رقم المكون المثالي

في نظرية الأعداد ، يُعرف العدد المثالي للدالة الوترية بأنه عدد صحيح يساوي مجموع دوال الوتر المتكررة له . أي، يتم تطبيق دالة الوتر على عدد n ، ثم تطبيقها مرة أخرى على دالة الوتر الناتجة، وهكذا، حتى الوصول إلى العدد 1، ثم يتم جمع سلسلة الأعداد الناتجة؛ إذا كان المجموع يساوي n ، فإن n هو عدد مثالي للدالة الوترية.

على سبيل المثال، هناك ستة أعداد صحيحة موجبة أقل من 9 وأولية نسبياً معه، لذا فإن دالة 9 هي 6؛ وهناك عددان أقل من 6 وأوليان نسبياً معه، لذا فإن دالة 6 هي 2؛ وهناك عدد واحد أقل من 2 وأولي نسبياً معه، لذا فإن دالة 2 هي 1؛ و 9 = 6 + 2 + 1 ، لذا فإن 9 هو عدد دالة مثالي.

الأعداد القليلة الأولى المثالية للدوال هي

3 ، 9 ، 15 ، 27 ، 39 ، 81 ، 111 ، 183 ، 243 ، 255 ، 327 ، 363 ، 471 ، 729، 2187، 2199، 3063، 4359، 4375، ... (التسلسل A082897 في OEIS ) .

بالرموز، يكتب المرء

${\displaystyle \varphi ^{i}(n)={\begin{cases}\varphi (n),&{\text{ إذا كان }}i=1\\\varphi (\varphi ^{i-1}(n)),&{\text{ إذا كان }}i\geq 2\end{cases}}}$

بالنسبة لدالة الدالة المتكررة. ثم إذا كان c عددًا صحيحًا بحيث

${\displaystyle \displaystyle \varphi ^{c}(n)=2,}$

يكون n عددًا مثاليًا للدالة إذا

${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{c+1}\varphi ^{i}(n).}$

يمكن ملاحظة أن العديد من الأعداد الكاملة ذات الحدين هي مضاعفات للعدد 3؛ في الواقع، 4375 هو أصغر عدد كامل ذي حدين لا يقبل القسمة على 3. جميع قوى العدد 3 هي أعداد كاملة ذات حدين، كما يمكن إثبات ذلك بالاستقراء باستخدام حقيقة أن

${\displaystyle \displaystyle \varphi (3^{k})=\varphi (2\times 3^{k})=2\times 3^{k-1}.}$

وجد فينكاتارامان (1975) عائلة أخرى من أعداد الـ tutient المثالية: إذا كان p = 4 × ^3k  +  1 عددًا أوليًا ، فإن 3p هو عدد tutient مثالي. قيم k التي تؤدي إلى أعداد tutient مثالية بهذه الطريقة هي

0، 1، 2، 3، 6، 14، 15، 39، 201، 249، 1005، 1254، 1635، ... (التسلسل A005537 في OEIS ) .

بشكل عام، إذا كان p عددًا أوليًا أكبر من 3، وكان 3p عددًا مثاليًا، فإن p ≡ 1 ( mod 4) (موهان وسوريانارايانا، 1982). لا تؤدي جميع قيم p من هذا الشكل إلى أعداد مثالية؛ على سبيل المثال، 51 ليس عددًا مثاليًا. أظهر إيانوتشي وآخرون (2003) أنه إذا كان 9p عددًا مثاليًا، فإن p يكون عددًا أوليًا من أحد الأشكال الثلاثة المحددة المذكورة في بحثهم. من غير المعروف ما إذا كانت هناك أي أعداد مثالية من الشكل 3kp ^حيث p عدد أولي و k > 3.

• بيريز كاتشو فيلافيردي، لوريانو (1939). "حول مجموع مؤشرات الأوامر الناجحة". ريفيستا ماتيماتيكا هيسبانو أمريكانا . 5 (3): 45-50 .

• جاي، ريتشارد ك. (2004). مسائل غير محلولة في نظرية الأعداد . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص.  §B41. ISBN 0-387-20860-7.

• إيانوتشي، دوغلاس إي.؛ دينغ، موجي؛ كوهين، غرايم إل. (2003). "حول أعداد الظرف المثالي" (ملف PDF) . مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . 6 (4): 03.4.5. رمز Bibcode : 2003JIntS...6...45I . MR 2051959. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 12 أغسطس 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 فبراير 2007 . 

• لوكا، فلوريان (2006). "حول توزيع الدوال المثالية" (ملف PDF) . مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . 9 (4): 06.4.4. رمز Bibcode : 2006JIntS...9...44L . MR 2247943. تاريخ الاسترجاع: 7 فبراير 2007 . 

• موهان، أ. ل.؛ سوريانارايانا، د. (1982). "أعداد الشد المثالية". نظرية الأعداد (ميسور، 1981) . سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 938، سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات 101-105 . MR 0665442 .  

• فينكاتارامان، ت. (1975). "عدد الثقل المثالي". طالب الرياضيات . 43 : 178. MR 0447089 . 

• هيفارينين ، توكا (2015). "Täydelliset totienttiluvut" . تامبيري: تامبيريين yliopisto.

تتضمن هذه المقالة مواد من Perfect Totient Number على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .