البرهان البنّاء

في الرياضيات ، البرهان البنّاء هو أسلوب إثبات يُظهر وجود كائن رياضي من خلال إنشائه أو توفير طريقة لإنشائه. وهذا يختلف عن البرهان غير البنّاء (المعروف أيضًا ببرهان الوجود أو نظرية الوجود البحتة )، الذي يُثبت وجود نوع معين من الكائنات دون تقديم مثال. ولتجنب الخلط مع المفهوم الأقوى الذي يليه، يُطلق على هذا النوع من البرهان البنّاء أحيانًا اسم البرهان الفعال .

قد يشير البرهان البنائي أيضًا إلى المفهوم الأقوى للبرهان الصحيح في الرياضيات البنائية . البنائية فلسفة رياضية ترفض جميع أساليب البرهان التي تتضمن وجود كائنات غير مبنية بشكل صريح. وهذا يستبعد، على وجه الخصوص، استخدام قانون الوسط المرفوع ، وبديهية اللانهاية ، وبديهية الاختيار . كما تُضفي البنائية معنى مختلفًا على بعض المصطلحات (على سبيل المثال، مصطلح "أو" له معنى أقوى في الرياضيات البنائية منه في الرياضيات الكلاسيكية). ^{[ 1 ]}

تُظهر بعض البراهين غير البنّاءة أنه إذا كانت قضية معينة خاطئة، فسيترتب على ذلك تناقض؛ وبالتالي، يجب أن تكون القضية صحيحة ( برهان بالتناقض ). ومع ذلك، فقد تم قبول مبدأ الانفجار ( ex falso quodlibet ) في بعض فروع الرياضيات البنّاءة، بما في ذلك الحدسية .

يمكن اعتبار البراهين البنائية بمثابة تعريف للخوارزميات الرياضية المعتمدة : يتم استكشاف هذه الفكرة في تفسير براور-هيتينغ-كولموغوروف للمنطق البنائي ، وتطابق كاري-هوارد بين البراهين والبرامج، وأنظمة منطقية مثل نظرية النوع الحدسية لبير مارتن -لوف ، وحساب الإنشاءات لتيري كوكاند وجيرار هويه .

حتى نهاية القرن التاسع عشر، كانت جميع البراهين الرياضية بنائية في جوهرها. ظهرت أولى الإنشاءات غير البنائية مع نظرية جورج كانتور للمجموعات اللانهائية ، والتعريف الرسمي للأعداد الحقيقية .

يبدو أن أول استخدام للبراهين غير البنائية لحل المشكلات التي سبق النظر فيها هو نظرية هيلبرت حول الأصفار ونظرية هيلبرت حول الأساس . ومن وجهة نظر فلسفية، فإن الأولى مثيرة للاهتمام بشكل خاص، لأنها تشير إلى وجود كائن محدد بدقة.

يمكن صياغة نظرية Nullstellensatz على النحو التالي: إذا${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$إذا كانت كثيرات الحدود في n غير محددة بمعاملات مركبة ، وليس لها أصفار مركبة مشتركة ، فإنه يوجد كثيرات حدود${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}$بحيث

${\displaystyle f_{1}g_{1}+\ldots +f_{k}g_{k}=1.}$

لقد كانت نظرية الوجود غير البنائية هذه مفاجأة كبيرة لعلماء الرياضيات في ذلك الوقت لدرجة أن أحدهم، بول جوردان ، كتب: "هذه ليست رياضيات، إنها لاهوت ". ^{[ 2 ]}

بعد خمسة وعشرين عامًا، قدمت غريت هيرمان خوارزمية للحوسبة${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k},}$وهذا ليس برهانًا بنائيًا بالمعنى الدقيق، لأنها استخدمت نتيجة هيلبرت. لقد أثبتت أنه إذا${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}$موجودة، ويمكن العثور عليها بدرجات أقل من ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$[ ^{3 ]​}

يوفر هذا خوارزمية، حيث يتم اختزال المشكلة إلى حل نظام من المعادلات الخطية ، وذلك باعتبار عدد محدود من معاملات النظام مجاهيل.${\displaystyle g_{i}.}$

في الرياضيات البنائية ، يمكن دحض عبارة ما بتقديم مثال مضاد ، كما هو الحال في الرياضيات الكلاسيكية. مع ذلك، من الممكن أيضًا تقديم مثال مضاد برويري لإثبات أن العبارة غير بنائية. ^{[ 7 ]} يُظهر هذا النوع من الأمثلة المضادة أن العبارة تستلزم مبدأً معروفًا بأنه غير بنائي. إذا أمكن إثبات أن العبارة تستلزم مبدأً غير قابل للإثبات البنائي، فإن العبارة نفسها لا يمكن إثباتها بنائيًا.

For example, a particular statement may be shown to imply the law of the excluded middle. An example of a Brouwerian counterexample of this type is Diaconescu's theorem, which shows that the full axiom of choice is non-constructive in systems of constructive set theory, since the axiom of choice implies the law of excluded middle in such systems. The field of constructive reverse mathematics develops this idea further by classifying various principles in terms of "how nonconstructive" they are, by showing they are equivalent to various fragments of the law of the excluded middle.

Brouwer also provided "weak" counterexamples.^[8] Such counterexamples do not disprove a statement, however; they only show that, at present, no constructive proof of the statement is known. One weak counterexample begins by taking some unsolved problem of mathematics, such as Goldbach's conjecture, which asks whether every even natural number larger than 4 is the sum of two primes. Define a sequence a(n) of rational numbers as follows:^[9]

${\displaystyle a(n)={\begin{cases}(1/2)^{n}&{\mbox{if every even natural number in the interval }}[4,n]{\mbox{ is the sum of two primes}},\\(1/2)^{k}&{\mbox{if }}k{\mbox{ is the least even natural number in the interval }}[4,n]{\mbox{ which is not the sum of two primes}}\end{cases}}}$

For each n, the value of a(n) can be determined by exhaustive search, and so a is a well defined sequence, constructively. Moreover, because a is a Cauchy sequence with a fixed rate of convergence, a converges to some real number α, according to the usual treatment of real numbers in constructive mathematics.

يمكن إثبات العديد من الحقائق المتعلقة بالعدد الحقيقي α بطريقة بناءة. مع ذلك، وبناءً على اختلاف معاني المصطلحات في الرياضيات البنائية، إذا وُجد برهان بنائي على أن " α = 0 أو α ≠ 0"، فهذا يعني وجود برهان بنائي على حدسية غولدباخ (في الحالة الأولى) أو برهان بنائي على خطأ حدسية غولدباخ (في الحالة الثانية). ولأن هذا البرهان غير معروف، فلا بد أن العبارة المذكورة لا تملك برهانًا بنائيًا معروفًا. مع ذلك، من الممكن تمامًا أن يكون لحدسية غولدباخ برهان بنائي (إذ لا نعلم حاليًا ما إذا كان لها برهان بنائي)، وفي هذه الحالة، سيكون للعبارة المذكورة برهان بنائي أيضًا، وإن كان غير معروف حاليًا. يتمثل الاستخدام العملي الرئيسي للأمثلة المضادة الضعيفة في تحديد "صعوبة" المسألة. على سبيل المثال، يُظهر المثال المضاد المذكور أن العبارة المذكورة "لا تقل صعوبة في الإثبات" عن حدسية غولدباخ. غالباً ما ترتبط الأمثلة المضادة الضعيفة من هذا النوع بمبدأ العلم المطلق المحدود .

• البنائية (فلسفة الرياضيات)
• إيريت بيشوب - مؤلف كتاب "أسس التحليل البنّاء".
• نظرية الوجود §  نتائج الوجود "الخالص"
• براهين وجود الخوارزميات غير البنّاءة
• الأسلوب الاحتمالي

• أمثلة مضادة ضعيفة بقلم مارك فان أتين، موسوعة ستانفورد للفلسفة