مبدأ الانفجار

في المنطق الكلاسيكي ، والمنطق الحدسي ، والأنظمة المنطقية المشابهة ، يُعرف مبدأ الانفجار ^{[ أ ] [ ب ]} بأنه النظرية التي تنص على إمكانية إثبات أي عبارة من خلال التناقض . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} أي أنه من خلال التناقض، يمكن استنتاج أي قضية (بما في ذلك نفيها )؛ وهذا ما يُعرف بالانفجار الاستنتاجي . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

قدّم الفيلسوف الفرنسي ويليام من سواسون ، في القرن الثاني عشر، أول برهان على هذا المبدأ . ^{[ 6 ]} وبسبب مبدأ الانفجار، يُعدّ وجود تناقض ( عدم اتساق ) في نظام بديهي رسمي كارثيًا؛ إذ يُمكن إثبات أي عبارة، سواء كانت صحيحة أم خاطئة، مما يُقلّل من أهمية مفهومي الصدق والكذب. ^{[ 7 ]} ومع مطلع القرن العشرين، هدد اكتشاف تناقضات، مثل مفارقة راسل، في أسس الرياضيات، بنية الرياضيات بأكملها. ولذلك، بذل علماء رياضيات، مثل غوتلوب فريجه ، وإرنست زيرميلو ، وأبراهام فرانكل ، وثورالف سكولم، جهودًا كبيرة في مراجعة نظرية المجموعات لإزالة هذه التناقضات، مما أدى إلى ظهور نظرية زيرميلو-فرانكل الحديثة للمجموعات .

كمثال توضيحي لهذا المبدأ، لنفترض عبارتين متناقضتين: "كل الليمون أصفر" و"ليس كل الليمون أصفر"، ولنفترض أن كلتيهما صحيحتان. إذا كان الأمر كذلك، فيمكن إثبات أي شيء، مثل الادعاء بأن " وحيد القرن موجود"، باستخدام الحجة التالية:

1. نحن نعلم أن "ليس كل الليمون أصفر"، كما كان يُفترض أنه صحيح.
2. نعلم أن "كل الليمون أصفر"، كما هو مفترض.
3. لذلك، يجب أن تكون العبارة المكونة من جزأين "كل الليمون أصفر أو أن وحيد القرن موجود" صحيحة أيضًا، لأن الجزء الأول من العبارة ("كل الليمون أصفر") قد تم افتراضه بالفعل، واستخدام " أو " يعني أنه إذا كان جزء واحد فقط من العبارة صحيحًا، فيجب أن تكون العبارة ككل صحيحة أيضًا.
4. ومع ذلك، بما أننا نعلم أيضًا أن "ليس كل الليمون أصفر" (كما تم افتراض ذلك)، فإن الجزء الأول خاطئ، وبالتالي يجب أن يكون الجزء الثاني صحيحًا لضمان صحة العبارة المكونة من جزأين، أي أن وحيد القرن موجود (يُعرف هذا الاستدلال باسم القياس المنفصل ).
5. يمكن تكرار الإجراء لإثبات عدم وجود وحيد القرن (وبالتالي إثبات تناقض إضافي حيث يوجد وحيد القرن ولا يوجد)، وكذلك أي صيغة أخرى سليمة . وهكذا، هناك وفرة هائلة من العبارات القابلة للإثبات.

في حل مختلف للمشاكل التي يطرحها مبدأ الانفجار، ابتكر بعض علماء الرياضيات نظريات بديلة للمنطق تسمى المنطق المتناقض ، والتي تسمح بإثبات بعض العبارات المتناقضة دون التأثير على قيمة الصدق لجميع العبارات الأخرى. ^{[ 7 ]}

في المنطق الرمزي ، يمكن التعبير عن مبدأ الانفجار بشكل تخطيطي بالطريقة التالية: ^{[ 8 ] [ 9 ]}

${\displaystyle P,\lnot P\vdash Q}$ بالنسبة لأي عبارتين P و Q ، إذا كانت P و not- P صحيحتين، فمن المنطقي أن Q صحيح.

فيما يلي حجة لويس ، ^{[ 10 ]} برهان رسمي لمبدأ الانفجار باستخدام المنطق الرمزي .

خطوة	اقتراح	الاشتقاق
1	${\displaystyle P\land \neg P}$	الفرضية [ ج ]
2	${\displaystyle P}$	حذف العطف (1)
3	${\displaystyle \neg P}$	حذف العطف (1)
4	${\displaystyle P\lor Q}$	مقدمة الفصل (2)
5	${\displaystyle Q}$	القياس المنفصل (4،3)

نُشر هذا البرهان بواسطة سي آي لويس وسُمّي باسمه، مع أن نسخًا منه كانت معروفة لدى علماء المنطق في العصور الوسطى. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 10 ]}

هذه مجرد نسخة رمزية من الحجة غير الرسمية الواردة في المقدمة، مع${\displaystyle P}$يرمز إلى "كل الليمون أصفر" و${\displaystyle Q}$يرمز هذا إلى "وجود وحيدات القرن". نبدأ بافتراض أن (1) جميع الليمون أصفر، وأن (2) ليس كل الليمون أصفر. من الافتراض أن جميع الليمون أصفر، نستنتج أن (3) إما أن جميع الليمون أصفر أو أن وحيدات القرن موجودة. ولكن من هذا، ومن حقيقة أن ليس كل الليمون أصفر، نستنتج أن (4) وحيدات القرن موجودة، وذلك باستخدام القياس المنطقي المنفصل.

تم تطوير منطق شبه متسق يسمح بمعاملات تشكيل شبه متناقضة . غالبًا ما ينكر علماء المنطق شبه المتسق القائمون على نظرية النموذج الافتراض القائل بأنه لا يمكن أن يكون هناك نموذج لـ${\displaystyle \{\phi ,\lnot \phi \}}$ويصممون أنظمة دلالية تتضمن هذه النماذج. أو يرفضون فكرة تصنيف القضايا إلى صحيحة أو خاطئة. عادةً ما تنكر المنطق المتناقض القائم على نظرية البرهان صحة إحدى الخطوات اللازمة لاستنتاج الانفجار، والتي تشمل عادةً القياس الانفصالي ، وإدخال الفصل ، والبرهان بالخلف .

تكمن القيمة الميتا رياضية لمبدأ الانفجار في أنه بالنسبة لأي نظام منطقي ينطبق عليه هذا المبدأ، فإن أي نظرية مشتقة تثبت ⊥ (أو شكل مكافئ،${\displaystyle \phi \land \lnot \phi }$إن مبدأ الانفجار عديم القيمة لأن جميع عباراته ستتحول إلى نظريات ، مما يجعل التمييز بين الصدق والكذب مستحيلاً. أي أن مبدأ الانفجار يُعدّ دليلاً على قانون عدم التناقض في المنطق الكلاسيكي، لأنه بدونه تصبح جميع عبارات الصدق بلا معنى.

تتم مناقشة تقليل قوة البرهان في المنطق بدون مبدأ الانفجار في المنطق الأدنى .

• العواقب الرائعة - قانون كلافيوس 
• الدياليثية – الإيمان بوجود تناقضات حقيقية
• قانون الوسط المرفوع - كل قضية إما صحيحة أو خاطئة 
• قانون عدم التناقض – لا يمكن لأي قضية أن تكون صحيحة وغير صحيحة في نفس الوقت 
• المنطق المتناقض – مجموعة من أنواع المنطق المستخدمة لمعالجة التناقضات 
• مفارقة الاستلزام – مفارقة ظاهرية مستمدة من مبدأ الانفجار 
• Reductio ad absurdum – استنتاج أن القضية خاطئة لأنها تُنتج تناقضًا 
• التفاهة – الاعتقاد بأن جميع العبارات التي تأتي على شكل "ص وليس ص" صحيحة