عدد إقليد

في الرياضيات ، تُعرف أعداد إقليدس بأنها أعداد صحيحة على الصورة E _{_n} = p_{_n} #  + 1 ، حيث p _{_n} # هو العدد الأولي النوني (حاصل ضرب أول n عدد أولي ). سُميت هذه الأعداد نسبةً إلى عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس ، وذلك لارتباطها بنظرية إقليدس التي تنص على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

عدد إقليدس من النوع الثاني (يسمى أيضًا عدد كومر ) هو عدد صحيح على شكل E _n = p _n #  − 1، حيث p _n # هو العدد الأولي رقم n .

على سبيل المثال، الأعداد الأولية الثلاثة الأولى هي 2 و3 و5؛ حاصل ضربها هو 30، والعدد الإقليدي المقابل هو 31.

الأرقام القليلة الأولى من إقليدس هي 3 ، 7 ، 31 ، 211 ، 2311، 30031، 510511، 9699691، 223092871، 6469693231، 200560490131، ... (التسلسل A006862 في OEIS ) .

الأرقام القليلة الأولى من كومر هي 1، 5، 29، 209، 2309، 30029، 510509، 9699689، 223092869، 6469693229، 200560490129، ... (التسلسل A057588 في OEIS ) .

يُقال أحيانًا خطأً أن برهان إقليدس الشهير على لانهائية الأعداد الأولية اعتمد على هذه الأعداد. ^{[ 1 ]} لم يبدأ إقليدس بافتراض أن مجموعة جميع الأعداد الأولية منتهية. بل قال: لننظر إلى أي مجموعة منتهية من الأعداد الأولية (لم يفترض أنها تحتوي فقط على أول n عدد أولي)، ثم استنتج من ذلك وجود عدد أولي واحد على الأقل ليس ضمن تلك المجموعة. ^{[ 2 ]} ومع ذلك، فإن حجة إقليدس، عند تطبيقها على مجموعة أول n عدد أولي، تُظهر أن العدد الإقليدي رقم n له عامل أولي ليس ضمن هذه المجموعة.

ليست كل أعداد إقليدس أو كومر أولية. العدد المركب الأول في إقليدس هو E ₆ = 13#  + 1 = 30031 = 59 × 509 ، والعدد المركب الأول في كومر هو E ₄ = 7# − 1 = 209 = 11 × 19.   

لكل عدد n ≥ 3، يكون الرقم الأخير من E _n هو 1، لأن E _n − 1 يقبل القسمة على 2 و5. بعبارة أخرى، بما أن جميع الأعداد الأولية الأكبر من E ₂ لها 2 و5 كعوامل أولية، فإنها تقبل القسمة على 10، وبالتالي فإن جميع الأعداد E _{n  ≥  3} + 1 يكون رقمها الأخير 1. وبالمثل، فإن الرقم الأخير من كل عدد كومر هو 9.

لا توجد أعداد إقليدية أو كومر تمثل قوى كاملة . ^{[ 3 ]}

لا يُعرف ما إذا كان هناك عدد لا نهائي من الأعداد الإقليدية الأولية ( الأعداد الأولية ) ^{[ 4 ]} أو أعداد كومر الأولية. ^{[ 5 ]} كما أنه من غير المعروف ما إذا كان كل عدد إقليدي عددًا خاليًا من المربعات . ^{[ 6 ]}

• تسلسل إقليد-مولين
• إثبات لانهائيّة الأعداد الأولية (نظرية إقليدس)

• كالدول، كريس ك.؛ غالوت، إيف (2002). "حول أسبقية${\displaystyle n!\pm 1}$و${\displaystyle 2\times 3\times 5\times \dotsb \times p\pm 1}$" . رياضيات الحوسبة . 71 : 442-443 . doi : 10.1090/S0025-5718-01-01315-1 . تم الاسترجاع في 2025-11-07 .