أحادي حر

في الجبر المجرد ، يُعرف المونويد الحر على مجموعة ما بأنه المونويد الذي تتكون عناصره من جميع المتتاليات (أو السلاسل) المنتهية المكونة من صفر أو أكثر من عناصر تلك المجموعة، حيث تكون عملية دمج السلاسل هي عملية المونويد، وتكون المتتالية الوحيدة المكونة من صفر عنصر، والتي تُسمى غالبًا السلسلة الفارغة ويُرمز لها بـ ε أو λ، هي عنصر الوحدة . يُرمز عادةً للمونويد الحر على المجموعة A بالرمز A ^* . أما شبه الزمرة الحرة على A فهي شبه الزمرة الجزئية من A ^* التي تحتوي على جميع العناصر باستثناء السلسلة الفارغة. ويُرمز لها عادةً بالرمز A ⁺ . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

وبشكل أعم، يُوصف المونويد المجرد (أو شبه المجموعة) S بأنه حر إذا كان متماثلاً مع المونويد الحر (أو شبه المجموعة) على مجموعة ما. ^{[ 3 ]}

كما يوحي الاسم، فإنّ المونويدات الحرة وأنصاف الزمر الحرة هي تلك الكائنات التي تحقق الخاصية العامة المعتادة التي تُعرّف الكائنات الحرة ، في فئتي المونويدات وأنصاف الزمر على التوالي. ويترتب على ذلك أن كل مونويد (أو نصف زمرة) ينشأ كصورة متماثلة لمونويد (أو نصف زمرة) حر. وتُسمى دراسة أنصاف الزمر كصور لأنصاف الزمر الحرة بنظرية أنصاف الزمر التوافقية.

تُعتبر المونويدات الحرة (والمونويدات عمومًا) تجميعية بحكم تعريفها؛ أي أنها تُكتب بدون أقواس للدلالة على التجميع أو ترتيب العمليات. أما المكافئ غير التجميعي فهو الصهارة الحرة .

أمثلة

الأعداد الطبيعية

المونويد ( N₀ _, +) للأعداد الطبيعية (بما فيها الصفر) تحت عملية الجمع هو مونويد حر على مولد حر أحادي، وهو في هذه الحالة العدد الطبيعي 1. وفقًا للتعريف الرسمي، يتكون هذا المونويد من جميع المتتاليات مثل "1"، "1+1"، "1+1+1"، "1+1+1+1"، وهكذا، بما في ذلك المتتالية الفارغة. إن ربط كل متتالية من هذه المتتاليات بنتيجة تقييمها ^{[ 4 ]} والمتتالية الفارغة بالصفر يُنشئ تماثلًا من مجموعة هذه المتتاليات إلى N₀ _. هذا التماثل متوافق مع "+"، أي أنه لأي متتاليتين s و t ، إذا تم ربط s (أي تقييمها) بالعدد m و t بالعدد n ، فإن مجموعهما s + t يُربط بالعدد m + n .

المجموعات

المونويد الحر على مجموعة الأعداد الطبيعية N₀ هو ( T , ⟨⟩ , : _:) ، حيث T تُمثل مجموعة أزواج الأعداد الطبيعية، و⟨⟩ تُمثل الزوج الصفري الوحيد، و :: تُمثل دمج الأزواج. المونويدان ( N₀ _, +) و( T , ⟨⟩ , ::) ليسا متماثلين، لأن + تبديلي، بينما :: ليس كذلك.

كلين ستار

في نظرية اللغات الصورية ، يُنظر عادةً إلى مجموعة منتهية من "الرموز" A (تُسمى أحيانًا الأبجدية ) . يُطلق على التسلسل المنتهي من الرموز اسم "كلمة فوق A "، ويُطلق على المونويد الحر A ^* اسم " نجمة كلين لـ A ". وبالتالي، يمكن اعتبار الدراسة المجردة للغات الصورية دراسةً للمجموعات الجزئية من المونويدات الحرة المولدة توليدًا منتهيًا.

على سبيل المثال، بافتراض أن الأبجدية A = { a , b , c }، فإن نجمة كلين A ^∗ تحتوي على جميع تركيبات a و b و c :

{ε، a ، ab ، ba ، caa ، cccbabbc ، ...}.

إذا كانت A أي مجموعة، فإن دالة طول الكلمة على A ^* هي التشاكل الأحادي الوحيد من A ^* إلى ( N ₀ ,+) الذي يُسقط كل عنصر من A على 1. وبالتالي، فإن الأحادية الحرة هي أحادية متدرجة . ^{[ 5 ]} (أحادية متدرجة) $M$ هي مجموعة أحادية يمكن كتابتها على النحو التالي $M=M_{0}\oplus M_{1}\oplus M_{2}\cdots$ . كل $M_{n}$ هو تصنيف؛ التصنيف هنا هو مجرد طول الخيط. أي، $M_{n}$ يحتوي على تلك السلاسل ذات الطول $n.$ ال $\oplus$ يمكن اعتبار الرمز هنا بمعنى "اتحاد المجموعة"؛ ويتم استخدامه بدلاً من الرمز $\cup$ لأن اتحادات المجموعات، بشكل عام، قد لا تكون أحاديات، ولذلك يُستخدم رمز مميز. وبحسب الاصطلاح، تُكتب التدرجات دائمًا باستخدام $\oplus$ رمز.)

توجد روابط وثيقة بين نظرية أنصاف الزمر ونظرية الأوتوماتا . فعلى سبيل المثال، لكل لغة صورية أحادي نحوي يتعرف عليها. وفي حالة اللغة المنتظمة ، يكون هذا الأحادي متماثلًا مع أحادي الانتقال المرتبط بشبه أوتوماتا أوتوماتا حتمية محدودة تتعرف على تلك اللغة. اللغات المنتظمة على أبجدية A هي إغلاق المجموعات الجزئية المحدودة من A*، والأحادي الحر على A، تحت عمليات الاتحاد والضرب وتوليد الأحادي الجزئي. ^{[ 6 ]}

في حالة الحوسبة المتزامنة ، أي الأنظمة التي تستخدم الأقفال أو المؤشرات المتبادلة أو عمليات ربط الخيوط ، يمكن وصف الحوسبة باستخدام أحاديات التاريخ وأحاديات التتبع . وبشكل عام، يمكن لعناصر الأحادية أن تتبادل (على سبيل المثال، يمكن للخيوط المختلفة أن تُنفذ بأي ترتيب)، ولكن فقط حتى الوصول إلى قفل أو مؤشر متبادل، مما يمنع المزيد من التبادل (على سبيل المثال، تسلسل وصول الخيوط إلى كائن ما).

تصريف الكلمات

مثال على الحالة الأولى من قابلية القسمة المتساوية: m="UNCLE"، n="ANLY"، p="UN"، q="CLEANLY"، و s="CLE"

نُعرّف زوج الكلمات في A ^* من الشكل uv و vu على أنهما مترافقان : وبالتالي، فإن مترافقي الكلمة هما إزاحاتها الدائرية . ^{[ 7 ]} تكون كلمتان مترافقتين بهذا المعنى إذا كانتا مترافقتين بمعنى نظرية الزمر ^{كعنصرين} في الزمرة الحرة المولدة بواسطة A. [ ^{8 ]}

قابلية التكافؤ

المونويد الحر قابل للقسمة بالتساوي : إذا تحققت المعادلة mn = pq ، فإنه يوجد عنصر s بحيث يكون إما m = ps و sn = q (انظر الصورة كمثال) أو ms = p و n = sq . ^{[ 9 ]} تُعرف هذه النتيجة أيضًا باسم مبرهنة ليفي . ^{[ 10 ]}

تكون المونويد حرة إذا وفقط إذا كانت متدرجة (بالمعنى الدقيق للكلمة أن العنصر المحايد فقط هو الذي له تدرج 0) وقابلة للقسمة بالتساوي. ^{[ 9 ]}

مولدات مجانية ورتب

تُسمى عناصر المجموعة A بالمولدات الحرة لـ A ^* و A ⁺ . ويُفهم من الرمز * في هذه الحالة أنه نجمة كلين . وبشكل أعم، إذا كانت S شبه زمرة حرة مجردة (مونويد)، فإن مجموعة العناصر التي تُسقط على مجموعة الكلمات ذات الحرف الواحد تحت تماثل مع مونويد A ^* (شبه زمرة A ⁺ ) تُسمى مجموعة مولدات حرة لـ S.

كل مجموعة أحادية حرة (أو شبه مجموعة) S لها مجموعة واحدة بالضبط من المولدات الحرة، وتسمى رتبة S عدد عناصرها .

تكون مجموعتان أحاديتان حرتان أو شبه مجموعتين متماثلتين إذا وفقط إذا كانت لهما نفس الرتبة. في الواقع، تحتوي كل مجموعة مولدات لمجموعة أحادية حرة أو شبه مجموعة S على المولدات الحرة، لأن المولد الحر له طول كلمة يساوي 1، وبالتالي لا يمكن توليده إلا من خلال نفسه. وعليه، تكون المجموعة الأحادية الحرة أو شبه المجموعة مولدة توليداً منتهياً إذا وفقط إذا كانت لها رتبة منتهية.

تكون المجموعة الفرعية N من A ^* مستقرة إذا كان انتماء u و v و ux و xv إلى N يستلزم انتماء x إلى N. ^{[ 11 ]} وتكون المجموعة الفرعية من A ^* مستقرة إذا وفقط إذا كانت حرة. [ ^{12 ] على} سبيل المثال، باستخدام مجموعة البتات {"0", "1"} كـ A ، فإن المجموعة N من جميع سلاسل البتات التي تحتوي على عدد زوجي من "1" هي مجموعة فرعية مستقرة، لأنه إذا احتوت u على عدد زوجي من "1"، وكذلك ux، فيجب أن تحتوي x أيضًا على عدد زوجي من "1". في حين أنه لا يمكن توليد N بحرية بواسطة أي مجموعة من البتات المفردة، إلا أنه يمكن توليدها بحرية بواسطة مجموعة سلاسل البتات {"0", "11", "101", "1001", "10001", ...} – وهي مجموعة السلاسل من الشكل "10 ⁿ 1" لعدد صحيح غير سالب n (إلى جانب السلسلة "0").

الرموز

تُسمى مجموعة المولدات الحرة لـ P أحاديًا حرًا بالأساس لـ P : مجموعة الكلمات C هي رمز إذا كان C * أحاديًا حرًا و C أساسًا. ^{[ 3 ]} مجموعة الكلمات X في A ^* هي بادئة ، أو لها خاصية البادئة ، إذا لم تحتوي على بادئة (سلسلة نصية) صحيحة لأي من عناصرها . كل بادئة في A ⁺ هي رمز، بل هي رمز بادئة . ^{[ 3 ]}^{[ 13 ]}

يكون شبه أحادي N من A ^* أحاديًا يمينيًا إذا كان x و xy في N يستلزم y في N. ويتولد شبه أحادي بواسطة بادئة إذا وفقط إذا كان أحاديًا يمينيًا. ^{[ 14 ]}

التحليل إلى عوامل

تحليل أحادي حر هو سلسلة من المجموعات الجزئية من الكلمات، بحيث يمكن كتابة كل كلمة في الأحادية الحرة على شكل سلسلة من العناصر المختارة من تلك المجموعات الجزئية. تنص نظرية تشين-فوكس-ليندون على أن كلمات ليندون تُوفر تحليلًا. وبشكل أعم، تُوفر كلمات هول تحليلًا؛ وتُعد كلمات ليندون حالة خاصة من كلمات هول.

هيكل حر

تقاطع المجموعات الجزئية الحرة من مجموعة أحادية حرة A ^* هو تقاطع حر أيضًا. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} إذا كانت S مجموعة جزئية من مجموعة أحادية حرة A *، فإن تقاطع جميع المجموعات الجزئية الحرة من A * التي تحتوي على S يكون مُعرَّفًا جيدًا، لأن A * نفسها حرة، وتحتوي على S ؛ فهي مجموعة أحادية حرة وتُسمى الغلاف الحر لـ S. أساس هذا التقاطع هو رمز.

تنص نظرية العيب ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]} على أنه إذا كانت X مجموعة محدودة و C هي أساس الغلاف الحر لـ X ، فإن X إما أن تكون رمزًا و C = X ، أو

| C | ≤ | X | − 1 .

المورفيزمات

التشاكل الأحادي f من أحادي حر B ^* إلى أحادي M هو دالة تحقق f ( xy ) = f ( x ) ⋅ f ( y ) للكلمتين x و y ، و f (ε) = ι، حيث ε و ι يمثلان عنصري الوحدة في B ^* و M على التوالي. يُحدد التشاكل f بقيمه على حروف B ، والعكس صحيح، أي دالة من B إلى M تُمدد إلى تشاكل. يكون التشاكل غير ماسح ^{[ 18 ]} أو متصل ^{[ 19 ]} إذا لم يُسقط أي حرف من B على ι، ويكون تافهاً إذا أسقط كل حرف من B على ι. ^{[ 20 ]}

يكون التشاكل f من أحادي حر B ^* إلى أحادي حر A ^* كليًا إذا ظهر كل حرف من A في كلمة ما في صورة f ؛ ودوريًا ^{[ 20 ]} أو دوريًا ^{[ 21 ]} إذا كانت صورة f محتواة في { w } ^* لكلمة w من A ^* . يكون التشاكل f منتظمًا من الرتبة k إذا كان طوله | f ( a )| ثابتًا ويساوي k لجميع a في A. ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]} يكون التشاكل المنتظم من الرتبة 1 أبجديًا بحتًا ^{[ 19 ]} أو ترميزًا . ^{[ 24 ]}

يكون التشكل f من أحادي حر B ^* إلى أحادي حر A ^* قابلاً للتبسيط إذا وُجدت أبجدية C ذات عدد عناصر أقل من عدد عناصر B بحيث يمر التشكل f عبر C ^* ، أي أنه تركيب تشكل من B ^* إلى C ^* وتشكل من C* إلى A ^* ؛ وإلا فإن f يكون تشكلاً أولياً . يُسمى التشكل f رمزاً إذا كانت صورة الأبجدية B تحت تأثير f رمزاً. كل تشكل أولي هو رمز. ^{[ 25 ]}

مجموعات الاختبار

إذا كانت L مجموعة جزئية من B ^* ، فإن أي مجموعة جزئية منتهية T من L تُعتبر مجموعة اختبار لـ L إذا وفقط إذا تطابقت التشكلات f و g على B ^* على L وتطابقت على T. وتنص فرضية إهرنفويشت على أن أي مجموعة جزئية L لها مجموعة اختبار: ^{[ 26 ]} وقد تم إثباتها ^{[ 27 ]} بشكل مستقل من قبل ألبرت ولورانس، وماكنوتون، وغوبا. وتعتمد البراهين على نظرية أساس هيلبرت . ^{[ 28 ]}

خريطة وطيّ

التجسيد الحسابي لتشاكل أحادي هو دالة متبوعة بعملية طي . ^{[ 29 ]} في هذا السياق، يتوافق الأحادي الحر على مجموعة A مع قوائم العناصر من A مع دمجها كعملية ثنائية. وتشاكل الأحادي من الأحادي الحر إلى أي أحادي آخر ( M ,•) هو دالة f بحيث

f ( x ₁ ... x _n ) = f ( x ₁ ) • ... • f ( x _n )
f () = e

حيث e هي الدالة المحايدّة على M. حسابيًا، يُقابل كل تشاكل من هذا النوع عملية تطبيق f على جميع عناصر القائمة، متبوعةً بعملية دمج تجمع النتائج باستخدام المعامل الثنائي •. وقد ألهم هذا النموذج الحسابي (الذي يمكن تعميمه على المعاملات الثنائية غير التجميعية) إطار عمل برمجيات MapReduce . ^{[ 30 ]}

التشكلات الداخلية

التشاكل الداخلي لـ A ^* هو تشاكل من A ^* إلى نفسه. ^{[ 31 ]} خريطة التطابق I هي تشاكل داخلي لـ A ^* ، وتشكل التشاكلات الداخلية شبه زمرة تحت تركيب الدوال .

يكون التشاكل الداخلي f قابلاً للتمديد إذا كان هناك حرف a بحيث يكون f ( a ) = as لسلسلة غير فارغة s . ^{[ 32 ]}

إسقاط السلسلة

عملية إسقاط السلسلة هي تشاكل داخلي. أي، إذا كان لدينا حرف a ∈ Σ وسلسلة s ∈ Σ ^∗ ، فإن إسقاط السلسلة pa ₍s ) يزيل كل ظهور للحرف a من السلسلة s ؛ ويتم تعريفه رسميًا كما يلي:

p_{a}(s)={\begin{cases}\varepsilon &{\text{إذا كان }}s=\varepsilon ,{\text{السلسلة الفارغة}}\\p_{a}(t)&{\text{إذا كان }}s=ta\\p_{a}(t)b&{\text{إذا كان }}s=tb{\text{و}}b\neq a.\end{cases}}

لاحظ أن إسقاط السلاسل مُعرَّف جيدًا حتى لو كانت رتبة المونويد غير منتهية، حيث أن التعريف التكراري أعلاه يعمل لجميع السلاسل ذات الطول المحدود. إسقاط السلاسل هو تشاكل في فئة المونويدات الحرة، بحيث

p_{a}\left(\Sigma ^{*}\right)=\left(\Sigma -a\right)^{*}

أين $p_{a}\left(\Sigma ^{*}\right)$ يُفهم أن هو الزمرة الحرة لجميع السلاسل المنتهية التي لا تحتوي على الحرف a . الإسقاط يتبادل مع عملية دمج السلاسل، بحيث $p_{a}(st)=p_{a}(s)p_{a}(t)$ لجميع السلاسل s و t . هناك العديد من المعكوسات اليمنى لإسقاط السلسلة، وبالتالي فهو شكل فوقي منقسم .

التشاكل المحايد هو $p_{\varepsilon },$ يُعرَّف بأنه $p_{\varepsilon }(s)=s$ لجميع السلاسل s ، و $p_{\varepsilon }(\varepsilon )=\varepsilon$ .

إسقاط السلاسل عملية تبادلية، كما هو واضح

p_{a}(p_{b}(s))=p_{b}(p_{a}(s)).

بالنسبة للمونيدات الحرة ذات الرتبة المحدودة، فإن هذا يتبع من حقيقة أن المونيدات الحرة من نفس الرتبة متماثلة، حيث أن الإسقاط يقلل رتبة المونيد بمقدار واحد.

إسقاط السلسلة هو عملية متكررة ، كما هو الحال

p_{a}(p_{a}(s))=p_{a}(s)

لجميع السلاسل s . وبالتالي، فإن الإسقاط هو عملية تبادلية متماثلة، ومن ثم يشكل شبه شبكة محدودة أو نطاقًا تبادليًا .

الزمرة التبادلية الحرة

بالنظر إلى مجموعة A ، فإن المجموعة الأحادية التبادلية الحرة على A هي مجموعة جميع المجموعات المتعددة المنتهية التي تحتوي على عناصر مأخوذة من A ، حيث تكون عملية المجموعة الأحادية هي مجموع المجموعات المتعددة ووحدة المجموعة الأحادية هي المجموعة المتعددة الفارغة.

على سبيل المثال، إذا كانت A = { a , b , c }، فإن عناصر الزمرة التبادلية الحرة على A تكون على الشكل التالي:

{ε, a , ab , a ²b , ab ³c ⁴ , ...}.

تنص النظرية الأساسية للحساب على أن مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة تحت الضرب هي مجموعة تبديلية حرة على مجموعة لانهائية من المولدات، وهي الأعداد الأولية .

شبه المجموعة التبادلية الحرة هي المجموعة الجزئية من شبه الزمرة التبادلية الحرة التي تحتوي على جميع المجموعات المتعددة التي تحتوي على عناصر مأخوذة من A باستثناء المجموعة المتعددة الفارغة.

المونويد الحر شبه التبادلي ، أو مونويد الأثر ، هو تعميم يشمل كلاً من المونويد الحر والمونويد الحر التبادلي كأمثلة. يجد هذا التعميم تطبيقات في التوافقية وفي دراسة التوازي في علوم الحاسوب .

انظر أيضاً

عمليات السلاسل النصية

ملحوظات

^ لوثير (1997 ، ص 2–3) ،
↑ بيثياس فوغ (2002 ، ص 2)
1 2 3 لوثير (1997 ، ص 5)
↑ بما أن جمع الأعداد الطبيعية هو عملية تجميعية، فإن النتيجة لا تعتمد على ترتيب التقييم، مما يضمن أن يكون الربط محددًا جيدًا.
↑ ساكاروفيتش (2009) ص 382
↑ بوروفيك، ألكسندر (1 يناير 2005). المجموعات، واللغات، والخوارزميات: جلسة خاصة مشتركة بين الجمعية الأمريكية للرياضيات وجمعية لغة الإشارة الأمريكية حول التفاعلات بين المنطق ونظرية المجموعات وعلوم الحاسوب، 16-19 يناير 2003، بالتيمور، ماريلاند . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 9780821836187.
↑ ساكاروفيتش (2009) ص 27
↑ بيثياس فوغ (2002 ، ص 297)
1 2 ساكاروفيتش (2009) ص. 26
↑ دي لوكا، ألدو؛ فاريكيو، ستيفانو (1999). التناهي والانتظام في أنصاف الزمر واللغات الرسمية . سبرينغر برلين هايدلبرغ. ص 2. ISBN 978-3-642-64150-3.
^ بيرستل، بيرين وروتيناور (2010 ، ص. 61)
^ بيرستل، بيرين وروتيناور (2010 ، ص. 62)
^ بيرستل، بيرين وروتيناور (2010 ، ص. 58)
↑ لوثير (1997 ، ص 15)
1 2 لوثير (1997 ، ص 6)
1 2 لوثير (2011 ، ص 204)
^ بيرستل، بيرين وروتيناور (2010 ، ص. 66)
↑ لوثير (1997 ، ص 7)
1 2 ساكاروفيتش (2009 ، ص 25)
1 2 لوثير (1997 ، ص 164)
↑ سالوما (1981 ، ص 77)
↑ لوثير (2005 ، ص 522)
↑ بيرستل، جان؛ رويتناور، كريستوف (2011). المتسلسلات الكسرية غير التبادلية مع تطبيقاتها . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد 137. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ص 103. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007 .
^ علوش وشاليط (2003 ، ص 9)
↑ سالوما (1981 ، ص 72)
^ لوثير (1997 ، ص 178–179)
↑ لوثير (2011 ، ص 451)
↑ سالوما، أ. (أكتوبر 1985). "فرضية إهرنفويشت: برهان لنظريي اللغة". نشرة الجمعية الأوروبية لنظريات ودراسات اللغة (27): 71-82 .
↑ بيرد، ريتشارد س. (1989)، "محاضرات في البرمجة الوظيفية البنائية" ، في بروي، مانفريد (محرر)، الأساليب البنائية في علوم الحاسوب ، برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ، ص 151-217 ، doi : 10.1007/978-3-642-74884-4_5 ، ISBN 978-3-642-74886-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 ديسمبر 2025
↑ "ما هو MapReduce؟ | IBM" . www.ibm.com . 19 نوفمبر 2024. تاريخ الاطلاع: 22 أكتوبر 2025 .
↑ لوثير (2011 ، ص 450)
^ علوش وشاليط (2003) ص.10

مراجع

ألوش، جان بول؛ شاليت، جيفري (2003)، المتتاليات التلقائية: النظرية والتطبيقات والتعميمات ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-82332-6، Zbl 1086.11015
بيرستل، جان ؛ بيرين، دومينيك ؛ رويتناور، كريستوف (2010)، الشفرات والآلات ، موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد 129، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-88831-8، Zbl 1187.94001
لوثير، م. (1997)، التوافقية على الكلمات ، مكتبة كامبريدج الرياضية، المجلد 17، المساهمون: بيرين، د.؛ رويتناور، س.؛ بيرستل، ج.؛ بين، ج.إ.؛ بيريلو، ج.؛ فواتا، د.؛ ساكاروفيتش، ج.؛ سيمون، إ.؛ شوتزنبرغر، م.ب.؛ شوفروت، س.؛ كوري، ر. محررو السلسلة: ليندون، روجر؛ روتا، جيان كارلو. مقدمة بقلم روجر ليندون ( الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج ، doi : 10.1017/CBO9780511566097 ، ISBN 0-521-59924-5، MR 1475463 ، Zbl 0874.20040
لوثير، م. (2011)، التوافقية الجبرية على الكلمات ، موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد 90، مع مقدمة بقلم جان بيرستيل ودومينيك بيرين (إعادة طبع الطبعة ذات الغلاف المقوى لعام 2002)، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-18071-9Zbl 1221.68183
لوثير، م. (2005)، التوافقيات التطبيقية على الكلمات ، موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد. 105، عمل جماعي لجان بيرستل، دومينيك بيرين، ماكسيم كروشيمور، إريك لابورت، مهريار موهري، نادية بيسانتي، ماري فرانس ساغوت، جيسين رينرت ، صوفي شبات ، مايكل ووترمان، فيليب جاكيه، فويتشيك شبانكوفسكي ، دومينيك بولالهون، جيل شيفر، رومان كولباكوف، غريغوري. كوتشيروف، جان بول ألوش وفاليري بيرتي ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 0-521-84802-4، Zbl 1133.68067
بيثياس فوج، ن. (2002)، بيرثي، فاليري ؛ فيرينزي، سيباستيان؛ مودويت، كريستيان؛ Siegel، A. (eds.)، البدائل في الديناميكيات والحسابات والتوافقيات ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات، المجلد. 1794، برلين: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 3-540-44141-7، Zbl 1014.11015
ساكاروفيتش، جاك (2009)، عناصر نظرية الأوتوماتا ، ترجمة روبن توماس من الفرنسية، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-84425-3، Zbl 1188.68177
سالوما، أرتو (1981)، جواهر نظرية اللغة الرسمية ، دار نشر بيتمان، رقم ISBN 0-273-08522-0، Zbl 0487.68064

[Lot23-1] لوثير (1997 ، ص 2–3) ،

[PF2-2] بيثياس فوغ (2002 ، ص 2)

[Lot5-3] 1 2 3 لوثير (1997 ، ص 5)

[4] بما أن جمع الأعداد الطبيعية هو عملية تجميعية، فإن النتيجة لا تعتمد على ترتيب التقييم، مما يضمن أن يكون الربط محددًا جيدًا.

[Sak382-5] ساكاروفيتش (2009) ص 382

[6] بوروفيك، ألكسندر (1 يناير 2005). المجموعات، واللغات، والخوارزميات: جلسة خاصة مشتركة بين الجمعية الأمريكية للرياضيات وجمعية لغة الإشارة الأمريكية حول التفاعلات بين المنطق ونظرية المجموعات وعلوم الحاسوب، 16-19 يناير 2003، بالتيمور، ماريلاند . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 9780821836187.

[Sak27-7] ساكاروفيتش (2009) ص 27

[PF297-8] بيثياس فوغ (2002 ، ص 297)

[Sak26-9] 1 2 ساكاروفيتش (2009) ص. 26

[LucaVarricchio2011-10] دي لوكا، ألدو؛ فاريكيو، ستيفانو (1999). التناهي والانتظام في أنصاف الزمر واللغات الرسمية . سبرينغر برلين هايدلبرغ. ص 2. ISBN 978-3-642-64150-3.

[BPR61-11] بيرستل، بيرين وروتيناور (2010 ، ص. 61)

[BPR62-12] بيرستل، بيرين وروتيناور (2010 ، ص. 62)

[BPR58-13] بيرستل، بيرين وروتيناور (2010 ، ص. 58)

[Lot15-14] لوثير (1997 ، ص 15)

[Lot6-15] 1 2 لوثير (1997 ، ص 6)

[LotII204-16] 1 2 لوثير (2011 ، ص 204)

[BPR66-17] بيرستل، بيرين وروتيناور (2010 ، ص. 66)

[Lot7-18] لوثير (1997 ، ص 7)

[Sak25-19] 1 2 ساكاروفيتش (2009 ، ص 25)

[Lot164-20] 1 2 لوثير (1997 ، ص 164)

[Sal77-21] سالوما (1981 ، ص 77)

[ApCoW522-22] لوثير (2005 ، ص 522)

[BR103-23] بيرستل، جان؛ رويتناور، كريستوف (2011). المتسلسلات الكسرية غير التبادلية مع تطبيقاتها . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد 137. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ص 103. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007 .

[AS9-24] علوش وشاليط (2003 ، ص 9)

[Sal72-25] سالوما (1981 ، ص 72)

[Lot1789-26] لوثير (1997 ، ص 178–179)

[LotII451-27] لوثير (2011 ، ص 451)

[28] سالوما، أ. (أكتوبر 1985). "فرضية إهرنفويشت: برهان لنظريي اللغة". نشرة الجمعية الأوروبية لنظريات ودراسات اللغة (27): 71-82 .

[29] بيرد، ريتشارد س. (1989)، "محاضرات في البرمجة الوظيفية البنائية" ، في بروي، مانفريد (محرر)، الأساليب البنائية في علوم الحاسوب ، برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ، ص 151-217 ، doi : 10.1007/978-3-642-74884-4_5 ، ISBN 978-3-642-74886-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 ديسمبر 2025

[30] "ما هو MapReduce؟ | IBM" . www.ibm.com . 19 نوفمبر 2024. تاريخ الاطلاع: 22 أكتوبر 2025 .

[LotII450-31] لوثير (2011 ، ص 450)

[AS10-32] علوش وشاليط (2003) ص.10

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

كعنصرين

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

12 ] على

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗