العدد السداسي المركزي

في الرياضيات والتوافقية ، يُعرف العدد السداسي المركزي ، أو عدد السداسي المركزي ، ^{[ 1 ] [ 2 ]} بأنه عدد شكلي مركزي يُمثل سداسيًا بنقطة في مركزه، وتحيط بها جميع النقاط الأخرى في شبكة سداسية . توضح الأشكال التالية هذا الترتيب للأعداد السداسية المركزية الأربعة الأولى:

1		7		19		37
+1		+6		+12		+18

لا ينبغي الخلط بين الأعداد السداسية المركزية والأعداد السداسية الزاوية ، وهي أعداد شكلية تشترك فيها السداسيات المرتبطة بها في رأس واحد.

تبدأ سلسلة الأرقام السداسية على النحو التالي (السلسلة A003215 في OEIS ) :

يُعطى العدد السداسي المركزي رقم n بالصيغة ^{[ 2 ]}

${\displaystyle H(n)=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1=3n^{2}-3n+1.\,}$

التعبير عن الصيغة على النحو التالي

${\displaystyle H(n)=1+6\left({\frac {n(n-1)}{2}}\right)}$

يوضح أن العدد السداسي المركزي لـ n هو 1 أكثر من 6 أضعاف العدد المثلثي ( n - 1) .

في الاتجاه المعاكس، يشير الدليل n إلى العدد السداسي المركزي${\displaystyle H=H(n)}$يمكن حساب ذلك باستخدام الصيغة

${\displaystyle n={\frac {3+{\sqrt {12H-3}}}{6}}.}$

يمكن استخدام هذا كاختبار لمعرفة ما إذا كان العدد H سداسيًا مركزيًا: سيكون كذلك إذا وفقط إذا كان التعبير أعلاه عددًا صحيحًا.

الأعداد السداسية المركزية${\displaystyle H(n)}$تحقق العلاقة التكرارية ^{[ 2 ]}

${\displaystyle H(n+1)=H(n)+6n.}$

ومن هذا يمكننا حساب الدالة المولدة${\displaystyle F(x)=\sum _{n\geq 0}H(n)x^{n}}$تحقق الدالة المولدة ما يلي:

${\displaystyle F(x)=x+xF(x)+\sum _{n\geq 2}6nx^{n}.}$

المصطلح الأخير هو متسلسلة تايلور لـ${\displaystyle {\frac {6x}{(1-x)^{2}}}-6x}$وهكذا نحصل

${\displaystyle (1-x)F(x)=x+{\frac {6x}{(1-x)^{2}}}-6x={\frac {x+4x^{2}+x^{3}}{(1-x)^{2}}}}$

وينتهي الأمر عند

${\displaystyle F(x)={\frac {x+4x^{2}+x^{3}}{(1-x)^{3}}}.}$

في النظام العشري، يُلاحظ أن الأرقام الموجودة في أقصى يمين الأعداد السداسية (الأقل أهمية) تتبع النمط 1-7-9-7-1 (يتكرر بفترة 5). وينتج هذا عن الرقم الأخير للأعداد المثلثية (التسلسل A008954 في OEIS ) الذي يتكرر 0-1-3-1-0 عند حساب باقي قسمته على 5. أما في النظام السداسي، فإن الرقم الموجود في أقصى اليمين هو دائمًا 1: 1⁶ _، 11⁶ _، 31⁶ ، _101⁶ ، 141⁶، 231⁶ _{، 331⁶} ، _441⁶ ... _وينتج هذا عن حقيقة أن كل عدد سداسي مركزي، عند حساب باقي قسمته على 6 (=10⁶ _{) ،} يساوي 1.

مجموع أول n عدد سداسي مركزي هو n³ ^. أي أن الأعداد الهرمية السداسية المركزية والمكعبات هي نفس الأعداد، لكنها تمثل أشكالًا مختلفة. من منظور معاكس، فإن الأعداد السداسية المركزية هي الفرق بين مكعبين متتاليين، وبالتالي فإن الأعداد السداسية المركزية هي مؤشر المكعبات. (يمكن ملاحظة ذلك هندسيًا من الرسم التوضيحي). على وجه الخصوص، الأعداد السداسية المركزية الأولية هي أعداد كوبية أولية .

الفرق بين (2 ن ) ² والعدد السداسي المركزي رقم ن هو عدد من الشكل 3 ن ² + 3 ن − 1 ، بينما الفرق بين (2 ن − 1) ² والعدد السداسي المركزي رقم ن هو عدد برونيك .

• العدد السداسي
• سداسي سحري
• رقم النجمة