رقم سلس

في نظرية الأعداد ، يُعرف العدد n- الناعم (أو n- القابل للكسر ) بأنه عدد صحيح جميع عوامله الأولية أقل من أو تساوي n . ^{[ 1 ] [ 2 ]} على سبيل المثال، العدد 7-الناعم هو عدد جميع عوامله الأولية لا تتجاوز 7. لذلك، فإن 49 = 7² ^و 15750 = 2 × 3² ^× 5³ ^× 7 كلاهما 7-ناعم، بينما 11 و70² = 2 × 3³ ^{× 13 ليسا 7-ناعم. يبدو أن} ليونارد أدلمان هو من صاغ هذا المصطلح . ^{[ 3 ]} تُعد الأعداد الناعمة ذات أهمية خاصة في علم التشفير ، الذي يعتمد على تحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية. الأعداد 2-الناعمة هي ببساطة قوى العدد 2 ، بينما تُعرف الأعداد 5-الناعمة أيضًا بالأعداد المنتظمة .

يُطلق على العدد الصحيح الموجب اسم " أعداد B- سلسة " إذا لم يكن أي من عوامله الأولية أكبر من B. على سبيل المثال، العدد 1620 له تحليل إلى عوامل أولية هو 2^ ⁽² × 3) ^{^(4} × 5)؛ لذلك، فإن 1620 عدد 5-سلس لأن أيًا من عوامله الأولية ليس أكبر من 5. يشمل هذا التعريف الأعداد التي تفتقر إلى بعض العوامل الأولية الأصغر؛ على سبيل المثال، كل من 10 و12 عددان 5-سلسة، على الرغم من أنهما يفتقران إلى العاملين الأوليين 3 و5 على التوالي. جميع الأعداد 5-سلسة تكون على الصورة 2^ ^a × 3^ ^b × 5^ ^c ، حيث a و b و c أعداد صحيحة غير سالبة.

تُعرف الأعداد السلسة من الدرجة 3 أيضًا باسم "الأعداد التوافقية"، ^{[ 4 ]} على الرغم من أن لهذا الاسم معاني أخرى أكثر شيوعًا، أبرزها مجموع مقلوبات الأعداد الطبيعية . تُسمى الأعداد السلسة من الدرجة 5 أيضًا بالأعداد المنتظمة أو أعداد هامينغ؛ ^{[ 5 ]} وتُسمى الأعداد السلسة من الدرجة 7 أيضًا بالأعداد البسيطة ، ^{[ 6 ]} وتُسمى أحيانًا بالأعداد المركبة للغاية ، ^{[ 7 ]} على الرغم من أن هذا يتعارض مع معنى آخر للأعداد المركبة للغاية .

لاحظ هنا أن العدد B نفسه ليس شرطًا لظهوره ضمن عوامل العدد B -smooth. إذا كان أكبر عامل أولي لعدد ما هو p، فإن هذا العدد يكون B -smooth لأي B ≥ p . في كثير من الحالات، يكون B عددًا أوليًا ، ولكن يُسمح أيضًا بالأعداد المركبة . يكون العدد B -smooth إذا وفقط إذا كان p -smooth، حيث p هو أكبر عدد أولي أصغر من أو يساوي B.

من التطبيقات العملية المهمة للأعداد الملساء خوارزميات تحويل فورييه السريع (FFT) (مثل خوارزمية كولي-توكي FFT )، والتي تعمل عن طريق تقسيم مسألة ذات حجم n معين بشكل متكرر إلى مسائل بحجم عواملها. باستخدام الأعداد الملساء من النوع B ، نضمن أن الحالات الأساسية لهذا التكرار هي أعداد أولية صغيرة، والتي توجد لها خوارزميات فعالة. (أما الأعداد الأولية الكبيرة فتتطلب خوارزميات أقل كفاءة مثل خوارزمية بلوستين FFT ).

تلعب الأعداد المنتظمة أو الأعداد ذات النعومة الخماسية دورًا خاصًا في الرياضيات البابلية . ^{[ 8 ]} كما أنها مهمة في نظرية الموسيقى (انظر النهاية (الموسيقى) ). ^{[ 9 ]} وقد استُخدمت مشكلة توليد هذه الأعداد بكفاءة كمسألة اختبار للبرمجة الوظيفية . ^{[ 10 ]}

للأعداد السلسة عدد من التطبيقات في علم التشفير. ^{[ 11 ]} في حين أن معظم التطبيقات تتمحور حول تحليل الشفرات (على سبيل المثال، أسرع خوارزميات تحليل الأعداد الصحيحة المعروفة ، على سبيل المثال: غربال حقل الأعداد العام )، فإن دالة التجزئة VSH هي مثال آخر على الاستخدام البنّاء للسلاسة للحصول على تصميم آمن مثبت .

في الموسيقى، يُعرف ضبط الحد p بأنه مجموعة الفواصل الموسيقية التي تمثل نسبًا لعددين سلسين من الدرجة p . ^{[ 12 ]}

يترك${\displaystyle \Psi (x,y)}$يشير إلى عدد الأعداد الصحيحة السلسة y الأقل من أو تساوي x (دالة دي بروين).

إذا كان حد النعومة B ثابتًا وصغيرًا، فهناك تقدير جيد لـ${\displaystyle \Psi (x,B)}$:

${\displaystyle \Psi (x,B)\sim {\frac {1}{\pi (B)!}}\prod _{p\leq B}{\frac {\log x}{\log p}}.}$

أين${\displaystyle \pi (B)}$يشير إلى عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي${\displaystyle B}$.

وإلا، فعرّف المعامل u على أنه u = log x / log y : أي أن x = y ^u . ثم،  

${\displaystyle \Psi (x,y)=x\cdot \rho (u)+O\left({\frac {x}{\log y}}\right)}$

أين${\displaystyle \rho (u)}$هي دالة ديكمان .

بالنسبة لأي قيمة لـ k ، فإن جميع الأعداد الطبيعية تقريبًا لن تكون سلسة من الدرجة k .

لو${\displaystyle n=n_{1}n_{2}}$أين${\displaystyle n_{1}}$يكون${\displaystyle B}$- سلس و${\displaystyle n_{2}}$إذا لم يكن (أو يساوي 1)،${\displaystyle n_{1}}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle B}$- الجزء الأملس من${\displaystyle n}$الحجم النسبي لـ${\displaystyle x^{1/u}}$- الجزء الأملس من عدد صحيح عشوائي أقل من أو يساوي${\displaystyle x}$من المعروف أن التحلل أبطأ بكثير من${\displaystyle \rho (u)}$[ ^{13 ]​}

علاوة على ذلك، يُطلق على m اسم n - powersmooth (أو n- ultrafriable ) إذا كانت جميع القوى الأولية${\displaystyle p^{\nu }}$قسمة m تحقق ما يلي:

${\displaystyle p^{\nu }\leq n.\,}$

على سبيل المثال، العدد 720 (2 ⁴ × 3 ² × 5 ¹ ) هو عدد سلس من الدرجة 5 ولكنه ليس عددًا سلسًا من الدرجة 5 (لأن هناك عدة قوى أولية أكبر من 5، على سبيل المثال${\displaystyle 3^{2}=9\nleq 5}$و${\displaystyle 2^{4}=16\nleq 5}$). وهو عدد ذو قوة 16، لأن أكبر قوة لعامله الأولي هي 2 ⁴ = 16. كما أن العدد ذو قوة 17، وقوة 18، ​​وهكذا.

على عكس الأعداد الملساء من الرتبة n ، فإنه لأي عدد صحيح موجب n، يوجد عدد محدود فقط من الأعداد الملساء من الرتبة n . في الواقع، الأعداد الملساء من الرتبة n هي بالضبط القواسم الموجبة لـ " المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 1، 2، 3، ...، n " (المتتالية A003418 في OEIS ) ، على سبيل المثال، الأعداد الملساء من الرتبة 9 (وكذلك الأعداد الملساء من الرتبة 10) هي بالضبط القواسم الموجبة للعدد 2520.

تُستخدم الأعداد الملساء من الرتبة n والأعداد الملساء من الرتبة n في نظرية الأعداد، كما في خوارزمية بولارد p − 1 وخوارزمية ECM . يُقال غالبًا أن هذه التطبيقات تعمل مع "أعداد ملساء"، دون تحديد قيمة n ؛ وهذا يعني أن الأعداد المعنية يجب أن تكون ملساء من الرتبة n ، حيث n عدد صغير غير محدد. مع ازدياد قيمة n ، يتدهور أداء الخوارزمية أو الطريقة المستخدمة بسرعة. على سبيل المثال، تستغرق خوارزمية بوهليغ-هيلمان لحساب اللوغاريتمات المنفصلة زمن تشغيل قدره O ( n¹ ^/² ) - وذلك للمجموعات ذات الرتبة n الملساء .

علاوة على ذلك، يُقال إن الدالة m سلسة على المجموعة A إذا وُجد تحليل لها إلى عواملها الأولية، حيث _تكون العوامل الأولية قوى لعناصر في A. على سبيل المثال، بما أن 12 = 4 × 3، فإن 12 سلسة على المجموعات A1 ​​= {4, 3}، و _A2 = {2, 3}، و${\displaystyle \mathbb {Z} }$ومع ذلك، لن يكون سلسًا على المجموعة A ₃ = {3، 5}، حيث أن 12 يحتوي على العامل 4 = 2 ² ، ولا 4 ولا 2 موجودان في A ₃ .

لاحظ أن المجموعة A لا يشترط أن تكون مجموعة عوامل أولية، ولكنها عادةً ما تكون مجموعة جزئية فعلية من الأعداد الأولية كما هو الحال في قاعدة عوامل طريقة ديكسون للتحليل إلى عوامل والمنخل التربيعي . وبالمثل، فهي ما يستخدمه منخل حقل الأعداد العام لبناء مفهومه عن السلاسة، في ظل التشاكل.${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {Z} [\theta ]\to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } . ^{[ 14 ]}

• عدد مركب للغاية
• رقم تقريبي
• رقم دائري
• نظرية ستورمر
• رقم غير عادي

• جي. تيننباوم، مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية والاحتمالية ، (الجمعية الأمريكية للرياضيات، 2015) ISBN 978-0821898543
• أ. جرانفيل ، الأعداد الملساء: نظرية الأعداد الحسابية وما بعدها ، وقائع ورشة عمل MSRI، 2008

• وايسشتاين، إريك دبليو. "العدد الأملس" . عالم الرياضيات .

تسرد الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة (OEIS) الأعداد السلسة من النوع B للأعداد الصغيرة من النوع B :

• الأعداد السلسة من الدرجة الثانية: A000079 (2 ⁱ )
• الأعداد السلسة الثلاثية: A003586 (2 ⁱ 3 ^j )
• الأعداد السلسة ذات 5 نقاط: A051037 (2 ⁱ 3 ^j 5 ^k )
• الأعداد السلسة ذات 7 نقاط: A002473 (2 ⁱ 3 ^j 5 ^k 7 ^l )
• 11- أرقام سلسة: A051038 (إلخ...)
• 13- أرقام سلسة: A080197
• 17- أرقام سلسة: A080681
• 19- أرقام سلسة: A080682
• 23- أرقام سلسة: A080683