المتتابعة الدورية

في الرياضيات ، المتتالية الدورية (تسمى أحيانًا دورة أو مدارًا ) هي متتالية تتكرر فيها نفس الحدود مرارًا وتكرارًا:

أ ₁ ، أ ₂ ، ...، أ _ب ، أ ₁ ، أ ₂ ، ...، أ _ب ، أ ₁ ، أ ₂ ، ...، أ _ب ، ...    

يُطلق على عدد الحدود المتكررة p اسم الدورة ( period ). ^{[ 1 ]}

المتتالية الدورية (الخالصة) (ذات الدورة p )، أو المتتالية الدورية من الرتبة p ، هي متتالية a1 ، a2 _، a3 ، ... تحقق _الشرط التالي _:

أ _{ن + ف} = أ _ن

لجميع قيم n . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} إذا اعتُبرت متتالية ما دالةً مجالها مجموعة الأعداد الطبيعية ، فإن المتتالية الدورية هي ببساطة نوع خاص من الدوال الدورية . ^{[ 4 ]} أصغر قيمة لـ p تجعل المتتالية الدورية دورية من الرتبة p تُسمى دورتها الصغرى ^{[ 1 ]} أو دورتها الدقيقة .

كل دالة ثابتة دورية من الدرجة 1.

التسلسل${\displaystyle 1,2,1,2,1,2\dots }$دورية ذات دورة 2 على الأقل.

إن تسلسل الأرقام في التمثيل العشري للعدد 1/7 دوري وله دورة مقدارها 6:

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots }$

وبشكل عام، فإن تسلسل الأرقام في التمثيل العشري لأي عدد نسبي يكون دوريًا في النهاية (انظر أدناه). ^{[ 5 ]}

متتالية قوى العدد -1 دورية ودورتها اثنان:

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\ldots }$

بشكل عام، تكون متتالية قوى أي جذر للوحدة دورية. وينطبق الأمر نفسه على قوى أي عنصر من رتبة منتهية في زمرة . ويمكن كتابة كل متتالية دورية من الأعداد على شكل متعددة حدود.${\displaystyle p(x)}$، مُقَيَّمة عند قوى جذر الوحدة:${\displaystyle a_{i}=p(z^{i})}$أين${\displaystyle z}$هو جذر للوحدة رتبته هي دورة المتتالية. ^{[ 4 ]}

النقطة الدورية للدالة f  : X → X هي النقطة x التي مدارها

${\displaystyle x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }$

هي متتالية دورية. هنا،${\displaystyle f^{n}(x)}$يعني ذلك التركيب النوني للدالة f المطبقة على x . النقاط الدورية مهمة في نظرية الأنظمة الديناميكية . كل دالة من مجموعة منتهية إلى نفسها لها نقطة دورية؛ اكتشاف الدورة هو المسألة الخوارزمية لإيجاد مثل هذه النقطة.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n},\qquad \prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}={\biggl (}{\prod _{n=1}^{p}a_{n}}{\biggr )}^{k}\cdot \prod _{n=1}^{m}a_{n}}$،

أين${\displaystyle m<p}$و${\displaystyle k}$هي أعداد صحيحة موجبة.

يمكن بناء أي متتالية دورية عن طريق الجمع والطرح والضرب والقسمة لعناصر متتالية دورية تتكون من أصفار وواحدات. ويمكن التعبير عن المتتاليات الدورية المكونة من أصفار وواحدات كمجموع دوال مثلثية.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{0}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{1}}\right)/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{1}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{2}}\right)/2=1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{2}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{3}}\right)/3=1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,\cdots }$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{N}}\right)/N=1,0,0,0,\cdots ,1,\cdots \quad {\text{sequence with period }}N}$

إحدى الطرق القياسية لإثبات هذه المتطابقات هي تطبيق صيغة دي موافر على جذر الوحدة المقابل . وتُعد هذه المتتاليات أساسية في دراسة نظرية الأعداد .

تكون المتتالية دورية في النهاية أو دورية نهائياً ^{[ 1 ]} إذا أمكن جعلها دورية بحذف عدد محدود من الحدود من بدايتها. وبصورة مكافئة، يمكن صياغة الشرط الأخير على النحو التالي: ${\displaystyle a_{k+r}=a_{k}}$لبعض قيم r و k كبيرة بما فيه الكفاية . على سبيل المثال، يكون تسلسل الأرقام في التمثيل العشري للعدد 1/56 دوريًا في النهاية:

1 / 56 = 0.017857142857142857142 ...        

تكون المتتالية دورية تقاربياً إذا اقتربت حدودها من حدود متتالية دورية. أي أن المتتالية x₁ , _x₂ , _x₃ , _... تكون دورية تقاربياً إذا وُجدت متتالية دورية a₁ , a₂ _, a₃ _{, ...} بحيث      

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$^{[ 3 ]}

على سبيل المثال، التسلسل

١/٣، ٢/٣، ١/٤، ٣/٤، ١/٥ ، ٤/٥، ...            

هي دورية تقاربياً، لأن حدودها تقترب من حدود المتتالية الدورية 0، 1، 0، 1، 0، 1، ....

• جميع المتتابعات الدورية في OEIS