الأعداد الأولية

في الرياضيات ، العدد الأولي هو عدد أولي على الصورة p _n #  ± 1، حيث p _n # هو العدد الأولي لـ p _n (أي حاصل ضرب أول n عدد أولي). ^{[ 1 ]}

تُظهر اختبارات الأسبقية ما يلي:

p _n #  − 1 هو عدد أولي لـ n = 2، 3، 5، 6، 13، 24، 66، 68، 167، 287، 310، 352، 564، 590، 620، 849، 1552، 1849، 67132، 85586، 234725، 334023، 435582، 446895، ... (المتتالية A057704 في OEIS ) . ( p _n = 3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033, 15877, 843301, 1098133, 3267113, 4778027, 6354977, 6533299, ... (sequence A006794 in the OEIS ) )

p _n #  + 1 هو عدد أولي لـ n = 0، 1، 2، 3، 4، 5، 11، 75، 171، 172، 384، 457، 616، 643، 1391، 1613، 2122، 2647، 2673، 4413، 13494، 31260، 33237، 304723، 365071، 436504، 498865، ... (المتتالية A014545 في OEIS ) . ( p _n = 1, 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, 42209, 145823, 366439, 392113, 4328927, 5256037, 6369619, 7351117, 9562633, ..., (sequence A005234 in the OEIS ) )

الحد الأول من المتتالية الثالثة هو صفر لأن حاصل ضرب _p₀ # = 1 (نفترض أيضًا أن _p₀ = 1، انظر أولية الواحد ، وبالتالي فإن الحد الأول من المتتالية الرابعة هو 1) هو حاصل الضرب الفارغ ، وبالتالي فإن p₀ _# + 1 = 2 ، وهو عدد أولي. وبالمثل، فإن الحد الأول من المتتالية الأولى ليس 1 (وبالتالي فإن الحد الأول من المتتالية الثانية ليس 2 أيضًا)، لأن p₁ _# = 2، و2 - 1 = 1 ليس عددًا أوليًا. 

الأعداد الأولية القليلة الأولى هي 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 29 ، 31 ، 211 ، 2309 ، 2311 ، 30029، 200560490131، 304250263527209، 23768741896345550770650537601358309 (التسلسل A228486 في OEIS ) .

اعتبارًا من عام 2025^{[ 2 ]} ليس من المعروف ما إذا كان هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية، وليس من المعروف أيضًا ما إذا كان عدد لا نهائي من الأعداد التي على شكل p _n #  ± 1 أعدادًا مركبة .

اعتبارًا من يوليو 2025 أكبر عدد أولي معروف من الشكل p _n # − 1 هو 6533299#  − 1 (حيث n = 446,895) ويتكون من 2,835,864 رقمًا، وقد تم اكتشافه بواسطة مشروع PrimeGrid . ^{[ 3 ]}

اعتبارًا من يوليو 2025 أكبر عدد أولي معروف من الشكل p _n # + 1 هو 9562633# + 1 (حيث n = 637,491) ويتكون من 4,151,498 رقمًا، وقد تم اكتشافه أيضًا بواسطة مشروع PrimeGrid. ^{[ 3 ]}

يُساء فهم برهان إقليدس على لانهائية الأعداد الأولية بشكل شائع على أنه تعريف للأعداد الأولية الأولية، على النحو التالي: ^{[ 4 ]}

لنفترض أن أول n عدد أولي متتالي ، بما في ذلك 2، هي الأعداد الأولية الوحيدة الموجودة. إذا كان pn _#  + ₁ أو pn #  − 1 عددًا أوليًا، فهذا يعني وجود أعداد أولية أكبر من العدد الأولي رقم n (وإذا لم يكن أي منهما عددًا أوليًا، فهذا يثبت أيضًا لانهائية الأعداد الأولية، ولكن بشكل أقل مباشرة؛ فكل من هذين العددين يكون باقي قسمته على أي من الأعداد الأولية n الأولى إما p  − 1 أو 1 ، وبالتالي فإن جميع عوامله الأولية أكبر من _pn ) .

• تركيبي
• عدد إقليد
• عدد أولي مضروب

• أ. بورنينغ، "بعض النتائج لـ${\displaystyle k!+1}$و${\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot p+1}$" الرياضيات والحوسبة 26 (1972): 567-570.
• كريس كالدويل، أفضل عشرين: بريموريال في الصفحات الرئيسية .
• هارفي دوبنر، "الأعداد الأولية العاملية والأولية". مجلة الرياضيات المسجلة 19 (1987): 197-203.
• باولو ريبنبوم، الكتاب الجديد لسجلات الأعداد الأولية . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ (1989): 4.