رقم ثابت

في نظرية الأعداد ، يُعرف عدد ثابت ، أو عدد ثابت ابن قرة ، أو العدد 321 ، بأنه عدد صحيح على الصورة التالية:${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$لعدد صحيح غير سالب n .

الأرقام القليلة الأولى لثابت هي:

2 ، 5 ، 11 ، 23 ، 47 ، 95 ، 191، 383، 767، 1535، 3071، 6143، 12287، 24575، 49151، 98303، 196607، 393215، 786431، 1572863، ... (التسلسل A055010 في OEIS )

يُنسب إلى ثابت بن قرة ، عالم الرياضيات والطبيب وعالم الفلك والمترجم الذي عاش في القرن التاسع، الفضل في كونه أول من درس هذه الأعداد وعلاقتها بالأعداد الودية . ^{[ 1 ]}

التمثيل الثنائي لعدد ثابت 3·2 ⁿ −1 يتكون من n +2 رقمًا، ويتألف من "10" متبوعًا بـ n من 1.

الأعداد القليلة الأولى من أعداد ثابت التي هي أعداد أولية ( أعداد ثابت الأولية أو أعداد 321 الأولية ):

2، 5، 11، 23، 47، 191، 383، 6143، 786431، 51539607551، 824633720831، ... (التسلسل A007505 في OEIS )

اعتبارًا من يونيو 2025 يوجد 69 عددًا أوليًا معروفًا من نوع ثابت. قيم n الخاصة بها هي: ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

0، 1، 2، 3، 4، 6، 7، 11، 18، 34، 38، 43، 55، 64، 76، 94، 103، 143، 206، 216، 306، 324، 391، 458، 470، 827، 1274، 3276، 4204، 5134، 7559، 12676، 14898، 18123، 18819، 25690، 26459، 41628، 51387، 71783، 80330، 85687، 88171، 97063، 123630، 155930 164987، 234760، 414840، 584995، 702038، 727699، 992700، 1201046، 1232255، 2312734، 3136255، 4235414، 6090515، 11484018، 11731850، 11895718، 16819291، 17748034، 18196595، 18924988، 20928756، 22103376، 23157875، ... (التسلسل A002235 في OEIS )

تم العثور على الأعداد الأولية لـ 234760 ≤ n ≤ 3136255 بواسطة مشروع الحوسبة الموزعة 321 بحث . ^{[ 6 ]}

في عام 2008، تولت PrimeGrid مهمة البحث عن أعداد ثابِت الأولية. ^{[ 7 ]} ولا تزال تبحث، وقد عثرت بالفعل على جميع أعداد ثابِت الأولية المعروفة حاليًا والتي يكون فيها n ≥ 4235414. ^{[ 4 ]} كما تبحث أيضًا عن أعداد أولية من الشكل 3 × 2^ ⁿ + 1، وتُسمى هذه الأعداد الأولية بأعداد ثابِت الأولية من النوع الثاني أو أعداد 321 الأولية من النوع الثاني .

الأرقام القليلة الأولى من نوع ثابت الثاني هي:

4، 7، 13، 25، 49، 97، 193، 385، 769، 1537، 3073، 6145، 12289، 24577، 49153، 98305، 196609، 393217، 786433، 1572865، ... (التسلسل A181565 في OEIS )

الأعداد الأولية القليلة الأولى من نوع ثابت من النوع الثاني هي:

7، 13، 97، 193، 769، 12289، 786433، 3221225473، 206158430209، 6597069766657، 221360928884514619393، ... (التسلسل A039687 في OEIS )

قيم n الخاصة بهم هي:

1، 2، 5، 6، 8، 12، 18، 30، 36، 41، 66، 189، 201، 209، 276، 353، 408، 438، 534، 2208، 2816، 3168، 3189، 3912، 20909، 34350، 42294، 42665، 44685، 48150، 54792، 55182، 59973، 80190، 157169، 213321، 303093، 362765، 382449، 709968، 801978، 916773، 1832496، 2145353، 2291610، 2478785، 5082306، 7033641، 10829346، 16408818، ... (التسلسل A002253 في OEIS )

عندما يكون كلاهما${\displaystyle n}$و${\displaystyle n-1}$ينتج عنها أعداد ثابتة أولية (من النوع الأول)، و${\displaystyle 9\cdot 2^{2n-1}-1}$إذا كان العدد أوليًا أيضًا، فيمكن حساب زوج من الأعداد المتآلفة على النحو التالي:

${\displaystyle \displaystyle 2^{n}(3\cdot 2^{n-1}-1)(3\cdot 2^{n}-1)}$و${\displaystyle \displaystyle 2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1).}$

على سبيل المثال،${\displaystyle n=2}$يعطي ثابت العدد الأولي 11،${\displaystyle n-1=1}$يعطي العدد الأولي ثابت 5، والحد الثالث هو 71. ثم، 2 ² = 4، مضروبًا في 5 و11 ينتج عنه 220، ومجموع قواسمه يساوي 284، و4 مضروبًا في 71 يساوي 284، ومجموع قواسمه يساوي 220.

القيم المعروفة الوحيدة لـ${\displaystyle n}$الأعداد 2 و4 و7 التي تحقق هذه الشروط، والتي تتوافق مع الأعداد الأولية لثابت 11 و47 و383 المعطاة بواسطة${\displaystyle n}$، الأعداد الأولية لثابت 5 و23 و191 المعطاة بواسطة${\displaystyle n-1}$، والحدود الثالثة 71 و 1151 و 73727. الأزواج الودية المقابلة هي (220، 284) و (17296، 18416) و (9363584، 9437056).

بالنسبة للعدد الصحيح b ≥ 2، فإن عدد ثابت ذو الأساس b هو عدد على الصورة ( b + 1) × bₙ ^- 1، حيث n عدد صحيح غير سالب . كذلك، بالنسبة للعدد الصحيح b ≥ 2، فإن عدد ثابت من النوع الثاني ذو الأساس b هو عدد على الصورة ( b + 1) × ^bₙ + 1، حيث n عدد صحيح غير سالب .

تُعدّ أعداد ويليامز تعميمًا لأعداد ثابت. بالنسبة لأي عدد صحيح b ≥ 2، يكون عدد ويليامز ذو الأساس b عددًا على الصورة ( b - 1) × bₙ - 1 ^، حيث n عدد صحيح غير سالب . ^{[ 8 ]} كذلك، بالنسبة لأي عدد صحيح b ≥ 2، يكون عدد ويليامز من النوع الثاني ذو الأساس b عددًا على الصورة ( b - 1) × ^bₙ + 1، حيث n عدد صحيح غير سالب .

بالنسبة للعدد الصحيح b ≥ 2، فإن العدد الأولي الثابت b هو عدد ثابت ذو أساس b وهو عدد أولي أيضًا. وبالمثل، بالنسبة للعدد الصحيح b ≥ 2، فإن العدد الأولي ويليامز b هو عدد ويليامز ذو أساس b وهو عدد أولي أيضًا.

كل عدد أولي p هو عدد أولي ثابت من النوع الأول أساس p ، وعدد أولي ويليامز من النوع الأول أساس p + 2، وعدد أولي ويليامز من النوع الثاني أساس p ؛ إذا كان p ≥ 5، فإن p هو أيضًا عدد أولي ثابت من النوع الثاني أساس p − 2.

من المفترض أنه لكل عدد صحيح b ≥ 2، يوجد عدد لا نهائي من أعداد ثابيت الأولية من النوع الأول والأساس b ، وعدد لا نهائي من أعداد ويليامز الأولية من النوع الأول والأساس b ، وعدد لا نهائي من أعداد ويليامز الأولية من النوع الثاني والأساس b ؛ كذلك، لكل عدد صحيح b ≥ 2 لا يقبل القسمة على 1 بتردد 3، يوجد عدد لا نهائي من أعداد ثابيت الأولية من النوع الثاني والأساس b . (إذا كان الأساس b يقبل القسمة على 1 بتردد 3، فإن جميع أعداد ثابيت من النوع الثاني والأساس b تقبل القسمة على 3 (وأكبر من 3، لأن b ≥ 2)، لذا لا توجد أعداد ثابيت أولية من النوع الثاني والأساس b ).

لا يمكن أن يكون أس الأعداد الأولية لثابيت من النوع الثاني متطابقًا مع 1 mod 3 (باستثناء 1 نفسه)، ولا يمكن أن يكون أس الأعداد الأولية لويليامز من النوع الأول متطابقًا مع 4 mod 6، ولا يمكن أن يكون أس الأعداد الأولية لويليامز من النوع الثاني متطابقًا مع 1 mod 6 (باستثناء 1 نفسه)، لأن متعددة الحدود المقابلة لـ b هي متعددة حدود قابلة للاختزال . (إذا كان n ≡ 1 mod 3، فإن ( b + 1) · b ⁿ + 1 يقبل القسمة على b ² + b + 1؛ وإذا كان n ≡ 4 mod 6، فإن ( b − 1) · b ⁿ − 1 يقبل القسمة على b ² − b + 1؛ وإذا كان n ≡ 1 mod 6، فإن ( b − 1) · b ⁿ + 1 يقبل القسمة على b ² − b + 1) وإلا، فإن متعددة الحدود المقابلة لـ b هي متعددة حدود غير قابلة للاختزال ، لذلك إذا كانت حدسية بونياكوفسكي صحيحة، فسيكون هناك عدد لا نهائي من القواعد b بحيث يكون العدد المقابل (لأس ثابت n يحقق الشرط) أوليًا. (( b +1)· b ⁿ − 1 غير قابل للاختزال لجميع الأعداد الصحيحة غير السالبة n ، لذلك إذا كانت حدسية بونياكوفسكي صحيحة ، فسيكون هناك عدد لا نهائي من القواعد b بحيث يكون العدد المقابل (لأس ثابت n ) عددًا أوليًا)

أرقام بيربونت${\displaystyle 3^{m}\cdot 2^{n}+1}$هي تعميم لأعداد ثابت من النوع الثاني${\displaystyle 3\cdot 2^{n}+1}$.

• ويسستين، إريك و. “رقم ثابت بن قرة” . عالم الرياضيات .
• ويسستين، إريك و. “ثابت بن قرة برايم” . عالم الرياضيات .
• كريس كالدويل، صاحب أكبر قاعدة بيانات معروفة للأعداد الأولية في موقع "ذا برايم بيجز"
• عدد ثابت أولي من النوع الأول أساسه 2: (2+1)·2 ^11895718 − 1
• عدد ثابت أولي من النوع الثاني أساسه 2: (2+1)·2 ^10829346 + 1
• عدد ويليامز الأولي من النوع الأول ذو الأساس 2: (2−1)·2 ^74207281 − 1
• عدد ويليامز الأولي من النوع الأول ذو الأساس 3: (3−1)·3 ^1360104 − 1
• عدد ويليامز الأولي من النوع الثاني أساسه 3: (3−1)·3 ^1175232 + 1
• عدد ويليامز الأولي من النوع الأول ذو الأساس 10: (10−1)·10 ³⁸³⁶⁴³ − 1
• عدد ويليامز الأولي من النوع الأول أساسه 113: (113−1)·113 ²⁸⁶⁶⁴³ − 1
• قائمة أعداد ويليامز الأولية
• بحث PrimeGrid عن 321 عددًا أوليًا ، حول اكتشاف العدد الأولي ثابت من النوع الأول ذي الأساس 2: (2+1)·2 ^6090515 − 1