أرقام ودية

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 17 صور
الموسوعة الحرة
عرض توضيحي باستخدام قضبان كويزنير لمدى توافق زوج الأرقام (220،284)، وهو الأول في السلسلة.

في الرياضيات ، الأعداد المتآلفة هي عددان طبيعيان مختلفان تربطهما علاقة بحيث يكون مجموع قواسم كل منهما مساويًا للعدد الآخر. أي أن s ( a ) = b و s ( b ) = a ، حيث s ( n ) = σ( n ) - n يساوي مجموع القواسم الموجبة للعدد n باستثناء n نفسه (انظر أيضًا دالة القاسم ).

أصغر زوج من الأعداد المتآلفة هو ( 220 ، 284 ). وهو متآلف لأن القواسم الحقيقية للعدد 220 هي 1، 2، 4، 5، 10، 11، 20، 22، 44، 55، و110، ومجموعها 284؛ والقواسم الحقيقية للعدد 284 هي 1، 2، 4، 71، و142، ومجموعها 220.

أول عشرة أزواج متوافقة هي: (220، 284)، (1184، 1210)، (2620، 2924)، (5020، 5564)، (6232، 6368)، (10744، 10856)، (12285، 14595)، (17296، 18416)، (63020، 76084)، و(66928، 66992) (المتتالية A259180 في OEIS ) . ولا يُعرف ما إذا كان هناك عدد لا نهائي من أزواج الأعداد المتوافقة.

يشكل زوج من الأعداد الودية متتالية جزئية دورية مدتها 2. وهناك مفهوم ذو صلة وهو مفهوم العدد الكامل ، وهو عدد يساوي مجموع قواسمه الحقيقية، أي عدد يشكل متتالية جزئية دورية مدتها 1. وتُعرف الأعداد التي تنتمي إلى متتالية جزئية دورية مدتها أكبر من 2 بالأعداد الاجتماعية .

تاريخ

مشكلة لم تُحل في الرياضيات
هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الودية؟
المزيد من المسائل غير المحلولة في الرياضيات

كانت الأعداد الودية معروفة لدى الفيثاغوريين ، الذين نسبوا إليها العديد من الخصائص الغامضة. وقد ابتكر عالم الرياضيات العراقي ثابت بن قرة (826-901) صيغة عامة يمكن من خلالها اشتقاق بعض هذه الأعداد حوالي عام 850. ومن علماء الرياضيات العرب الآخرين الذين درسوا الأعداد الودية: المجريطي (توفي عام 1007)، والبغدادي (980-1037)، والفارسي (1260-1320). اكتشف عالم الرياضيات الإيراني محمد باقر اليزدي (القرن السادس عشر) الزوج (9363584، 9437056)، على الرغم من أن هذا الاكتشاف يُنسب غالبًا إلى ديكارت . [ 1 ] وقد طُويت صفحة الكثير من أعمال علماء الرياضيات الشرقيين في هذا المجال.

أُعيد اكتشاف صيغة ثابت بن قرة على يد فيرما (1601-1665) وديكارت (1596-1650)، الذي تُنسب إليه أحيانًا، ووُسِّعت على يد أويلر (1707-1783). ثم وُسِّعت أكثر على يد بورهو عام 1972. كما أعاد فيرما وديكارت اكتشاف أزواج من الأعداد المتوافقة المعروفة لدى علماء الرياضيات العرب. واكتشف أويلر أيضًا عشرات الأزواج الجديدة. [ 2 ] أما الزوج الثاني الأصغر، (1184، 1210)، فقد اكتشفه عام 1867 الشاب ب. نيكولو إ. باغانيني (لا يُخلط بينه وبين المؤلف الموسيقي وعازف الكمان)، بعد أن أغفله علماء الرياضيات السابقون. [ 3 ] [ 4 ]

أول عشرة أزواج ودودين
8من
1220284
211841210
326202924
450205564
562326368
61074410856
71228514,595
81729618416
963,02076,084
1066,92866,992

يوجد أكثر من مليار زوج من الأزواج الودية المعروفة. [ 5 ]

قواعد التوليد

على الرغم من أن هذه القواعد تولد بعض أزواج الأعداد الودية، إلا أن العديد من الأزواج الأخرى معروفة، لذا فإن هذه القواعد ليست شاملة بأي حال من الأحوال.

على وجه الخصوص، فإن القاعدتين أدناه تنتجان فقط أزواجًا ودية زوجية، لذلك فهي ليست ذات أهمية للمشكلة المفتوحة المتمثلة في إيجاد أزواج ودية أولية نسبيًا مع 210 = 2·3·5·7، في حين أن أكثر من 1000 زوج أولي نسبيًا مع 30 = 2·3·5 معروفة [García, Pedersen & te Riele (2003), Sándor & Crstici (2004)].

نظرية ثابت بن قرة

نظرية ثابت بن قرة هي طريقة لاكتشاف الأعداد الودية التي ابتكرها عالم الرياضيات العربي ثابت بن قرة في القرن التاسع . [ 6 ]

وينص على أنه إذا ص=3×2ن-1-1،q=3×2ن-1،ر=9×22ن-1-1،{\displaystyle {\begin{aligned}p&=3\times 2^{n-1}-1,\\q&=3\times 2^{n}-1,\\r&=9\times 2^{2n-1}-1,\end{aligned}}}

حيث n عدد صحيح أكبر من 1 ، و p و q و r أعداد أولية، فإن 2n × p × q و 2n × r زوج من الأعداد المتآلفة . تعطي هذه الصيغة الأزواج (220، 284) عندما n = 2 ، و (17296، 18416) عندما n = 4 ، و (9363584، 9437056) عندما n = 7 ، ولكن لا توجد أزواج أخرى معروفة من هذا النوع. تُعرف الأعداد من الشكل 3 × 2n - 1 بالأعداد الثابتة . ولكي تُنتج صيغة ابن قرة زوجًا متآلفًا، يجب أن يكون كل عددين ثابتين متتاليين أوليين؛ وهذا يُقيّد بشدة القيم الممكنة لـ n .

لإثبات النظرية، برهن ثابت بن قرة على تسع لمات مقسمة إلى مجموعتين. تتناول اللمات الثلاث الأولى تحديد أجزاء التناسب لعدد صحيح طبيعي . أما المجموعة الثانية من اللمات فتتناول بشكل أكثر تحديدًا تكوين الأعداد الكاملة والوفيرة والناقصة. [ 6 ]

قاعدة أويلر

قاعدة أويلر هي تعميم لنظرية ثابت بن قرة. وتنص على أنه إذا ص=(2ن-م+1)×2م-1،q=(2ن-م+1)×2ن-1،ر=(2ن-م+1)2×2م+ن-1،{\displaystyle {\begin{aligned}p&=(2^{nm}+1)\times 2^{m}-1,\\q&=(2^{nm}+1)\times 2^{n}-1,\\r&=(2^{nm}+1)^{2}\times 2^{m+n}-1,\end{aligned}}} حيث n > m > 0 أعداد صحيحة و p و q و r أعداد أولية ، فإن 2 n × p × q و 2 n × r زوج من الأعداد الودية.

لاحظ أن صq=ر-(2ن-م+1)(2ن+2م)+2صq=ر-((2ن-م+1)(2ن+2م)-2)صq=ر-(ص+q){\displaystyle {\begin{aligned}pq&=r-(2^{nm}+1)(2^{n}+2^{m})+2\\pq&=r-((2^{nm}+1)(2^{n}+2^{m})-2)\\pq&=r-(p+q)\end{aligned}}} هكذاصq+(ص+q)=ر{\displaystyle pq+(p+q)=r}

تُطابق نظرية ثابت بن قرة الحالة m = n − 1. تُنشئ قاعدة أويلر أزواجًا متآلفة إضافية لـ ( m , n ) = (1,8)، (29,40) دون وجود أزواج أخرى معروفة. وقد وجد أويلر (1747 و1750) إجمالًا 58 زوجًا جديدًا، مما زاد عدد الأزواج المعروفة آنذاك إلى 61 زوجًا. [ 2 ] [ 7 ]

أزواج عادية

ليكن ( m , n ) زوجًا من الأعداد المتآلفة حيث m < n ، ولنكتب m = gM و n = gN حيث g هو القاسم المشترك الأكبر لـ m و n . إذا كان كل من M و N أوليين فيما بينهما مع g وخاليين من المربعات ، يُقال إن الزوج ( m , n ) منتظم (المتتالية A215491 في OEIS ) ؛ وإلا، يُسمى غير منتظم أو غريب . إذا كان ( m , n ) منتظمًا وكان لـ M و N عاملان أوليان i و j على التوالي، يُقال إن ( m , n ) من النوع ( i , j ) .

على سبيل المثال، إذا كان ( m , n ) = (220, 284) ، فإن القاسم المشترك الأكبر هو 4 ، وبالتالي فإن M = 55 و N = 71. لذلك، فإن (220, 284) عدد منتظم من النوع (2, 1) .

زوجان متطابقان ودودان

الزوج الودود ( م ، ن ) يكون توأمًا إذا لم تكن هناك أعداد صحيحة بين م و ن تنتمي إلى أي زوج ودي آخر (المتتالية A273259 في OEIS ) .

نتائج أخرى

في كل حالة معروفة، يكون عددا الزوج إما زوجيين أو فرديين. من غير المعروف ما إذا كان يوجد زوج من الأعداد المتآلفة الزوجية والفردية، ولكن إن وُجد، فيجب أن يكون العدد الزوجي إما مربعًا أو ضعف واحد، ويجب أن يكون العدد الفردي مربعًا. مع ذلك، توجد أعداد متآلفة يكون فيها أصغر عاملين أوليين مختلفين: هناك سبعة أزواج معروفة من هذا النوع. [ 8 ] كذلك، يشترك كل زوج معروف في عامل أولي واحد على الأقل . من غير المعروف ما إذا كان يوجد زوج من الأعداد المتآلفة الأولية فيما بينها، ولكن إن وُجد، فيجب أن يكون حاصل ضربهما أكبر من 10⁶⁷ . [ 9 ] [ 10 ] أيضًا ، لا يمكن توليد زوج من الأعداد المتآلفة الأولية فيما بينها باستخدام صيغة ثابت (المذكورة أعلاه)، ولا باستخدام أي صيغة مشابهة.

في عام 1955 أظهر بول إردوش أن كثافة الأعداد الودية، بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة، كانت 0. [ 11 ]

في عام 1968، لاحظ مارتن غاردنر أن معظم الأزواج المتحابين لديهم مجموع يقبل القسمة على 9، [ 12 ] وأنه تم التوصل إلى قاعدة لتوصيف الاستثناءات (التسلسل A291550 في OEIS ) . [ 13 ]

وفقًا لتخمين مجموع الأزواج الودية، عندما يقترب عدد الأعداد الودية من اللانهاية، فإن النسبة المئوية لمجموع الأزواج الودية القابلة للقسمة على عشرة تقترب من 100٪ (المتتالية A291422 في OEIS ) .

على الرغم من أن جميع الأزواج الودية حتى 10000 هي أزواج زوجية، إلا أن نسبة الأزواج الودية الفردية تزداد باطراد نحو أعداد أعلى، ومن المفترض أن يكون هناك عدد أكبر منها مقارنة بالأزواج الودية الزوجية (التسلسل A360054 في OEIS ).

توجد أزواج ودية حيث يساوي مجموع رقم واحد من الزوج الأول ورقم واحد من الزوج الثاني مجموع الرقمين المتبقيين، على سبيل المثال 67212 = 220 + 66992 = 284 + 66928 حيث (220، 284) و (66928، 66992) زوجان وديان (التسلسل A359334 في OEIS ).

توجد أزواج الأعداد الصحيحة المتوافقة مع التوزيع الغاوسي ، [ 14 ] [ 15 ] على سبيل المثال s(8008 + 3960 i ) = 4232 − 8280 i و s(4232 − 8280 i ) = 8008 + 3960 i . [ 16 ]

التعميمات

أزواج ودية

أرقام ودية(م،ن){\displaystyle (m,n)}مُرضٍσ(م)-م=ن{\displaystyle \sigma (m)-m=n}وσ(ن)-ن=م{\displaystyle \sigma (n)-n=m}والتي يمكن كتابتها معًا على النحو التاليσ(م)=σ(ن)=م+ن{\displaystyle \sigma (m)=\sigma (n)=m+n}ويمكن تعميم ذلك على مجموعات أكبر، على سبيل المثال(ن1،ن2،...،نك){\displaystyle (n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k})}حيثما نحتاج

σ(ن1)=σ(ن2)=⋯=σ(نك)=ن1+ن2+⋯+نك{\displaystyle \sigma (n_{1})=\sigma (n_{2})=\dots =\sigma (n_{k})=n_{1}+n_{2}+\dots +n_{k}}

على سبيل المثال، (1980، 2016، 2556) هو ثلاثي ودي (التسلسل A125490 في OEIS ) ، و(3270960، 3361680، 3461040، 3834000) هو رباعي ودي (التسلسل A036471 في OEIS ) .

يتم تعريف المجموعات المتعددة الودية بشكل مماثل وتعميم هذا إلى حد ما (التسلسل A259307 في OEIS ) .

أرقام اجتماعية

الأعداد الاجتماعية هي الأعداد الموجودة في قوائم دورية من الأعداد (بطول أكبر من 2) حيث يكون كل عدد هو مجموع القواسم الصحيحة للعدد السابق له. على سبيل المثال،1264460↦1547860↦1727636↦1305184↦1264460↦...{\displaystyle 1264460\mapsto 1547860\mapsto 1727636\mapsto 1305184\mapsto 1264460\mapsto \dots }هي أعداد اجتماعية من الرتبة 4.

البحث عن أرقام اجتماعية

يمكن تمثيل تسلسل الأجزاء كرسم بياني موجه ،جين،s{\displaystyle G_{n,s}}، لعدد صحيح معينن{\displaystyle n}، أينs(ك){\displaystyle s(k)}يرمز إلى مجموع القواسم الصحيحة لـك{\displaystyle k}[ 17 ] دورات في​جين،s{\displaystyle G_{n,s}}تمثل الأعداد الاجتماعية ضمن الفترة[1،ن]{\displaystyle [1,n]}. هناك حالتان خاصتان هما الحلقات التي تمثل أعدادًا مثالية والدورات ذات الطول اثنين التي تمثل أزواجًا ودية .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ كوستيلو، باتريك (1 مايو 2002). "أزواج ودية جديدة من النوع (2؛ 2) والنوع (3؛ 2)" (ملف PDF) . رياضيات الحساب . 72 (241): 489-497 . doi : 10.1090/S0025-5718-02-01414-X . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 29 فبراير 2008. تم الاطلاع عليه في 19 أبريل 2007 .
  2. 1 2 سانديفير، سي. إدوارد (2007). كيف فعلها أويلر . الجمعية الرياضية الأمريكية . ص 49-55 . ISBN  978-0-88385-563-8.
  3. ^ سبرونولي ، رينزو (27 سبتمبر 2005). “Introduzione alla matematica: La matematica della scuola media” (PDF) (باللغة الإيطالية). جامعة فلورنسا للدراسات: قسم النظم والمعلوماتية. ص. 59. مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 13 سبتمبر 2012 . تم الاسترجاع 21 أغسطس 2012 . 
  4. ↑ مارتن غاردنر (2020) [نُشر أصلاً عام 1977]. عرض سحري رياضي . الجمعية الرياضية الأمريكية . ص 168. ISBN  9781470463588أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 12 سبتمبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 مارس 2023 .
  5. ↑ تشيرنيخ، سيرجي. "قائمة الأزواج الودية" . تم الاسترجاع 2024-05-28 .
  6. 1 2 راشد، رشدي (1994). تطور الرياضيات العربية: بين الحساب والجبر . المجلد 156. دوردريخت، بوسطن، لندن: دار كلوير للنشر الأكاديمي. ص 278، 279. ISBN   978-0-7923-2565-9.
  7. ↑ شاهد ويليام دونهام في فيديو: أمسية مع ليونارد أويلر – يوتيوب (مؤرشف بتاريخ 16-05-2016 في أرشيف الإنترنت)
  8. ↑ "أخبار الأزواج الودودين" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 18 يوليو 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 يناير 2016 .
  9. ↑ هاجيس، بيتر، الابن (1969). "حول الأعداد الفردية الودودة الأولية نسبيًا". رياضيات الحساب . 23 (107): 539-543 . doi : 10.2307/2004381 . JSTOR 2004381. MR 0246816 .  {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  10. ↑ هاجيس، بيتر، الابن (1970). "الحدود الدنيا للأعداد الأولية المتآلفة ذات التكافؤ المعاكس". رياضيات الحساب . 24 (112): 963-968 . doi : 10.2307/2004629 . JSTOR 2004629. MR 0276167 .  {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  11. ↑ إردوش، بول (2022). "حول الأعداد الودية" ( ملف PDF) . منشورات الرياضيات في ديبريسين . 4 ( 1-2 ): 108-111 . doi : 10.5486/PMD.1955.4.1-2.16 . S2CID 253787916. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 9 أكتوبر 2022. 
  12. ↑ غاردنر، مارتن (1968). "الألعاب الرياضية" . مجلة ساينتفك أمريكان . 218 (3): 121-127 . رمز Bibcode : 1968SciAm.218c.121G . doi : 10.1038/scientificamerican0368-121 . ISSN 0036-8733 . JSTOR 24926005. مؤرشف من الأصل بتاريخ 25-09-2022 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 07-09-2020 .  
  13. ↑ لي، إلفين (1969). "حول قابلية قسمة مجموع الأزواج الزوجية المتآلفة على تسعة" . رياضيات الحساب . 23 (107): 545-548 . doi : 10.2307/2004382 . ISSN 0025-5718 . JSTOR 2004382 .  
  14. ↑ باتريك كوستيلو، رانثوني إيه سي إدموندز. "الأزواج الودية الغاوسية". مجلة ميسوري للعلوم الرياضية، 30(2) 107-116 نوفمبر 2018.
  15. ↑ كلارك، رانثوني (1 يناير 2013). "أزواج غاوسية ودية" . أطروحات ورسائل جامعية على الإنترنت .
  16. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "زوج ودود" . mathworld.wolfram.com .
  17. ^ روشا، رودريجو كايتانو. ثات، بهالشاندرا (2015)، اكتشاف الدورة الموزعة في الرسوم البيانية المتفرقة واسعة النطاق ، Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO)، دوى : 10.13140/RG.2.1.1233.8640

مراجع