العدد الطبيعي

في الرياضيات ، يُقال إن عددًا حقيقيًا ما هو عدد طبيعي في نظام العد ذي الأساس b ^{[ ملاحظة 1 ]} إذا كانت سلسلة أرقامه اللانهائية موزعة توزيعًا منتظمًا، بمعنى أن لكل قيمة من قيم الأرقام b نفس الكثافة الطبيعية  1/ b . ويُقال إن عددًا ما هو عدد طبيعي في نظام العد ذي الأساس b إذا كانت جميع السلاسل الممكنة المكونة من n رقمًا ، لكل عدد صحيح موجب n ، لها كثافة b ^{− n} . 

ببساطة، يعني كون العدد طبيعيًا أن أي رقم لا يظهر بتكرار أكثر من أي رقم آخر. فإذا كان العدد طبيعيًا، فلا يوجد أي توليفة محدودة من الأرقام ذات طول معين تظهر بتكرار أكثر من أي توليفة أخرى من نفس الطول. يمكن تصور العدد الطبيعي كسلسلة لانهائية من رميات عملة معدنية ( في النظام الثنائي ) أو رميات نرد ( في النظام السداسي ). مع أن هناك سلاسل مثل 10 أو 100 أو أكثر من ظهور الذيل (في النظام الثنائي) أو الرقم خمسة (في النظام السداسي)، أو حتى 10 أو 100 أو أكثر من تكرار سلسلة مثل صورة-ذيل (رميتان متتاليتان للعملة المعدنية) أو 6-1 (رميتان متتاليتان للنرد)، إلا أنه سيكون هناك أيضًا عدد متساوٍ من أي سلسلة أخرى بنفس الطول. لا يوجد رقم أو سلسلة "مفضلة".

يقال إن العدد طبيعي (يسمى أحيانًا طبيعيًا تمامًا ) إذا كان طبيعيًا في جميع أنظمة العد الصحيحة الأكبر من أو تساوي 2.

على الرغم من إمكانية تقديم برهان عام على أن جميع الأعداد الحقيقية تقريبًا هي أعداد طبيعية (أي أن مجموعة الأعداد غير الطبيعية لها قياس ليبيغ يساوي صفرًا)، ^{[ 1 ]} إلا أن هذا البرهان ليس بنائيًا ، ولم يُثبت إلا أن عددًا قليلًا من الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، أي ثابت من ثوابت شايتين هو عدد طبيعي ( وغير قابل للحساب ). ويُعتقد على نطاق واسع أن الأعداد (القابلة للحساب) √2 و π و e هي أعداد طبيعية، لكن البرهان على ذلك لا يزال بعيد المنال. ^{[ 2 ]}

ليكن Σ أبجدية منتهية مكونة من b خانة، ^وΣω مجموعة جميع المتتاليات اللانهائية التي يمكن استخلاصها من تلك الأبجدية، و Σ ^* مجموعة المتتاليات المنتهية، أو السلاسل . ^{[ ملاحظة 2 ]} ولتكن S ∈ Σω متتالية من هذا النوع. لكل a في ^Σ ، ليكن N ( a , n ) عدد مرات ظهور الرقم a في أول n خانة من المتتالية S. نقول إن S متتالية طبيعية بسيطة إذا _كانت النهاية

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {N_{S}(a,n)}{n}}={\frac {1}{b}}}$$

لكل a . الآن، ليكن w أي سلسلة منتهية في Σ ^∗، وليكن N _S ( w , n ) عدد مرات ظهور السلسلة w كسلسلة فرعية في الأرقام n الأولى من المتتالية S. (على سبيل المثال، إذا كانت S = 01010101 ... ، فإن N _S ( 010 , 8) = 3. ) تكون S طبيعية إذا، لجميع السلاسل المنتهية w ∈ Σ ^∗ ،

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {N_{S}(w,n)}{n}}={\frac {1}{b^{|w|}}}}$$

حيث يرمز | w | إلى طول السلسلة w . بعبارة أخرى، تكون S طبيعية إذا كانت جميع السلاسل ذات الطول المتساوي تظهر بنفس التردد التقاربي . على سبيل المثال، في متتالية ثنائية طبيعية (متتالية على الأبجدية { 0 ، 1 } )، يظهر كل من 0 و 1 بتردد 1/2 ؛ وتظهر كل من 00 و 01 و 10 و 11 بتردد 1/4 ؛ وتظهر كل من 000 و 001 و 010 و 011 و 100 و 101 و 110 و 111 بتردد 1/8 ؛ وهكذا . باختصار، فإن احتمال وجود السلسلة w في أي موضع معين في S هو بالضبط الاحتمال المتوقع لو تم إنتاج المتتالية عشوائيًا .

لنفترض الآن أن b عدد صحيح أكبر من 1، وأن x عدد حقيقي . لننظر إلى تمثيل المتتالية الرقمية اللانهائية S( _{x , b} ) للعدد x في نظام العد الموضعي ذي الأساس b (مع إهمال الفاصلة العشرية). نقول إن x عدد طبيعي بسيط في الأساس b إذا كانت المتتالية S( _{x , b)} طبيعية بسيطة ^{[ 3 ]} ، ونقول إن x عدد طبيعي في الأساس b إذا كانت المتتالية S( _{x , b)} طبيعية ^{[ 4 ]} . يُسمى العدد x عددًا طبيعيًا (أو أحيانًا عددًا طبيعيًا مطلقًا ) إذا كان طبيعيًا في الأساس b لكل عدد صحيح b أكبر من 1 ^{[ 5 ] [ 6 ].}

تكون المتتالية اللانهائية المعطاة إما طبيعية أو غير طبيعية، بينما قد يكون العدد الحقيقي، الذي له تمثيل مختلف في الأساس b لكل عدد صحيح b ≥ 2 ، طبيعيًا في أساس واحد وليس في أساس آخر ^{[ 7 ] [ 8 ]} (وفي هذه الحالة لا يكون عددًا طبيعيًا). بالنسبة للأساسين r و s حيث log r / log s عدد نسبي (بحيث r = b ^m و s = b ⁿ )، فإن كل عدد طبيعي في الأساس r يكون طبيعيًا في الأساس s . أما بالنسبة للأساسين r و s حيث log r / log s عدد غير نسبي، فهناك عدد لا يُحصى من الأعداد الطبيعية في كل أساس وليست في الآخر. ^{[ 8 ]}

المتتالية المنفصلة هي متتالية تظهر فيها كل سلسلة منتهية. المتتالية العادية منفصلة، ​​ولكن المتتالية المنفصلة ليست بالضرورة عادية. العدد الغني في الأساس b هو العدد الذي يكون تمثيله في الأساس b منفصلاً: ^{[ 9 ]} العدد الذي يكون منفصلاً عن كل أساس يُسمى منفصلاً مطلقاً أو يُقال إنه معجم . العدد العادي في الأساس b غني في الأساس b ، ولكن ليس بالضرورة العكس. العدد الحقيقي x غني في الأساس b إذا وفقط إذا كانت المجموعة { x b n ^mod 1  : n ∈ N } كثيفة في الفترة ^{[ 9 ]} [ ^{ملاحظة 3 ]}

عرّفنا العدد بأنه طبيعي تمامًا في النظام العددي ذي الأساس b إذا ظهر كل رقم فيه بتردد يساوي 1 / b . بالنسبة لأساس عددي معين b ، يمكن أن يكون العدد طبيعيًا تمامًا (ولكن ليس طبيعيًا أو غنيًا)، أو غنيًا (ولكن ليس طبيعيًا تمامًا أو طبيعيًا)، أو طبيعيًا (وبالتالي طبيعيًا تمامًا وغنيًا)، أو لا شيء مما سبق. يكون العدد غير طبيعي تمامًا أو شاذًا تمامًا إذا لم يكن طبيعيًا تمامًا في أي أساس عددي. ^{[ 5 ] [ 10 ]}

قدّم إميل بوريل ( 1909 ) مفهوم العدد الطبيعي . وباستخدام مبرهنة بوريل-كانتيلي ، أثبت أن جميع الأعداد الحقيقية تقريبًا هي أعداد طبيعية، مُثبتًا بذلك وجود الأعداد الطبيعية. بيّن واكلاف سيربينسكي ( 1917 ) أنه من الممكن تحديد عدد طبيعي مُعين. وأثبت بيشر وفيغيرا ( 2002 ) وجود عدد طبيعي مطلق قابل للحساب . مع أن هذا البناء لا يُعطي أرقام الأعداد المُنشأة بشكل مباشر، إلا أنه يُبيّن أنه من الممكن من حيث المبدأ تعداد كل رقم من أرقام عدد طبيعي مُعين.   

على الرغم من أن مجموعة الأعداد غير الطبيعية "كبيرة" بمعنى أنها غير قابلة للعد ، إلا أنها مجموعة فارغة (لأن مقياس ليبيغ الخاص بها كمجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية يساوي صفرًا، لذا فهي عمليًا لا تشغل أي حيز ضمن الأعداد الحقيقية). كذلك، فإن الأعداد غير الطبيعية (وكذلك الأعداد الطبيعية) كثيفة في الأعداد الحقيقية: فمجموعة الأعداد غير الطبيعية الواقعة بين عددين حقيقيين مختلفين غير فارغة لأنها تحتوي على كل عدد نسبي (في الواقع، هي لانهائية غير قابلة للعد ^{[ 11 ]} بل ومتساوية ). على سبيل المثال، هناك عدد لا يُحصى من الأعداد التي لا تحتوي تمثيلاتها العشرية (في النظام الثلاثي أو أعلى) على الرقم 1، ولا يوجد أي من هذه الأعداد طبيعي.

ثابت شامبرنون

إن العدد الذي يتم الحصول عليه عن طريق ربط التمثيلات العشرية للأعداد الطبيعية بالترتيب، هو عدد طبيعي في الأساس 10. وبالمثل، فإن المتغيرات المختلفة لثابت شامبرنون (التي يتم الحصول عليها عن طريق إجراء نفس الربط في أسس أخرى) هي أعداد طبيعية في أسسها الخاصة (على سبيل المثال، ثابت شامبرنون ذو الأساس 2 هو عدد طبيعي في الأساس 2)، ولكن لم يتم إثبات أنها أعداد طبيعية في أسس أخرى.

ثابت كوبلاند -اردوس

العدد الناتج عن دمج الأعداد الأولية في النظام العشري، هو عدد طبيعي في النظام العشري، كما أثبت ذلك أ. هـ. كوبلاند وبول إردوش ( 1946 ) . وبشكل أعم، أثبت المؤلفان الأخيران أن العدد الحقيقي المُمثَّل في النظام العشري بواسطة دمج الأعداد الأولية في النظام العشري هو عدد طبيعي في النظام العشري. 

حيث f ( n ) هو العدد الأولي النوني المعبر عنه بالأساس b ، وهو عدد طبيعي في الأساس b . أثبت بيسيكوفيتش ( 1935 ) أن العدد المُمثل بنفس التعبير، مع f ( n ) = n² ^، 

العدد الذي يتم الحصول عليه عن طريق دمج الأعداد المربعة في الأساس 10، هو عدد طبيعي في الأساس 10. أثبت هارولد دافنبورت وإردوش ( 1952 ) أن العدد الذي يمثله نفس التعبير، حيث f هي أي متعددة حدود غير ثابتة تكون قيمها على الأعداد الصحيحة الموجبة أعدادًا صحيحة موجبة، معبرًا عنها في الأساس 10، هو عدد طبيعي في الأساس 10. 

أثبت ناكاي وشيوكاوا ( 1992 ) أنه إذا كانت f ( x ) أي دالة متعددة الحدود غير ثابتة ذات معاملات حقيقية بحيث f ( x ) > 0 لجميع قيم x > 0، فإن العدد الحقيقي المُمثَّل بواسطة التسلسل  

حيث [ f ( n )] هو الجزء الصحيح من f ( n ) مُعبَّرًا عنه بالأساس b ، وهو عدد طبيعي بالأساس b . (تشمل هذه النتيجة، كحالات خاصة، جميع النتائج المذكورة أعلاه لكل من Champernowne وBesicovitch وDavenport & Erdős). كما يُبين المؤلفون أن النتيجة نفسها تنطبق بشكل أعم عندما تكون f أي دالة من الشكل التالي:

حيث أن αs و βs أعداد حقيقية مع β > β ₁ > β ₂ > ... > β _d ≥ 0، و f ( x ) > 0 لجميع x > 0.

يُظهر بيلي وكراندال ( 2002 ) فئة صريحة غير قابلة للعد من الأعداد الطبيعية b عن طريق اضطراب أعداد ستونهام . 

لطالما كان إثبات طبيعية الأعداد غير المصطنعة هدفًا صعب المنال. فبينما يُفترض بقوة أن √2 و π و ln(2) و e أعداد طبيعية، إلا أنه لا يزال من غير المعروف ما إذا كانت طبيعية أم لا. ولم يُثبت حتى أن جميع الأرقام تظهر عددًا لا نهائيًا من المرات في المتسلسلات العشرية لهذه الثوابت (على سبيل المثال، في حالة π، فإن الادعاء الشائع "أن كل سلسلة من الأرقام تظهر في النهاية في π" غير معروف صحته). ^{[ 12 ]} كما يُفترض أن كل عدد جبري غير نسبي طبيعي مطلقًا (مما يعني أن √2 عدد طبيعي)، ولا توجد أمثلة مضادة معروفة في أي أساس عددي. ومع ذلك، لم يُثبت أن أي عدد جبري غير نسبي طبيعي في أي أساس عددي.

أظهر أغافونوف في وقت مبكر وجود صلة بين آلات الحالة المحدودة والمتتاليات العادية: فكل متتالية جزئية لانهائية مختارة من متتالية عادية بواسطة لغة منتظمة هي متتالية عادية أيضًا. بعبارة أخرى، إذا شغّلنا آلة حالة محدودة على متتالية عادية، حيث تُصنّف كل حالة من حالات آلة الحالة المحدودة إما "إخراج" أو "لا إخراج"، وقامت الآلة بإخراج الرقم الذي تقرأه تاليًا بعد دخولها حالة "إخراج"، ولكنها لم تُخرج الرقم التالي بعد دخولها حالة "لا إخراج"، فإن المتتالية التي تُخرجها ستكون متتالية عادية. ^{[ 16 ]}

توجد علاقة أعمق مع المقامرين ذوي الحالة المحدودة (FSGs) وضواغط الحالة المحدودة عديمة فقدان المعلومات (ILFSCs).

• المقامر ذو الحالة المحدودة (المعروف أيضًا باسم مارتينجال ذو الحالة المحدودة ) هو آلة ذات حالة محدودة تعمل على أبجدية محدودة${\displaystyle \Sigma }$كل ولاية من هذه الولايات تحمل نسبة مئوية من المال الذي يمكن المراهنة به على كل رقم فيها.${\displaystyle \Sigma }$على سبيل المثال، بالنسبة لمولد الأرقام المحدودة على الأبجدية الثنائية${\displaystyle \Sigma =\{0,1\}}$، يراهن الوضع الحالي q بنسبة مئوية معينة${\displaystyle q_{0}\in [0,1]}$من أموال المقامر على البت 0، والمتبقي${\displaystyle q_{1}=1-q_{0}}$نسبة من أموال المقامر على الخانة رقم 1. يتم ضرب المبلغ المراهن به على الرقم التالي في المدخلات (إجمالي الأموال مضروبًا في نسبة الرهان) في${\displaystyle |\Sigma |}$، ويضيع باقي المال. بعد قراءة البت، ينتقل مولد الأرقام العشوائية (FSG) إلى الحالة التالية وفقًا للمدخلات التي تلقاها. ينجح مولد الأرقام العشوائية (FSG) على تسلسل لانهائي S إذا، بدءًا من 1 دولار، حقق ربحًا غير محدود من خلال المراهنة على التسلسل؛ أي، إذا$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }d(S\upharpoonright n)=\infty ,}$$أين${\displaystyle d(S\upharpoonright n)}$هو مقدار المال الذي يملكه المقامر د بعد قراءة الأرقام ن الأولى من س (انظر الحد الأعلى ).
• الضاغط ذو الحالات المحدودة هو آلة ذات حالات محدودة تُخرج سلاسل نصية تُشير إلى انتقالات حالاتها ، بما في ذلك السلسلة الفارغة إن أمكن. (بما أنه يتم قراءة رقم واحد من تسلسل الإدخال لكل انتقال حالة، فمن الضروري إخراج السلسلة الفارغة لتحقيق أي ضغط). الضاغط ذو الحالات المحدودة غير الفاقد للمعلومات هو ضاغط ذو حالات محدودة يمكن استعادة مدخلاته بشكل فريد من مخرجاته وحالته النهائية. بعبارة أخرى، بالنسبة لضاغط ذي حالات محدودة C بمجموعة حالات Q ، يكون C غير فاقد للمعلومات إذا كانت الدالة${\displaystyle f:\Sigma ^{*}\to \Sigma ^{*}\times Q}$إنّ عملية ربط سلسلة الإدخال لـ C بسلسلة الإخراج والحالة النهائية لـ C هي عملية انعكاسية (1-1 ). يمكن تطبيق تقنيات الضغط مثل ترميز هوفمان أو ترميز شانون-فانو باستخدام سلاسل ILFSC. تقوم سلسلة ILFSC C بضغط سلسلة لانهائية S إذا كان$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {|C(S\upharpoonright n)|}{n}}<1,}$$أين${\displaystyle |C(S\upharpoonright n)|}$يمثل عدد الأرقام التي يُخرجها C بعد قراءة أول n رقم من S. ويمكن دائمًا جعل نسبة الضغط ( الحد الأدنى أعلاه) تساوي 1 بواسطة ILFSC أحادي الحالة الذي ينسخ مدخلاته إلى المخرجات ببساطة.

أظهر شنور وستيم أنه لا يمكن لأي FSG أن ينجح على أي تسلسل طبيعي، بينما أظهر بورك وهيتشكوك وفينودشاندرا العكس . لذلك:

أظهر زيف وليمبل ما يلي:

(لقد أظهروا بالفعل أن نسبة الضغط المثلى للتسلسل على جميع تسلسلات ILFSC هي بالضبط معدل الإنتروبيا الخاص به ، وهو مقياس كمي لانحرافه عن الوضع الطبيعي، والذي يساوي 1 عندما يكون التسلسل طبيعيًا). وبما أن خوارزمية ضغط LZ تضغط بشكل تقاربي بنفس كفاءة أي تسلسل ILFSC، فهذا يعني أن خوارزمية ضغط LZ يمكنها ضغط أي تسلسل غير طبيعي. ^{[ 17 ]}

يمكن تفسير هذه الخصائص للتسلسلات العادية على أنها تعني أن "عادي" = "عشوائي محدود الحالات"؛ أي أن التسلسلات العادية هي تحديدًا تلك التي تبدو عشوائية لأي آلة محدودة الحالات. قارن هذا بالتسلسلات العشوائية الخوارزمية ، وهي تلك التسلسلات اللانهائية التي تبدو عشوائية لأي خوارزمية (وتتمتع في الواقع بخصائص مماثلة للمقامرة والضغط مع استبدال آلات تورينج بآلات محدودة الحالات).

يكون العدد x طبيعيًا في النظام ذي الأساس b إذا وفقط إذا كانت المتتالية${\displaystyle {\left(b^{k}x\right)}_{k=0}^{\infty }}$يكون التوزيع متساوي بتردد 1، ^{[ 18 ] [ 19 ]} أو بصورة مكافئة، باستخدام معيار ويل ، إذا وفقط إذا

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi imb^{k}x}=0\quad {\text{ لجميع الأعداد الصحيحة }}m\geq 1.}$$

تؤدي هذه العلاقة إلى المصطلح القائل بأن x يكون طبيعيًا في الأساس β لأي عدد حقيقي β إذا وفقط إذا كانت المتتالية${\displaystyle \left({x\beta ^{k}}\right)_{k=0}^{\infty }}$موزعة بالتساوي بتردد 1. ^{[ 19 ]}

• ثابت شامبرنون
• تسلسل دي بروين
• نظرية القرد اللانهائي
• مكتبة بابل

• وايسشتاين، إريك دبليو. "العدد الطبيعي" . عالم الرياضيات .