعداد النسبية p-adic Qp} وإتمام إغلاقه الجبري Cp . يؤدي المقياس _على K والتعريف القياسي للاستمرارية المتساوية إلى التعريف المعتاد لمجموعتي فاتو وجوليا للدالة النسبية F ( x ) ∈ K ( x ) . ثمة أوجه تشابه عديدة بين النظريات المركبة وغير الأرخميدية، ولكن توجد أيضًا اختلافات كثيرة. ومن أبرز هذه الاختلافات أن مجموعة فاتو في الإطار غير الأرخميدي تكون دائمًا غير فارغة، بينما قد تكون مجموعة جوليا فارغة. وهذا عكس ما هو عليه الحال في الأعداد المركبة. وقد تم توسيع نطاق الديناميكا غير الأرخميدية ليشمل _فضاء بيركوفيتش ، ^{[ 11 ]} وهو فضاء متصل مضغوط يحتوي على الحقل Cp غير المضغوط محليًا وغير المنفصل تمامًا .

توجد تعميمات طبيعية للديناميكا الحسابية حيث يتم استبدال Q و Qp بحقول عددية وإكمالاتها p -adic. ومن التعميمات ^{الطبيعية} الأخرى استبدال التطبيقات الذاتية لـ ^P1 أو PN بتطبيقات ذاتية (تشاكلات) _V → V لأصناف أفينية أو إسقاطية أخرى .

هناك العديد من المشاكل الأخرى ذات الطبيعة النظرية العددية التي تظهر في سياق الأنظمة الديناميكية، بما في ذلك:

• الديناميكيات على الحقول المنتهية .
• الديناميكيات على حقول الدوال مثل C ( x ) .
• تكرار متسلسلات القوى الرسمية و p -adic .
• ديناميكيات مجموعات لي .
• الخصائص الحسابية لفضاءات المعاملات المعرفة ديناميكيًا .
• التوزيع المتساوي ^{[ 12 ]} والمقاييس الثابتة ، وخاصة على الفضاءات p -adic.
• الديناميكيات على وحدات درينفيلد .
• مشاكل التكرار في نظرية الأعداد التي لا يتم وصفها بواسطة الخرائط النسبية على الأصناف، على سبيل المثال، مشكلة كولاتز .
• الترميز الرمزي للأنظمة الديناميكية بناءً على التوسعات الحسابية الصريحة للأعداد الحقيقية. ^{[ 13 ]}

تقدم قائمة المراجع الخاصة بالديناميكا الحسابية قائمة شاملة من المقالات والكتب التي تغطي مجموعة واسعة من المواضيع الديناميكية الحسابية.

• الهندسة الحسابية
• الطوبولوجيا الحسابية
• التوافقية والأنظمة الديناميكية
• تمثيل غالوا الشجري

• ملاحظات محاضرة حول ديناميكيات الحساب، مدرسة أريزونا الشتوية ، 13-17 مارس 2010، جوزيف هـ. سيلفرمان
• الفصل الخامس عشر من كتاب "مقدمة في الديناميكا: مع لمحة عامة عن التطورات الحديثة" ، بوريس هاسلبلات، إيه بي كاتوك، مطبعة جامعة كامبريدج، 2003، رقم ISBN 978-0-521-58750-1

• الصفحة الرئيسية لحساب الأنظمة الديناميكية
• قائمة مراجع الديناميكا الحسابية
• التحليل والديناميكيات على خط بيركوفيتش الإسقاطي
• مراجعة كتاب جوزيف هـ. سيلفرمان "حساب الأنظمة الديناميكية"، بقلم روبرت ل. بينيديتو