الجذر الرقمي المضاعف

في نظرية الأعداد، الجذر الرقمي الضربي لعدد طبيعي${\displaystyle n}$في نظام عددي معين${\displaystyle b}$يتم إيجادها بضرب أرقام​${\displaystyle n}$معًا، ثم تكرار هذه العملية حتى يتبقى رقم واحد فقط، وهو ما يسمى الجذر الرقمي الضربي لـ${\displaystyle n}$[ ^{1 ] [ 2 ]} الجذر الرقمي الضربي للأعداد الصحيحة الموجبة القليلة الأولى هو ^:

0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 0، 2، 4، 6، 8، 0، 2، 4، 6، 8، 0، 3، 6، 9، 2، 5، 8، 2، 8، 4، 0. (التسلسل A031347 في OEIS )

الجذور الرقمية الضربية هي المكافئ الضربي للجذور الرقمية ، مع اختلاف رئيسي يتمثل في أنها للأعداد الطبيعية في الأساس${\displaystyle b=10}$، يمكن أن تكون الجذور الرقمية المضاعفة من 0 إلى 9، بينما يمكن أن تكون الجذور الرقمية فقط من 1 إلى 9.

يترك${\displaystyle n}$ليكن عددًا طبيعيًا. نُعرّف حاصل ضرب الأرقام للأساس${\displaystyle b>1}$${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$أن تكون على النحو التالي:

${\displaystyle F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

أين${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$عدد الأرقام في العدد بالأساس${\displaystyle b}$، و

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

هي قيمة كل رقم من أرقام العدد. عدد طبيعي${\displaystyle n}$يكون جذرًا رقميًا ضربيًا إذا كان نقطة ثابتة لـ${\displaystyle F_{b}}$، وهو ما يحدث إذا${\displaystyle F_{b}(n)=n}$.

على سبيل المثال، في القاعدة${\displaystyle b=10}$، الصفر هو الجذر الرقمي الضربي للعدد 9876، كما

${\displaystyle F_{10}(9876)=(9)(8)(7)(6)=3024}$

${\displaystyle F_{10}(3024)=(3)(0)(2)(4)=0}$

${\displaystyle F_{10}(0)=0}$

جميع الأعداد الطبيعية${\displaystyle n}$هي نقاط ما قبل الدورية لـ${\displaystyle F_{b}}$بغض النظر عن الأساس. هذا لأنه إذا${\displaystyle n\geq b}$، ثم

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$

وبالتالي

${\displaystyle F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}d_{i}=d_{k-1}\prod _{i=0}^{k-2}d_{i}<d_{k-1}b^{k-1}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n}$

لو${\displaystyle n<b}$ثم بشكل بديهي

${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

لذلك، فإن الجذور الرقمية الضربية الوحيدة الممكنة هي الأعداد الطبيعية.${\displaystyle 0\leq n<b}$ولا توجد دورات أخرى غير النقاط الثابتة لـ${\displaystyle 0\leq n<b}$.

عدد التكرارات${\displaystyle i}$مطلوب لـ${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$إن الوصول إلى نقطة ثابتة هو استمرار مضاعف لـ${\displaystyle n}$. يكون الاستمرار المضاعف غير معرف إذا لم يصل أبدًا إلى نقطة ثابتة.

في النظام العشري ، يُفترض أنه لا يوجد عدد ذو استمرارية ضربية.${\displaystyle i>11}$من المعروف أن هذا ينطبق على الأرقام${\displaystyle n\leq 10^{20585}}$[ ^{3 ] [ 4 ]} أصغر الأعداد ذات الثبات 0، 1، ... هي ^:

0، 10، 25، 39، 77، 679، 6788، 68889، 2677889، 26888999، 3778888999، 277777788888899. (التسلسل A003001 في OEIS )

يمكن تسريع عملية البحث عن هذه الأرقام باستخدام خصائص إضافية للأرقام العشرية لهذه الأرقام القياسية. يجب ترتيب هذه الأرقام، وباستثناء أول رقمين، يجب أن تكون جميع الأرقام 7 أو 8 أو 9. توجد أيضًا قيود إضافية على أول رقمين. بناءً على هذه القيود، يتم تحديد عدد المرشحين لـ${\displaystyle k}$إن الأعداد المكونة من خانات والتي تتمتع بثبات قياسي تتناسب فقط مع مربع${\displaystyle k}$، جزء صغير من كل الاحتمالات${\displaystyle k}$أعداد مكونة من خانات. مع ذلك، فإن أي عدد مفقود من التسلسل أعلاه سيكون له استمرار ضربي أكبر من 11؛ ويُعتقد أن هذه الأعداد غير موجودة، وإذا وُجدت، فستحتاج إلى أكثر من 20000 خانة. ^{[ 3 ]}

يمكن توسيع الجذر الرقمي المضاعف ليشمل الأعداد الصحيحة السالبة باستخدام تمثيل رقمي موقّع لتمثيل كل عدد صحيح.

يوضح المثال أدناه عملية ضرب الأرقام الموضحة في التعريف أعلاه للبحث عن الجذور الرقمية الضربية والمثابرات الضربية في بايثون .

دالة ضرب الأرقام ( x : عدد صحيح ، b : عدد صحيح ) -> عدد صحيح : إذا كان x يساوي 0 : أرجع 0، المجموع = 1. طالما x أكبر من 1 : إذا كان x % b يساوي 0 : أرجع 0. إذا كان x % b أكبر من 1 : المجموع = المجموع * ( x % b ) . x = x // b. أرجع المجموع.دالة حساب الجذر الرقمي المضاعف ( x : عدد صحيح ، b : عدد صحيح ) -> عدد صحيح : seen = [] بينما x ليس في seen : seen.append ( x ) x = digit_product ( x , b ) إرجاع xدالة multiplicative_persistence ( x : int , b : int ) -> int : seen = [] while x not in seen : seen . append ( x ) x = digit_product ( x , b ) return len ( seen ) - 1

• الديناميكا الحسابية
• مجموع الأرقام
• الجذر الرقمي
• عدد حاصل الضرب

• جاي، ريتشارد ك. (2004). مسائل غير محلولة في نظرية الأعداد (  الطبعة الثالثة). سبرينغر-فيرلاغ . ص 398-399 . ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 . 

• ما المميز في الرقم 277777788888899؟ - قناة Numberphile على يوتيوب (21 مارس 2019)