المذهب النهائي

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

المذهب المحدود هو فلسفة رياضية تقبل وجود الكائنات الرياضية المحدودة فقط . ويُفهم هذا المذهب بشكل أفضل عند مقارنته بالفلسفة الرياضية السائدة التي تقبل وجود الكائنات الرياضية غير المحدودة (مثل المجموعات غير المحدودة ).

الفكرة الرئيسية

تتلخص الفكرة الرئيسية للرياضيات المحدودة في عدم قبول وجود كائنات لانهائية، مثل المجموعات اللانهائية. فبينما يُسلّم بوجود جميع الأعداد الطبيعية ، لا تُعتبر مجموعة الأعداد الطبيعية كائنًا رياضيًا قائمًا بذاته. ولذلك، لا يُعتبر التكميم على نطاقات لانهائية ذا معنى. وتُعدّ نظرية الحساب البدائي التكراري لثورالف سكولم النظرية الرياضية التي غالبًا ما تُربط بالمحدودية .

تاريخ

ظهر مفهوم الكائنات الرياضية اللانهائية قبل بضعة قرون، حين كان استخدامها موضوعًا مثيرًا للجدل بين علماء الرياضيات. ودخلت المسألة مرحلة جديدة عندما قدم جورج كانتور عام ١٨٧٤ ما يُعرف الآن بنظرية المجموعات البسيطة، واستخدمها كأساس لعمله على الأعداد المتسامية . وعندما اكتُشفت مفارقات مثل مفارقة راسل ، ومفارقة بيري، ومفارقة بورالي-فورتي في نظرية المجموعات البسيطة لكانتور، أصبحت المسألة موضوعًا ساخنًا بين علماء الرياضيات.

تباينت آراء علماء الرياضيات، واتفقوا جميعًا على وجود كائنات رياضية محدودة كالأعداد الطبيعية. إلا أنهم اختلفوا حول الكائنات الرياضية غير المحدودة. ومن بين هذه الآراء، الرياضيات الحدسية التي نادى بها إل إي جيه براور ، والتي رفضت وجود الكائنات غير المحدودة إلى حين بنائها.

تبنى ديفيد هيلبرت موقفًا آخر : الكائنات الرياضية المحدودة هي كائنات ملموسة، والكائنات الرياضية غير المحدودة هي كائنات مثالية، وقبول الكائنات الرياضية المثالية لا يُسبب مشكلة فيما يتعلق بالكائنات الرياضية المحدودة. وبشكل أكثر دقة، اعتقد هيلبرت أنه من الممكن إثبات أن أي نظرية حول الكائنات الرياضية المحدودة، والتي يمكن الحصول عليها باستخدام الكائنات المثالية غير المحدودة، يمكن الحصول عليها أيضًا بدونها. وبالتالي، فإن السماح بالكائنات الرياضية غير المحدودة لا يُسبب مشكلة فيما يتعلق بالكائنات المحدودة. وقد أدى هذا إلى برنامج هيلبرت لإثبات كل من اتساق واكتمال نظرية المجموعات باستخدام الوسائل المحدودة ، حيث أن هذا يعني أن إضافة الكائنات الرياضية المثالية يُعدّ إجراءً محافظًا مقارنةً بالجزء المحدود. وترتبط آراء هيلبرت أيضًا بالفلسفة الشكلية للرياضيات . وقد تبين أن هدف هيلبرت المتمثل في إثبات اتساق واكتمال نظرية المجموعات، أو حتى الحساب، من خلال الوسائل المحدودة، مهمة مستحيلة بسبب نظريات عدم الاكتمال لكورت غودل . ومع ذلك، فإن حدسية هارفي فريدمان الكبرى تعني أن معظم النتائج الرياضية قابلة للإثبات باستخدام الوسائل المحدودة.

لم يُقدّم هيلبرت شرحًا دقيقًا لما اعتبره محدودًا وأشار إليه بالرياضيات الأولية. مع ذلك، واستنادًا إلى عمله مع بول بيرنايز، جادل بعض الخبراء، مثل تيت (1981)، بأن الحساب الاسترجاعي الأولي يُمكن اعتباره حدًا أعلى لما اعتبره هيلبرت رياضيات محدودة. [ 1 ]

ونتيجة لنظريات غودل، حيث أصبح من الواضح أنه لا يوجد أمل في إثبات كل من اتساق واكتمال الرياضيات، ومع تطور نظريات المجموعات البديهية المتسقة ظاهريًا مثل نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، فإن معظم علماء الرياضيات المعاصرين لا يركزون على هذا الموضوع.

المذهب المحدود الكلاسيكي مقابل المذهب المحدود الصارم

في كتابها "فلسفة نظرية المجموعات" ، وصفت ماري تايلز أولئك الذين يسمحون بوجود كائنات لا نهائية محتملة بأنهم من أنصار نظرية المجموعات الكلاسيكية ، وأولئك الذين لا يسمحون بوجود كائنات لا نهائية محتملة بأنهم من أنصار نظرية المجموعات الصارمة . فعلى سبيل المثال، يسمح أنصار نظرية المجموعات الكلاسيكية بعبارات مثل "لكل عدد طبيعي عدد لاحق " ويقبلون دلالة المتسلسلات اللانهائية بمعنى نهايات المجاميع الجزئية المنتهية، بينما يرفضها أنصار نظرية المجموعات الصارمة. تاريخيًا، كان تاريخ الرياضيات المكتوب من أنصار نظرية المجموعات الكلاسيكية حتى ابتكر كانتور التسلسل الهرمي للأعداد الكاردينالية المتسامية في نهاية القرن التاسع عشر.

وجهات نظر بشأن الكائنات الرياضية اللانهائية

ظل ليوبولد كرونكر معارضًا شرسًا لنظرية كانتور للمجموعات: [ 2 ]

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott Gemacht, alles andere ist Menschenwerk. خلق الله الأعداد الصحيحة. وكل ما عدا ذلك هو عمل الإنسان.

— 1886 محاضرة في Berliner Naturforscher-Versammlung [ 3 ]

كان روبن غودستين من أنصار المذهب المحدود. وقد تضمن بعض أعماله بناء التحليل انطلاقاً من أسس محدودة.

على الرغم من إنكاره لذلك، فإن الكثير من كتابات لودفيج فيتجنشتاين في الرياضيات لها صلة قوية بالمحدودية. [ 4 ]

إذا قورن أصحاب المذهب المحدود بأصحاب المذهب المتسامي (مثل مؤيدي تسلسل جورج كانتور الهرمي لللانهائيات)، فإنه يمكن وصف أرسطو أيضًا بأنه من أصحاب المذهب المحدود. وقد روّج أرسطو بشكل خاص لمفهوم اللانهاية الكامنة كخيار وسط بين المذهب المحدود الصارم واللانهاية الفعلية (التي تمثل تجسيدًا لشيء لا نهاية له في الطبيعة، على عكس اللانهاية الفعلية عند كانتور التي تتكون من الأعداد الأصلية والترتيبية المتسامية ، والتي لا علاقة لها بالأشياء الموجودة في الطبيعة).

لكن من جهة أخرى، فإن افتراض عدم وجود اللانهاية بأي شكل من الأشكال يؤدي بوضوح إلى العديد من النتائج المستحيلة: سيكون للزمن بداية ونهاية، ولن يكون المقدار قابلاً للقسمة على مقادير، ولن يكون العدد لانهائياً. إذاً، في ضوء الاعتبارات السابقة، لم يكن أي من البديلين ممكناً، فلا بد من الاستعانة بطرف ثالث للفصل في الأمر.

— أرسطو، الطبيعة، الكتاب الثالث، الفصل السادس

إن المذهب الفائق للنهائية (المعروف أيضًا باسم الحدسية الفائقة) لديه موقف أكثر تحفظًا تجاه الكائنات الرياضية من المذهب الفينيتي، ولديه اعتراضات على وجود الكائنات الرياضية المحدودة عندما تكون كبيرة جدًا.

في أواخر القرن العشرين، طوّر جون بن مايبيري نظامًا للرياضيات المنتهية أطلق عليه اسم "الحساب الإقليدي". وأبرز ما يميز هذا النظام هو رفضه التام والصارم للمكانة التأسيسية الخاصة التي تُمنح عادةً للعمليات التكرارية، ولا سيما بناء الأعداد الطبيعية بالتكرار "+1". ونتيجةً لذلك، يُعارض مايبيري بشدة أولئك الذين يسعون إلى مساواة الرياضيات المنتهية بحساب بيانو أو أي من فروعه، كالحساب التكراري البدائي .

انظر أيضاً

ملحوظات

للمزيد من القراءة

مراجع

  • إريكسون، ك.؛ إستيب، د.؛ جونسون، س.، محرران (2004). "17 هل يتشاجر علماء الرياضيات؟ §17.7 كانتور ضد كرونكر". المشتقات والهندسة في IR3 . الرياضيات التطبيقية: الجسد والروح. المجلد  1. سبرينغر. ISBN 9783540008903.
  • فينغ يي (2011). التناهي الصارم ومنطق التطبيقات الرياضية . سبرينغر. ISBN 978-94-007-1347-5.