رقم كيث

في الرياضيات الترفيهية ، يُعرف عدد كيث أو عدد ريبفيجيت (اختصارًا للعدد المتكرر الشبيه بمتتالية فيبوناتشي ) بأنه عدد طبيعي${\displaystyle n}$في نظام عددي معين${\displaystyle b}$مع${\displaystyle k}$الأرقام بحيث عندما يتم إنشاء تسلسل بحيث يكون الأول${\displaystyle k}$الشروط هي${\displaystyle k}$أرقام${\displaystyle n}$وكل حد لاحق هو مجموع الحد السابق${\displaystyle k}$شروط،${\displaystyle n}$يُعد جزءًا من المتتالية. تم تقديم أعداد كيث بواسطة مايك كيث في عام 1987. ^{[ 1 ]} من الصعب جدًا حسابيًا إيجادها، حيث لا يُعرف منها سوى حوالي 125 عددًا.

يترك${\displaystyle n}$ليكن عددًا طبيعيًا،${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ليكن عدد أرقام${\displaystyle n}$في القاعدة${\displaystyle b}$ودع

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b}}^{i+1}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

ليكن قيمة كل رقم من أرقام${\displaystyle n}$.

نُعرّف المتتالية${\displaystyle S(i)}$بواسطة علاقة تكرارية خطية . لـ${\displaystyle 0\leq i<k}$،

${\displaystyle S(i)=d_{ki-1}}$

ولـ${\displaystyle i\geq k}$

${\displaystyle S(i)=\sum _{j=0}^{k}S(i-k+j)}$

إذا كان هناك${\displaystyle i}$بحيث${\displaystyle S(i)=n}$، ثم${\displaystyle n}$ويُقال إنه عدد كيث .

على سبيل المثال، 88 هو عدد كيث في النظام السداسي ، كما

${\displaystyle S(0)=d_{3-0-1}=d_{2}={\frac {88{\bmod {6}}^{2+1}-88{\bmod {6}}^{2}}{6^{2}}}={\frac {88{\bmod {2}}16-88{\bmod {3}}6}{36}}={\frac {88-16}{36}}={\frac {72}{36}}=2}$

${\displaystyle S(1)=d_{3-1-1}=d_{1}={\frac {88{\bmod {6}}^{1+1}-88{\bmod {6}}^{1}}{6^{1}}}={\frac {88{\bmod {3}}6-88{\bmod {6}}}{6}}={\frac {16-4}{6}}={\frac {12}{6}}=2}$

${\displaystyle S(2)=d_{3-2-1}=d_{0}={\frac {88{\bmod {6}}^{0+1}-88{\bmod {6}}^{0}}{6^{0}}}={\frac {88{\bmod {6}}-88{\bmod {1}}}{1}}={\frac {4-0}{1}}={\frac {4}{1}}=4}$

والتسلسل بأكمله

${\displaystyle S(i)=\{2,2,4,8,14,26,48,88,162,\ldots \}}$

و${\displaystyle S(7)=88}$.

14 ، 19 ، 28 ، 47 ، 61 ، 75 ، 197، 742، 1104، 1537، 2208، 2580، 3684، 4788، 7385، 7647، 7909، 31331، 34285، 34348، 55604، 62662، 86935، 93993، 120284، 129106، 147640، 156146، 174680، 183186، 298320، 355419، 694280، 925993، 1084051، 7913837 11436171، 33445755، 44121607، 129572008، 251133297، ... ^{[ 4 ]}

في النظام العددي ذي الأساس 2 ، توجد طريقة لإنشاء جميع أعداد كيث. ^{[ 3 ]}

أعداد كيث في النظام الاثني عشري ، مكتوبة بالنظام الاثني عشري، هي

11، 15، 1Ɛ، 22، 2ᘔ، 31، 33، 44، 49، 55، 62، 66، 77، 88، 93، 99، ᘔᘔ، ƐƐ، 125، 215، 24ᘔ، 405، 42ᘔ، 654، 80ᘔ، 8ᘔ3، ᘔ59، 1022، 1662، 2044، 3066، 4088، 4ᘔ1ᘔ، 4ᘔƐ1، 50ᘔᘔ، 8538، Ɛ18Ɛ، 17256، 18671، 24ᘔ78، 4718Ɛ، 517Ɛᘔ، 157617، 1ᘔ265ᘔ، 5ᘔ4074، 5ᘔƐ140، 6Ɛ1449، 6Ɛ8515، ...

حيث يمثل ᘔ الرقم 10 ويمثل Ɛ الرقم 11.

مجموعة كيث هي مجموعة مترابطة من أعداد كيث بحيث يكون أحدها مضاعفًا للآخر. على سبيل المثال، في النظام العشري ،${\displaystyle \{14,28\}}$،${\displaystyle \{1104,2208\}}$، و${\displaystyle \{31331,62662,93993\}}$جميعها تجمعات كيث. ربما تكون هذه الأمثلة الثلاثة الوحيدة لتجمع كيث في النظام العشري . ^{[ 5 ]}

يوضح المثال أدناه كيفية تطبيق التسلسل المحدد أعلاه في لغة بايثون لتحديد ما إذا كان رقم ما في أساس معين هو رقم كيث:

دالة ` is_repfigit ( x : int , b : int ) -> bool` : """تحديد ما إذا كان عددٌ ما في نظامٍ عدديٍّ معينٍ هو عدد كيث.""" إذا كان x == 0 : تُرجع `True`المتتالية = [] ص = سبينما y > 0 : أضف ( y % b ) إلى التسلسل y = y // bعدد_الأرقام = طول ( التسلسل ) التسلسل.عكس ( )​بينما يكون طول التسلسل ناقص واحد أقل من x : n = 0 ، ثم لكل i في النطاق من 0 إلى عدد الأرقام : n = n + طول التسلسل ناقص عدد الأرقام + i ، ثم أضف n إلى التسلسل .​​​أرجع التسلسل [ طول ( التسلسل ) - 1 ] == x

• الديناميكا الحسابية
• عدد فيبوناتشي
• علاقة تكرارية خطية