نظريات عدم الاكتمال لغودل

يُقال إن النظام الرسمي مُؤَسَّسٌ فعليًا (أو مُوَلَّدٌ فعليًا ) إذا كانت مجموعة نظرياته قابلةً للتعداد التكراري . وهذا يعني وجود برنامج حاسوبي، من حيث المبدأ، قادر على تعداد جميع نظريات النظام دون ذكر أي عبارات ليست نظريات. ومن أمثلة النظريات المُوَلَّدة فعليًا: حساب بيانو ونظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZFC). ^{[ 2 ]}

تتألف نظرية الحساب الحقيقي من جميع العبارات الصحيحة المتعلقة بالأعداد الصحيحة القياسية بلغة حساب بيانو. هذه النظرية متسقة وكاملة، وتحتوي على قدر كافٍ من الحساب. مع ذلك، فهي لا تملك مجموعة بديهيات قابلة للتعداد التكراري، وبالتالي لا تفي بفرضيات نظريات عدم الاكتمال.

تُعتبر مجموعة البديهيات كاملة ( نحويًا أو نفيًا ) إذا كان بالإمكان إثبات أي عبارة في لغة البديهيات، أو نفيها، انطلاقًا من هذه البديهيات. ^{[ 3 ]} هذا هو المفهوم ذو الصلة بنظرية عدم الاكتمال الأولى لغودل. ويجب عدم الخلط بينه وبين الاكتمال الدلالي ، الذي يعني أن مجموعة البديهيات تُثبت جميع التكرارات الدلالية للغة المعطاة. في نظرية الاكتمال (والتي لا ينبغي الخلط بينها وبين نظريات عدم الاكتمال المذكورة هنا)، أثبت غودل أن منطق الرتبة الأولى كامل دلاليًا . ولكنه ليس كاملًا نحويًا، إذ توجد جمل قابلة للتعبير عنها بلغة منطق الرتبة الأولى، لا يمكن إثباتها أو دحضها انطلاقًا من بديهيات المنطق وحدها.

في نظام الرياضيات، اعتقد مفكرون مثل هيلبرت أن الأمر مجرد مسألة وقت لإيجاد مثل هذه البديهيات التي تسمح للمرء إما بإثبات أو دحض (عن طريق إثبات نفيها) كل صيغة رياضية.

قد يكون النظام الرسمي ناقصًا نحويًا عمدًا، كما هو الحال في المنطق عمومًا. أو قد يكون ناقصًا ببساطة لعدم اكتشاف أو تضمين جميع البديهيات الضرورية. على سبيل المثال، الهندسة الإقليدية بدون مسلمة التوازي ناقصة، لأن بعض العبارات في اللغة (مثل مسلمة التوازي نفسها) لا يمكن إثباتها من البديهيات المتبقية. وبالمثل، فإن نظرية الترتيبات الخطية الكثيفة غير مكتملة، ولكنها تكتمل بإضافة بديهية تنص على عدم وجود نقاط نهاية في الترتيب. فرضية الاستمرارية هي عبارة في لغة ZFC غير قابلة للإثبات ضمن ZFC، لذا فإن ZFC غير مكتملة. في هذه الحالة، لا يوجد مرشح واضح لبديهية جديدة تحل هذه المشكلة.

تبدو نظرية حساب بيانو من الرتبة الأولى متسقة. وبافتراض صحة ذلك، تجدر الإشارة إلى أنها تمتلك مجموعة لا نهائية من البديهيات، ولكنها قابلة للتعداد التكراري، ويمكنها ترميز ما يكفي من العمليات الحسابية لفرضيات نظرية عدم الاكتمال. وبالتالي، وفقًا لنظرية عدم الاكتمال الأولى، فإن حساب بيانو ليس كاملاً. تُقدم النظرية مثالاً واضحًا لعبارة حسابية لا يمكن إثباتها ولا دحضها في حساب بيانو. علاوة على ذلك، فإن هذه العبارة صحيحة في النموذج المعتاد . إضافة إلى ذلك، لا يمكن لأي امتداد متسق وفعّال لحساب بيانو، مُؤَسَّس بديهيًا، أن يكون كاملاً.

تكون مجموعة البديهيات متسقة (ببساطة) إذا لم توجد عبارة يمكن إثبات كل من العبارة ونفيها من البديهيات، وغير متسقة فيما عدا ذلك. أي أن النظام البديهي المتسق هو النظام الخالي من التناقض.

يمكن إثبات اتساق حساب بيانو من خلال نظرية ZFC، ولكن ليس من داخلها. وبالمثل، لا يمكن إثبات اتساق نظرية ZFC من داخلها، ولكن إضافة "يوجد عدد أصلي غير قابل للوصول " إلى نظرية ZFC تثبت اتساقها، لأنه إذا كان κ هو أصغر عدد أصلي من هذا النوع، فإن _Vκ الموجود داخل كون فون نيومان يمثل نموذجًا لنظرية ZFC، وتكون النظرية متسقة إذا وفقط إذا كان لها نموذج.

إذا اعتبرنا جميع العبارات في لغة حساب بيانو بديهيات، فإن هذه النظرية تكون كاملة، ولها مجموعة بديهيات قابلة للتعداد بشكل متكرر، ويمكنها وصف الجمع والضرب. ومع ذلك، فهي غير متسقة.

تنشأ أمثلة إضافية على النظريات غير المتسقة من المفارقات التي تنتج عند افتراض مخطط البديهيات للفهم غير المقيد في نظرية المجموعات.

لا تنطبق نظريات عدم الاكتمال إلا على الأنظمة الصورية القادرة على إثبات مجموعة كافية من الحقائق حول الأعداد الطبيعية. ومن هذه المجموعات الكافية مجموعة نظريات حساب روبنسون Q. تستطيع بعض الأنظمة، مثل حساب بيانو، التعبير مباشرةً عن عبارات تتعلق بالأعداد الطبيعية. بينما تستطيع أنظمة أخرى، مثل نظرية مجموعات ZFC، تفسير هذه العبارات ضمن لغتها. وكلا الخيارين مناسب لنظريات عدم الاكتمال.

تُعدّ نظرية الحقول المغلقة جبريًا ذات خاصية معينة نظرية كاملة ومتسقة، ولها مجموعة من البديهيات اللانهائية ولكن القابلة للتعداد التكراري. مع ذلك، لا يمكن تضمين الأعداد الصحيحة في هذه النظرية، ولا يمكنها وصف العمليات الحسابية على الأعداد الصحيحة. مثال مشابه هو نظرية الحقول المغلقة الحقيقية ، والتي تُكافئ أساسًا بديهيات تارسكي للهندسة الإقليدية . لذا، تُعدّ الهندسة الإقليدية نفسها (بصيغة تارسكي) مثالًا على نظرية كاملة ومتسقة ومُؤَسَّسة بشكل فعّال.

يتألف نظام حساب بريسبرغر من مجموعة من البديهيات للأعداد الطبيعية مع عملية الجمع فقط (حيث تُحذف عملية الضرب). يتميز حساب بريسبرغر بالاكتمال والاتساق وإمكانية تعداد عناصره بشكل متكرر، ويمكنه ترميز عملية الجمع للأعداد الطبيعية دون ضربها، مما يدل على أن نظريات غودل تتطلب أن تشمل النظرية ليس فقط الجمع بل الضرب أيضاً.

قام دان ويلارد ( 2001 ) بدراسة بعض العائلات الضعيفة من الأنظمة الحسابية التي تسمح بوجود ما يكفي من الحساب كعلاقات لإضفاء الطابع الرسمي على ترقيم غودل، ولكنها ليست قوية بما يكفي ليكون الضرب دالة، وبالتالي تفشل في إثبات نظرية عدم الاكتمال الثانية؛ أي أن هذه الأنظمة متسقة وقادرة على إثبات اتساقها الخاص (انظر النظريات ذاتية التحقق ). 

عند اختيار مجموعة من البديهيات، يتمثل أحد الأهداف في القدرة على إثبات أكبر عدد ممكن من النتائج الصحيحة، دون إثبات أي نتائج خاطئة. على سبيل المثال، يمكننا تخيل مجموعة من البديهيات الصحيحة التي تسمح لنا بإثبات كل ادعاء حسابي صحيح حول الأعداد الطبيعية ( سميث 2007 ، ص 2) . في النظام القياسي لمنطق الرتبة الأولى، تُثبت مجموعة البديهيات غير المتسقة كل عبارة في لغتها (يُسمى هذا أحيانًا مبدأ الانفجار )، وبالتالي فهي كاملة تلقائيًا. أما مجموعة البديهيات الكاملة والمتسقة، فتُثبت مجموعة قصوى من النظريات غير المتناقضة . 

لا يمكن عمومًا كسر النمط الموضح في الأقسام السابقة باستخدام حساب بيانو، وZFC، وZFC + "يوجد عدد أصلي غير قابل للوصول". ولا يمكن إثبات اتساق ZFC + "يوجد عدد أصلي غير قابل للوصول" من تلقاء نفسه. كما أنه غير مكتمل، كما يتضح من فرضية الاستمرارية، التي لا يمكن حلها ^{[ 4 ]} في ZFC + "يوجد عدد أصلي غير قابل للوصول".

تُبين نظرية عدم الاكتمال الأولى أنه في الأنظمة الصورية القادرة على التعبير عن العمليات الحسابية الأساسية، لا يمكن إنشاء قائمة نهائية كاملة ومتسقة من البديهيات: ففي كل مرة تُضاف عبارة متسقة جديدة كبديهية، تظل هناك عبارات صحيحة أخرى لا يمكن إثباتها، حتى مع إضافة البديهية الجديدة. وإذا أُضيفت بديهية تجعل النظام كاملاً، فإن ذلك يكون على حساب جعل النظام غير متسق. بل إنه من المستحيل حتى أن تكون قائمة لا نهائية من البديهيات كاملة ومتسقة ومُؤَسَّسة بشكل فعال.

صُممت جملة غودل للإشارة، بشكل غير مباشر، إلى نفسها. تنص الجملة على أنه عند استخدام تسلسل معين من الخطوات لبناء جملة أخرى، فإن تلك الجملة المبنية لن تكون قابلة للإثبات في _{F. ومع ذلك، فإن تسلسل الخطوات يجعل الجملة المبنية هي GF نفسها. وبهذه الطريقة، تُشير جملة غودل GF} بشكل غير مباشر _إلى ^عدم إمكانية إثباتها داخل F. [ ^{5 ]}

لإثبات نظرية عدم الاكتمال الأولى، برهن غودل أن مفهوم قابلية الإثبات داخل نظام ما يمكن التعبير عنه بدلالة الدوال الحسابية التي تعمل على أعداد غودل من جمل النظام. وبالتالي، فإن النظام، القادر على إثبات حقائق معينة حول الأعداد، يستطيع أيضاً إثبات حقائق حول عباراته الخاصة بشكل غير مباشر، شريطة أن يكون مولداً بشكل فعال. تُطرح أسئلة حول قابلية إثبات العبارات داخل النظام على شكل أسئلة حول الخصائص الحسابية للأعداد نفسها، والتي يمكن للنظام حسمها لو كان مكتملاً.

وبالتالي، على الرغم من أن جملة غودل تشير بشكل غير مباشر إلى جمل النظام F ، إلا أنها عند قراءتها كعبارة حسابية، تشير مباشرةً إلى الأعداد الطبيعية فقط. فهي تؤكد أنه لا يوجد عدد طبيعي يمتلك خاصية معينة، حيث تُعطى هذه الخاصية بعلاقة تكرارية أولية ( سميث 2007 ، ص 141) . وعلى هذا النحو، يمكن كتابة جملة غودل بلغة الحساب بصيغة نحوية بسيطة. وعلى وجه الخصوص، يمكن التعبير عنها كصيغة في لغة الحساب تتكون من عدد من المُكمِّمات الكلية الرائدة متبوعة بجسم خالٍ من المُكمِّمات (هذه الصيغ على مستوى ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$من التسلسل الهرمي الحسابي ). عبر نظرية MRDP ، يمكن إعادة كتابة جملة غودل كعبارة مفادها أن متعددة الحدود معينة في العديد من المتغيرات ذات المعاملات الصحيحة لا تأخذ القيمة صفر أبدًا عند استبدال المتغيرات بالأعداد الصحيحة ( فرانزين 2005 ، ص 71) . 

تُبين نظرية عدم الاكتمال الأولى أن جملة غودل GF لنظرية صورية مناسبة _F غير قابلة للإثبات في F. ولأن هذه عدم القابلية للإثبات، عند تفسيرها كعبارة حول الحساب، هي تحديدًا ما تؤكده الجملة (بشكل غير مباشر)، فإن جملة غودل صحيحة في الواقع ( سمورينسكي 1977 ، ص 825 ؛ انظر أيضًا فرانزين 2005 ، ص 28-33 ). لهذا السبب، يُقال غالبًا إن الجملة GF "صحيحة ولكن غير قابلة للإثبات _" ( راتيكاينن 2020 ) . مع ذلك، بما أن جملة غودل لا تستطيع تحديد تفسيرها المقصود بشكل رسمي، _فإن صحة الجملة GF لا يمكن الوصول إليها إلا من خلال تحليل شامل من خارج النظام. بشكل عام، يمكن إجراء هذا التحليل التلوي ضمن النظام الرسمي الضعيف المعروف باسم الحساب التكراري البدائي ، والذي يثبت الاستلزام Con ( F )→ G _F ، حيث Con ( F ) هي جملة قانونية تؤكد اتساق F ( Smoryński 1977 ، ص 840 ، Kikuchi & Tanaka 1994 ، ص 403 ).    

على الرغم من أن جملة غودل في نظرية متسقة صحيحة كعبارة حول التفسير المقصود للحساب، إلا أنها ستكون خاطئة في بعض النماذج الحسابية غير القياسية ، كنتيجة لنظرية اكتمال غودل ( فرانزين، 2005 ، ص 135) . تُبين هذه النظرية أنه عندما تكون جملة ما مستقلة عن نظرية، فإن النظرية ستتضمن نماذج تكون فيها الجملة صحيحة ونماذج أخرى تكون فيها خاطئة. وكما ذُكر سابقًا، فإن جملة غودل لنظام F هي عبارة حسابية تدّعي عدم وجود عدد يمتلك خاصية معينة. تُبين نظرية عدم الاكتمال أن هذا الادعاء سيكون مستقلاً عن النظام F ، وتستند صحة جملة غودل إلى حقيقة عدم وجود أي عدد طبيعي قياسي يمتلك الخاصية المذكورة. أي نموذج تكون فيه جملة غودل خاطئة يجب أن يحتوي على عنصر ما يحقق الخاصية ضمن ذلك النموذج. يجب أن يكون هذا النموذج "غير قياسي" - يجب أن يحتوي على عناصر لا تتوافق مع أي عدد طبيعي قياسي ( Raatikainen 2020 ، Franzén 2005 ، ص 135 ).  

يستشهد غودل تحديدًا بمفارقة ريتشارد ومفارقة الكاذب كأمثلة دلالية لنتيجة عدم الاكتمال النحوي في القسم التمهيدي من كتابه " حول القضايا غير القابلة للتقرير رسميًا في كتاب مبادئ الرياضيات والأنظمة ذات الصلة 1 ". مفارقة الكاذب هي الجملة "هذه الجملة خاطئة". يُظهر تحليل جملة الكاذب أنها لا يمكن أن تكون صحيحة (لأنها، كما تدعي، خاطئة)، ولا يمكن أن تكون خاطئة (لأنها صحيحة). تُقدم جملة غودل G لنظام F ادعاءً مشابهًا لجملة الكاذب، ولكن مع استبدال الصدق بإمكانية الإثبات: تقول G " G غير قابلة للإثبات في النظام F ". يُعد تحليل صدق G وإمكانية إثباتها نسخة رسمية من تحليل صدق جملة الكاذب.

لا يمكن استبدال عبارة "غير قابل للإثبات" بعبارة "خاطئ" في جملة غودل، لأن المسند " Q هو عدد غودل لصيغة خاطئة" لا يمكن تمثيله كصيغة حسابية. هذه النتيجة، المعروفة بنظرية عدم قابلية تعريف تارسكي ، اكتشفها كل من غودل، أثناء عمله على إثبات نظرية عدم الاكتمال، وألفريد تارسكي ، الذي سُميت النظرية باسمه .

بالمقارنة مع النظريات الواردة في ورقة غودل عام 1931، فإن العديد من الصيغ المعاصرة لنظريات عدم الاكتمال أكثر عمومية من ناحيتين. فقد صِيغت هذه الصيغ المعممة لتنطبق على فئة أوسع من الأنظمة، كما صِيغت لتتضمن افتراضات اتساق أضعف.

أثبت غودل عدم اكتمال نظام كتاب "مبادئ الرياضيات" ، وهو نظام حسابي محدد، لكن يمكن تقديم برهان مماثل لأي نظام فعال يتمتع بقدر معين من التعبيرية. وقد أشار غودل إلى هذه الحقيقة في مقدمة بحثه، لكنه قصر البرهان على نظام واحد من حيث التجسيد. في الصيغ الحديثة للنظرية، يشيع ذكر شروط الفعالية والتعبيرية كفرضيات لنظرية عدم الاكتمال، بحيث لا تقتصر على أي نظام شكلي محدد. لم تكن المصطلحات المستخدمة لذكر هذه الشروط قد طُورت بعد في عام 1931 عندما نشر غودل نتائجه.

يتطلب بيان غودل الأصلي وبرهانه لنظرية عدم الاكتمال افتراض أن النظام ليس متسقًا فحسب، بل متسقًا من النوع ω . يكون النظام متسقًا من النوع ω إذا لم يكن غير متسق من النوع ω، ويكون غير متسق من النوع ω إذا وُجد محمول P بحيث يُثبت النظام ، لكل عدد طبيعي m محدد، أن ~ P ( m ) ، ومع ذلك يُثبت النظام أيضًا وجود عدد طبيعي n بحيث P ( n ). أي أن النظام يقول إن عددًا ما له الخاصية P موجود، بينما ينفي أن له أي قيمة محددة. إن اتساق النظام من النوع ω يستلزم اتساقه، لكن الاتساق لا يستلزم اتساقه من النوع ω. وقد عزز ج. باركلي روسر ( 1936 ) نظرية عدم الاكتمال بإيجاد صيغة معدلة للبرهان ( حيلة روسر ) لا تتطلب سوى أن يكون النظام متسقًا، بدلًا من أن يكون متسقًا من النوع ω. هذا الأمر ذو أهمية تقنية في المقام الأول، لأن جميع النظريات الرسمية الحقيقية في الحساب (النظريات التي تكون بديهياتها جميعها عبارات صحيحة حول الأعداد الطبيعية) متسقة من النوع ω، وبالتالي فإن نظرية غودل بصيغتها الأصلية تنطبق عليها. أما الصيغة الأقوى لنظرية عدم الاكتمال، التي تفترض الاتساق فقط بدلاً من الاتساق من النوع ω، فقد أصبحت تُعرف باسم نظرية عدم الاكتمال لغودل ونظرية غودل-روسر. 

تتضمن نظرية عدم الاكتمال الثانية دقةً فنيةً تتعلق بطريقة التعبير عن اتساق F كصيغة بلغة F. توجد طرق عديدة للتعبير عن اتساق النظام، ولا تؤدي جميعها إلى النتيجة نفسها. تُعدّ الصيغة Cons( F ) من نظرية عدم الاكتمال الثانية تعبيرًا خاصًا عن الاتساق.

قد تكون بعض الصيغ الرسمية الأخرى للادعاء بأن F متسقة غير متكافئة في F ، بل وقد يكون بعضها قابلاً للإثبات. على سبيل المثال، يمكن لحساب بيانو من الدرجة الأولى (PA) أن يثبت أن "أكبر مجموعة جزئية متسقة من PA" متسقة. ولكن، نظرًا لأن PA متسقة، فإن أكبر مجموعة جزئية متسقة من PA هي PA نفسها، لذا بهذا المعنى، فإن PA "تثبت أنها متسقة". ما لا تثبته PA هو أن أكبر مجموعة جزئية متسقة من PA هي، في الواقع، PA بأكملها. (يُقصد بمصطلح "أكبر مجموعة جزئية متسقة من PA" هنا أكبر جزء أولي متسق من بديهيات PA في ظل تعداد فعال معين).

يفترض البرهان القياسي لنظرية عدم الاكتمال الثانية أن مسند الإثبات Prov _A ( P ) يحقق شروط إثبات هيلبرت-بيرنايز . وبفرض أن #( P ) يمثل عدد غودل للصيغة P ، فإن شروط الإثبات تنص على ما يلي:

1. إذا أثبت F صحة P ، فإن F يثبت Prov _A (#( P )) .
2. F تثبت 1.؛ أي أن F تثبت Prov _A (#( P )) → Prov _A (#( Prov _A (#( P )))) .
3. F يثبت Prov _A (#( P → Q )) ∧ Prov _A (#( P )) → Prov _A (#( Q ))  (تناظري لـ modus ponens ).

توجد أنظمة، مثل حساب روبنسون، تتمتع بقوة كافية لتلبية افتراضات نظرية عدم الاكتمال الأولى، لكنها لا تثبت شروط هيلبرت - بيرنايز. مع ذلك، يتمتع حساب بيانو بقوة كافية للتحقق من هذه الشروط، وكذلك جميع النظريات الأقوى منه.

_{تنص نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل أيضًا على} أن النظام F1 الذي يحقق الشروط التقنية المذكورة أعلاه لا يمكنه إثبات اتساق أي نظام F2 يثبت اتساق _F1 . وذلك لأن النظام F1 _يستطيع إثبات أنه إذا _{أثبت F2} اتساق F1 ، _فإن F1 يكون متسقًا بالفعل. فالادعاء بأن _{F1 متسق يأخذ الشكل} التالي _: "لكل عدد n ، يمتلك n خاصية قابلة للتقرير _، وهي أنه ليس رمزًا لإثبات تناقض في F1 ". إذا كان F1 غير متسق في الواقع، فإن F2 _سيثبت ، لبعض قيم n _، أن _n هو رمز تناقض في F1 _. لكن إذا أثبت F2 أيضًا أن F1 متسق (أي أنه لا يوجد مثل هذا العدد _n ) _، فإنه سيكون غير متسق هو الآخر. يمكن صياغة هذا الاستدلال في F1 لإظهار أنه إذا _كان F2 _متسقًا ، فإن F1 يكون متسقًا _{. بما أن} F ₁ ، وفقًا لنظرية عدم الاكتمال الثانية، لا تثبت اتساقها، فلا يمكنها إثبات اتساق F ₂ أيضًا.

تُظهر هذه النتيجة المترتبة على نظرية عدم الاكتمال الثانية أنه لا أمل في إثبات، على سبيل المثال، اتساق حساب بيانو باستخدام أي وسيلة منتهية يمكن صياغتها في نظام يمكن إثبات اتساقه في حساب بيانو (PA). فعلى سبيل المثال، نظام الحساب الاستدعائي البدائي (PRA)، المقبول على نطاق واسع باعتباره صياغة دقيقة للرياضيات المنتهية، متسق بشكل قابل للإثبات في حساب بيانو. وبالتالي، لا يمكن لنظام الحساب الاستدعائي البدائي إثبات اتساق حساب بيانو. يُنظر إلى هذه الحقيقة عمومًا على أنها تعني أن برنامج هيلبرت ، الذي كان يهدف إلى تبرير استخدام المبادئ الرياضية "المثالية" (اللانهائية) في براهين العبارات الرياضية "الحقيقية" (المنتهية) من خلال تقديم برهان منتهٍ على اتساق المبادئ المثالية، لا يمكن تنفيذه. ^{[ 7 ]}

تشير النتيجة أيضًا إلى الأهمية المعرفية لنظرية عدم الاكتمال الثانية. لن يُقدّم إثبات اتساق النظام F أي معلومات قيّمة ، لأن النظريات غير المتسقة تُثبت كل شيء، بما في ذلك اتساقها. وبالتالي، فإن إثبات اتساق F في F لن يُعطينا أي دليل على اتساق F ؛ ولن يُزيل أي شكوك حول اتساق F. تكمن أهمية براهين الاتساق في إمكانية إثبات اتساق النظام F في نظام F' الذي يكون، بمعنى ما، أقل إثارة للشك من F نفسه، على سبيل المثال، أضعف من F. بالنسبة للعديد من النظريات الطبيعية F و F' ، مثل F = نظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل و F' = الحساب التكراري البدائي، يُمكن إثبات اتساق F' في F ، وبالتالي لا يُمكن لـ F' إثبات اتساق F بالنتيجة المذكورة أعلاه لنظرية عدم الاكتمال الثانية.

لا تستبعد نظرية عدم الاكتمال الثانية إمكانية إثبات اتساق نظام مختلف ذي بديهيات مختلفة. فعلى سبيل المثال، أثبت غيرهارد جنتزن اتساق حساب بيانو في نظام مختلف يتضمن بديهية تنص على أن العدد الترتيبي المسمى ε₀ مؤسس جيدًا _؛ انظر برهان جنتزن على الاتساق . وقد حفزت نظرية جنتزن تطوير التحليل الترتيبي في نظرية البرهان.

هذه مكافئات رياضية طبيعية لجملة غودل "صحيحة ولكن غير قابلة للحسم". يمكن إثباتها في نظام أوسع يُعتبر عمومًا شكلًا صحيحًا من أشكال الاستدلال، لكنها غير قابلة للحسم في نظام أضيق مثل حساب بيانو.

في عام 1977، أثبت باريس وهارينغتون أن مبدأ باريس - هارينغتون ، وهو صيغة من مبرهنة رامزي اللانهائية ، غير قابل للحسم في حساب بيانو (من الرتبة الأولى) ، ولكنه قابل للحسم في نظام حساب الرتبة الثانية الأقوى . وفي وقت لاحق، بيّن كيربي وباريس أن مبرهنة غودستين ، وهي عبارة عن متواليات من الأعداد الطبيعية أبسط نوعًا ما من مبدأ باريس - هارينغتون، غير قابلة للحسم أيضًا في حساب بيانو.

تُعدّ نظرية كروسكال الشجرية ، التي لها تطبيقات في علوم الحاسوب، غير قابلة للتقرير من حساب بيانو، ولكنها قابلة للإثبات في نظرية المجموعات. في الواقع، تُعدّ نظرية كروسكال الشجرية (أو صيغتها المحدودة) غير قابلة للتقرير في نظام أقوى بكثير، وهو ATR _0، الذي يُقنّن المبادئ المقبولة استنادًا إلى فلسفة رياضية تُسمى التنبؤية . ^{[ 9 ]} ولنظرية الرسم البياني الصغرى، ذات الصلة ولكنها أكثر عمومية (2003)، تبعات على نظرية التعقيد الحسابي .

تكمن المشكلة الرئيسية في تطوير البرهان الموصوف آنفًا في أنه يبدو للوهلة الأولى أن بناء عبارة p مكافئة لعبارة " لا يمكن إثبات p " يتطلب بطريقة ما أن تحتوي p على مرجع إلى p ، مما قد يؤدي بسهولة إلى تسلسل لا نهائي. تتمثل تقنية غودل في إثبات إمكانية مطابقة العبارات مع الأعداد (وهو ما يُعرف غالبًا بحسابية بناء الجملة ) بحيث يمكن استبدال "إثبات عبارة" بـ "اختبار ما إذا كان عدد ما يمتلك خاصية معينة" . يُتيح هذا بناء صيغة مرجعية ذاتية بطريقة تتجنب أي تسلسل لا نهائي للتعريفات. وقد استخدم آلان تورينج التقنية نفسها لاحقًا في عمله على مسألة القرار (Entscheidungsproblem) .

ببساطة، يمكن ابتكار طريقة تُعطي كل صيغة أو عبارة قابلة للصياغة في النظام رقمًا فريدًا يُسمى رقم غودل ، بحيث يُمكن التحويل الآلي بين الصيغ وأرقام غودل. قد تكون الأرقام طويلة جدًا (من حيث عدد الخانات)، لكن هذا ليس عائقًا؛ المهم هو إمكانية إنشاء هذه الأرقام. مثال بسيط على ذلك هو كيفية تخزين اللغة الإنجليزية كسلسلة من الأرقام لكل حرف ، ثم دمجها في رقم واحد أكبر.

• يتم ترميز الكلمة helloعلى النحو التالي 104-101-108-108-111 في ASCII ، والذي يمكن تحويله إلى الرقم 104101108108111.
• x=y => y=xيتم ترميز العبارة المنطقية على النحو التالي: 120-061-121-032-061-062-032-121-061-120 في ASCII ، والتي يمكن تحويلها إلى الرقم 120061121032061062032121061120.

من حيث المبدأ، يمكن إثبات صحة أو خطأ عبارة ما على أنه مكافئ لإثبات أن العدد المطابق للعبارة يمتلك أو لا يمتلك خاصية معينة. ولأن النظام الرسمي قوي بما يكفي لدعم الاستدلال حول الأعداد بشكل عام ، فإنه يدعم أيضًا الاستدلال حول الأعداد التي تمثل الصيغ والعبارات . والأهم من ذلك، بما أن النظام يدعم الاستدلال حول خصائص الأعداد ، فإن النتائج مكافئة للاستدلال حول إمكانية إثبات العبارات المكافئة لها .

بعد أن أظهرنا من حيث المبدأ أن النظام يمكنه بشكل غير مباشر تقديم بيانات حول إمكانية الإثبات، من خلال تحليل خصائص تلك الأرقام التي تمثل البيانات، من الممكن إظهار كيفية إنشاء بيان يقوم بذلك بالفعل.

تُسمى الصيغة F ( x ) التي تحتوي على متغير حر واحد فقط x صيغة بيانية أو علامة فئة . بمجرد استبدال x برقم محدد، تتحول الصيغة البيانية إلى بيان حقيقي ، وعندها إما أن تكون قابلة للإثبات في النظام أو لا . بالنسبة لبعض الصيغ، يمكن إثبات أنه لكل عدد طبيعي n ،${\displaystyle F(n)}$تكون العبارة صحيحة إذا وفقط إذا أمكن إثباتها (الشرط الدقيق في البرهان الأصلي أضعف، ولكن هذا يكفي لتوضيح البرهان). وبالتحديد، هذا صحيح لكل عملية حسابية محددة بين عدد محدود من الأعداد الطبيعية، مثل "2 × 3 = 6".

لا تُعدّ صيغ العبارات عباراتٍ بحدّ ذاتها، وبالتالي لا يمكن إثباتها أو دحضها. ولكن يمكن إسناد عدد غودل، يُرمز له بـ G ( F ) ، إلى كل صيغة عبارة F ( x ) . ولا يؤثر اختيار المتغير الحرّ المستخدم في الصيغة F ( x ) على إسناد عدد غودل G ( F ) .

يمكن أيضًا ترميز مفهوم قابلية الإثبات نفسه باستخدام أعداد غودل، على النحو التالي: بما أن البرهان عبارة عن قائمة من العبارات التي تخضع لقواعد معينة، فإنه يمكن تعريف عدد غودل للبرهان. بعد ذلك، لكل عبارة p ، يمكن التساؤل عما إذا كان العدد x هو عدد غودل لبرهانها. العلاقة بين عدد غودل لـ p و x ، وهو عدد غودل المحتمل لبرهانها، هي علاقة حسابية بين عددين. لذلك، توجد صيغة عبارة Bew ( y ) تستخدم هذه العلاقة الحسابية للتأكيد على وجود عدد غودل لبرهان y .

Bew ( y ) = ∃ x ( y هو رقم غودل للصيغة و x هو رقم غودل لإثبات الصيغة المشفرة بواسطة y ).

اسم "Bew" هو اختصار لكلمة " beweisbar " الألمانية التي تعني "قابل للإثبات". وقد استخدم غودل هذا الاسم في الأصل للدلالة على صيغة الإثبات المذكورة آنفًا. تجدر الإشارة إلى أن " Bew ( y ) " هو مجرد اختصار يمثل صيغة طويلة جدًا في اللغة الأصلية لـ T ؛ ولا يُزعم أن السلسلة " Bew " نفسها جزء من هذه اللغة.

من السمات المهمة للصيغة Bew ( y ) أنه إذا كانت العبارة p قابلة للإثبات في النظام، فإن Bew ( G ( p )) تكون قابلة للإثبات أيضًا. وذلك لأن أي برهان على p سيكون له عدد غودل مقابل، ووجود هذا العدد يؤدي إلى تحقق Bew( G ( p )) .

تتمثل الخطوة التالية في البرهان في الحصول على عبارة تؤكد، بشكل غير مباشر، عدم إمكانية إثباتها. على الرغم من أن غودل قد صاغ هذه العبارة مباشرة، فإن وجود عبارة واحدة على الأقل من هذا القبيل يتبع من اللمة القطرية ، التي تنص على أنه لأي نظام صوري قوي بما فيه الكفاية وأي شكل من أشكال العبارات F، توجد عبارة p بحيث يثبت النظام

p ↔ F ( G ( p )) .

بجعل F نفيًا لـ Bew ( x ) ، نحصل على النظرية

p ↔ ~ Bew ( G ( p ))

ويشير p المحدد بهذا تقريبًا إلى أن رقم غودل الخاص به هو رقم غودل لصيغة غير قابلة للإثبات.

العبارة p لا تساوي حرفيًا ~ Bew ( G ( p )) ؛ بل تنص p على أنه إذا أُجريت عملية حسابية معينة، فسيكون عدد غودل الناتج هو عدد غودل لعبارة غير قابلة للإثبات. ولكن عند إجراء هذه العملية الحسابية، يتبين أن عدد غودل الناتج هو عدد غودل للعبارة p نفسها. وهذا مشابه للجملة التالية في اللغة الإنجليزية:

"، عندما تسبقها علامات اقتباس، لا يمكن إثباتها."، عندما تسبقها علامات اقتباس، لا يمكن إثباتها.

لا تشير هذه الجملة إلى نفسها مباشرةً، ولكن عند إجراء التحويل المذكور، نحصل على الجملة الأصلية كنتيجة، وبالتالي تؤكد هذه الجملة بشكل غير مباشر عدم إمكانية إثباتها. ويستخدم برهان اللمة القطرية أسلوبًا مشابهًا.

بعد ذلك، افترض أن النظام البديهي متسق ω ، ولتكن p هي العبارة التي تم الحصول عليها في القسم السابق.

لو كان بالإمكان إثبات p ، لكانت Bew ( G ( p )) قابلة للإثبات أيضًا، كما ذُكر سابقًا. لكن p تُثبت نفي Bew ( G ( p )) . وبالتالي، سيكون النظام غير متسق، إذ يُثبت عبارة ونفيها في آنٍ واحد. هذا التناقض يُبين أن p غير قابلة للإثبات.

لو كان نفي p قابلاً للإثبات، لكانت Bew ( G ( p )) قابلة للإثبات أيضًا (لأن p صُممت لتكون مكافئة لنفي Bew ( G ( p )) ). مع ذلك، لكل عدد محدد x ، لا يمكن أن يكون x هو عدد غودل لإثبات p ، لأن p غير قابلة للإثبات (كما ذُكر في الفقرة السابقة). بالتالي، من جهة، يُثبت النظام وجود عدد ذي خاصية معينة (كونه عدد غودل لإثبات p )، ولكن من جهة أخرى، لكل عدد محدد x ، يمكننا إثبات أنه لا يمتلك هذه الخاصية. هذا مستحيل في نظام متسق ω. لذا، فإن نفي p غير قابل للإثبات.

وبالتالي فإن العبارة p غير قابلة للتقرير في نظامنا البديهي: لا يمكن إثباتها ولا دحضها داخل النظام.

في الواقع، لإثبات عدم إمكانية إثبات p، يكفي افتراض اتساق النظام. أما لإثبات عدم إمكانية إثبات نفي p ، فيلزم افتراض أقوى هو اتساق ω. وبالتالي، إذا تم بناء p لنظام معين:

• إذا كان النظام متسقًا من النوع ω، فإنه لا يستطيع إثبات p ولا نفيها، وبالتالي فإن p غير قابل للتقرير.
• إذا كان النظام متسقًا، فقد يكون لديه نفس الموقف، أو قد يثبت نفي p . في الحالة الأخيرة، لدينا عبارة ("ليس p ") خاطئة ولكنها قابلة للإثبات، والنظام ليس متسقًا من النوع ω.

إذا حاولنا "إضافة البديهيات الناقصة" لتجنب عدم اكتمال النظام، فسيتعين علينا إضافة إما p أو "ليس p " كبديهيات. ولكن حينها يتغير تعريف "كونه عددًا غودليًا لبرهان" عبارة ما، مما يعني أن الصيغة Bew ( x ) تصبح مختلفة. وبالتالي، عند تطبيق اللمة القطرية على هذه الصيغة الجديدة، نحصل على عبارة جديدة p ، تختلف عن السابقة، والتي ستكون غير قابلة للتقرير في النظام الجديد إذا كانت متسقة مع ω.

يقدم بولوس (1989) برهانًا بديلًا لنظرية عدم الاكتمال الأولى، مستخدمًا مفارقة بيري بدلًا من مفارقة الكاذب، لبناء صيغة صحيحة ولكنها غير قابلة للإثبات. وقد اكتشف شاول كريبك، بشكل مستقل ، طريقة برهان مماثلة . ^{[ 15 ]} يعتمد برهان بولوس على بناء جملة أخرى صحيحة ولكنها غير موجودة في أي مجموعة S قابلة للحساب والتعداد من الجمل الحسابية الصحيحة. وهذا يُعطي نظرية عدم الاكتمال الأولى كنتيجة طبيعية. ووفقًا لبولوس، فإن هذا البرهان مثير للاهتمام لأنه يُقدم "سببًا مختلفًا" لعدم اكتمال النظريات الحسابية الفعالة والمتسقة. ^{[ 16 ]}

تُعدّ نظريات عدم الاكتمال من بين عدد قليل نسبيًا من النظريات غير التافهة التي تم تحويلها إلى نظريات رسمية يمكن التحقق منها بالكامل بواسطة برامج مساعدة البرهان . وقد كُتبت براهين غودل الأصلية لنظريات عدم الاكتمال، كمعظم البراهين الرياضية، بلغة طبيعية موجهة للقراء من البشر.

أُعلن عن براهين مُدققة حاسوبيًا لإصدارات من نظرية عدم الاكتمال الأولى بواسطة ناتاراجان شانكار عام 1986 باستخدام برنامج Nqthm ( شانكار 1994 ) ، و بواسطة راسل أوكونور عام 2003 باستخدام برنامج Rocq (المعروف سابقًا باسم Coq ) ( أوكونور 2005 ) ، و بواسطة جون هاريسون عام 2009 باستخدام برنامج HOL Light ( هاريسون 2009 ) . كما أُعلن عن برهان مُدقق حاسوبيًا لكلا نظريتي عدم الاكتمال بواسطة لورانس بولسون عام 2013 باستخدام برنامج Isabelle ( بولسون 2014 ) .

يُعتقد أحيانًا أن لنظرية عدم الاكتمال عواقب وخيمة على برنامج المنطق الذي اقترحه غوتلوب فريجه وبرتراند راسل ، والذي كان يهدف إلى تعريف الأعداد الطبيعية باستخدام المنطق. ^{[ 17 ]} ويجادل بوب هيل وكريسبين رايت بأنها لا تُشكل مشكلة للمنطق، لأن نظريات عدم الاكتمال تنطبق على منطق الرتبة الأولى كما تنطبق على الحساب. ويؤكدان أن هذه المشكلة تقتصر على من يعتقدون بضرورة تعريف الأعداد الطبيعية باستخدام منطق الرتبة الأولى.

يعتقد العديد من علماء المنطق أن نظريات عدم الاكتمال لغودل قد وجهت ضربة قاضية لمسألة ديفيد هيلبرت الثانية ، التي كانت تتطلب برهانًا على الاتساق النهائي في الرياضيات. وغالبًا ما يُنظر إلى نظرية عدم الاكتمال الثانية، على وجه الخصوص، على أنها تجعل المسألة مستحيلة. ومع ذلك، لا يتفق جميع علماء الرياضيات مع هذا التحليل، ولم يُحسم بعد وضع مسألة هيلبرت الثانية (انظر " وجهات النظر الحديثة حول وضع المسألة ").

ناقش مؤلفون، من بينهم الفيلسوف جيه آر لوكاس والفيزيائي روجر بنروز، ما إذا كانت نظريات عدم الاكتمال لغودل تُشير إلى أي شيء بخصوص الذكاء البشري. ويتركز جزء كبير من النقاش حول ما إذا كان العقل البشري يُعادل آلة تورينغ ، أو وفقًا لأطروحة تشيرش-تورينغ ، أي آلة محدودة على الإطلاق. وإذا كان الأمر كذلك، وإذا كانت الآلة متسقة، فإن نظريات عدم الاكتمال لغودل ستنطبق عليها.

اقترح بوتنام (1960) أنه على الرغم من عدم إمكانية تطبيق نظريات غودل على البشر، نظرًا لارتكابهم الأخطاء وبالتالي عدم اتساقها، إلا أنه يمكن تطبيقها على القدرات البشرية في العلوم أو الرياضيات بشكل عام. وبافتراض اتساقها، فإما أنه لا يمكن إثبات اتساقها أو لا يمكن تمثيلها بواسطة آلة تورينغ. ^{[ 18 ]}

اقترح ويغدرسون (2010) أن مفهوم "المعرفة الرياضية" يجب أن يستند إلى التعقيد الحسابي بدلاً من قابلية الحسم المنطقي. وكتب قائلاً: "عندما تُفسَّر المعرفة وفقًا للمعايير الحديثة، أي من خلال التعقيد الحسابي، فإن ظواهر غودل تظل حاضرة بقوة". ^{[ 19 ]}

يستشهد دوغلاس هوفستاتر ، في كتبه "غودل، إيشر، باخ ، وأنا حلقة غريبة" ، بنظريات غودل كمثال لما يسميه " الحلقة الغريبة" ، وهي بنية هرمية ذاتية المرجعية موجودة ضمن نظام صوري بديهي. ويجادل بأن هذا النوع من البنية هو نفسه الذي يُنشئ الوعي، أي إحساس "الأنا"، في العقل البشري. فبينما تأتي المرجعية الذاتية في نظرية غودل من جملة غودل التي تؤكد عدم إمكانية إثباتها ضمن النظام الصوري لكتاب "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية"، فإن المرجعية الذاتية في العقل البشري تأتي من كيفية تجريد الدماغ للمثيرات وتصنيفها إلى "رموز"، أو مجموعات من الخلايا العصبية التي تستجيب للمفاهيم، فيما يُعدّ في الواقع نظامًا صوريًا أيضًا، مما يؤدي في النهاية إلى ظهور رموز تُجسّد مفهوم الكيان نفسه الذي يقوم بالإدراك. يجادل هوفستاتر بأن حلقةً غريبةً في نظامٍ شكليٍّ معقدٍ بما فيه الكفاية قد تُؤدي إلى علاقة سببية "تنازلية" أو "مقلوبة"، وهي حالةٌ ينقلب فيها التسلسل الهرمي الطبيعي للسبب والنتيجة رأسًا على عقب. وفي حالة نظرية غودل، يتجلى هذا، باختصار، على النحو التالي:

بمجرد معرفة معنى الصيغة، يمكن استنتاج صحتها أو خطئها دون أي جهد لاستنباطها بالطريقة التقليدية، التي تتطلب اتباع منهجية دقيقة "تصاعدية" من البديهيات. هذا ليس غريبًا فحسب، بل إنه مذهل. ففي العادة، لا يمكن للمرء أن ينظر فقط إلى ما تقوله فرضية رياضية ويستند إلى مضمون تلك العبارة وحدها ليستنتج ما إذا كانت العبارة صحيحة أم خاطئة. ^{[ 20 ]}

في حالة العقل، وهو نظام رسمي أكثر تعقيدًا بكثير، يتجلى هذا "السببية التنازلية"، من وجهة نظر هوفستاتر، على أنه الغريزة البشرية التي لا توصف بأن سببية عقولنا تكمن في المستوى العالي من الرغبات والمفاهيم والشخصيات والأفكار، بدلاً من المستوى المنخفض من التفاعلات بين الخلايا العصبية أو حتى الجسيمات الأساسية، على الرغم من أن الفيزياء تشير إلى أن الأخيرة تبدو وكأنها تمتلك القوة السببية.

وهكذا، ثمة انقلاب غريب في طريقة إدراكنا البشرية المعتادة للعالم: فنحن مهيأون لإدراك "الأشياء الكبيرة" بدلاً من "الأشياء الصغيرة"، على الرغم من أن مجال الأشياء الصغيرة يبدو أنه المكان الذي تكمن فيه المحركات الفعلية التي تحرك الواقع. ^{[ 20 ]}

على الرغم من أن نظريات غودل تُدرس عادةً في سياق المنطق الكلاسيكي، إلا أنها تلعب دورًا أيضًا في دراسة المنطق شبه المتسق والعبارات المتناقضة جوهريًا ( الدياليثية ). يجادل بريست ( 1984 ، 2006 ) بأن استبدال مفهوم البرهان الرسمي في نظرية غودل بالمفهوم المعتاد للبرهان غير الرسمي يُمكن استخدامه لإثبات عدم اتساق الرياضيات البسيطة، ويستخدم ذلك كدليل على الدياليثية . ^{[ 21 ]} سبب هذا التناقض هو تضمين محمول الصدق لنظام ما ضمن لغة ذلك النظام. ^{[ 22 ]} يقدم شابيرو (2002) تقييمًا أكثر تباينًا لتطبيقات نظريات غودل على الدياليثية. ^{[ 23 ]} 

تُستعان أحيانًا بنظريات غير مكتملة، وتُجرى عليها مقارنات لدعم حجج تتجاوز الرياضيات والمنطق. وقد أبدى العديد من المؤلفين ملاحظات سلبية على هذه التوسعات والتفسيرات، بمن فيهم فرانزين (2005) ، وراتيكاينن (2005) ، وسوكال وبريكمونت (1999) ، وستانغروم وبنسون (2006) . ^{[ 24 ]} فعلى سبيل المثال، يستشهد سوكال وبريكمونت (1999) وستانغروم وبنسون ( 2006 ) بتعليقات ريبيكا غولدشتاين حول التباين بين أفلاطونية غودل المعلنة والاستخدامات غير الواقعية التي تُوظَّف فيها أفكاره أحيانًا. وينتقد سوكال وبريكمونت (1999) استحضار ريجيس ديبري للنظرية في سياق علم الاجتماع؛ وقد دافع ديبري عن هذا الاستخدام باعتباره مجازيًا (المرجع نفسه). ^{[ 25 ]}

كان مؤتمر كونيغسبرغ عام 1930 اجتماعًا مشتركًا لثلاث جمعيات أكاديمية، حضره العديد من أبرز علماء المنطق في ذلك الوقت. ألقى كل من كارناب وهيتينغ وفون نيومان كلماتٍ استغرقت ساعةً واحدةً حول الفلسفات الرياضية للمنطقية والحدسية والشكلية على التوالي. ^{[ 28 ]} كما تضمن المؤتمر كلمة هيلبرت بمناسبة تقاعده، إذ كان يغادر منصبه في جامعة غوتنغن. استغل هيلبرت كلمته ليؤكد اعتقاده بإمكانية حل جميع المسائل الرياضية. واختتم كلمته قائلًا:

لا وجود لمفهوم "الجاهل" في الرياضيات ، ولا في العلوم الطبيعية أيضاً، في رأيي. ... السبب الحقيقي وراء عدم تمكن أحد من إيجاد مشكلة مستعصية هو، في رأيي، أنه لا وجود لمشكلة مستعصية أصلاً. على عكس مفهوم "الجاهل" الأحمق ، فإن عقيدتنا تؤكد: يجب أن نعرف. سنعرف!

سرعان ما اشتهر هذا الخطاب بأنه ملخص لمعتقدات هيلبرت في الرياضيات (استُخدمت كلماته الست الأخيرة، " Wir müssen wissen. Wir werden wissen! "، كنقش على قبر هيلبرت عام 1943). على الرغم من أن غودل كان على الأرجح حاضرًا أثناء خطاب هيلبرت، إلا أنهما لم يلتقيا وجهًا لوجه قط. ^{[ 29 ]}

أعلن غودل عن نظريته الأولى في عدم الاكتمال خلال جلسة نقاش في اليوم الثالث من المؤتمر. لم يحظَ الإعلان باهتمام يُذكر باستثناء فون نيومان، الذي استدعى غودل جانبًا للحديث معه. وفي وقت لاحق من ذلك العام، وبمعزل عن الآخرين، وبناءً على معرفته بنظرية عدم الاكتمال الأولى، توصل فون نيومان إلى برهان نظرية عدم الاكتمال الثانية، والتي أبلغ بها غودل في رسالة مؤرخة في 20 نوفمبر 1930. ^{[ 30 ]} وكان غودل قد توصل بشكل مستقل إلى نظرية عدم الاكتمال الثانية وأدرجها في مخطوطته المقدمة، والتي استلمتها مجلة "Monatshefte für Mathematik" في 17 نوفمبر 1930.

نُشرت ورقة غودل في مجلة "موناتشفته " عام 1931 تحت عنوان "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I" (" حول القضايا غير القابلة للتقرير رسميًا في كتاب برينسيبيا ماثيماتيكا والأنظمة ذات الصلة، الجزء الأول "). وكما يوحي العنوان، كان غودل قد خطط في الأصل لنشر الجزء الثاني من الورقة في المجلد التالي من " موناتشفته "؛ وكان قبول الجزء الأول سريعًا أحد الأسباب التي دفعته لتغيير خططه. ^{[ 31 ]}

ألقى غودل سلسلة من المحاضرات حول نظرياته في جامعة برينستون خلال عامي 1933 و1934، بحضور شخصيات بارزة مثل تشيرش وكلين وروسر. في ذلك الوقت، أدرك غودل أن الخاصية الأساسية التي تتطلبها نظرياته هي فعالية النظام (كان يُستخدم آنذاك مصطلح "الاستدلال التكراري العام"). وفي عام 1936، أثبت روسر أن فرضية الاتساق-ω، التي كانت جزءًا لا يتجزأ من برهان غودل الأصلي، يُمكن استبدالها بالاتساق البسيط إذا ما تم تعديل جملة غودل بشكل مناسب. وقد أبقت هذه التطورات نظريات عدم الاكتمال في صورتها الحديثة.

نشر جنتزن برهانه على الاتساق للحساب من الدرجة الأولى في عام 1936. قبل هيلبرت هذا البرهان باعتباره "نهائيًا" على الرغم من (كما أظهرت نظرية غودل بالفعل) أنه لا يمكن صياغته رسميًا ضمن نظام الحساب الذي يتم إثبات اتساقه.

سرعان ما تبيّن أثر نظريات عدم الاكتمال على برنامج هيلبرت. وقد أدرج بيرنايز برهانًا كاملًا لنظريات عدم الاكتمال في المجلد الثاني من كتابه " مبادئ الرياضيات" ( 1939 )، إلى جانب نتائج إضافية لأكرمان حول طريقة الاستبدال إبسيلون وبرهان جنتزن على اتساق الحساب. وكان هذا أول برهان كامل منشور لنظرية عدم الاكتمال الثانية.

• كورت جودل، 1931، "Überformal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I"، Monatshefte für Mathematik und Physik ، v. 38 n. 1، الصفحات من  173 إلى 198. دوى : 10.1007/BF01700692
• —، 1931، "Überformal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I"، في Solomon Feferman ، ed.، 1986. الأعمال المجمعة لكورت جودل، المجلد. أنا . مطبعة جامعة أكسفورد، الصفحات من  144 إلى 195. ISBN 978-0195147209النص الألماني الأصلي مع ترجمة إنجليزية مقابلة، مسبوقة بملاحظة تمهيدية بقلم ستيفن كول كلين .
• —، 1951، "بعض النظريات الأساسية حول أسس الرياضيات وتطبيقاتها"، في سولومون فيفرمان (محرر) ، 1995. الأعمال الكاملة لكورت غودل، المجلد الثالث ، مطبعة جامعة أكسفورد، الصفحات  304-323 . ISBN 978-0195147223.

لا تتفق أي من الترجمات التالية في جميع الكلمات المترجمة ولا في الطباعة. تُعدّ الطباعة مسألة بالغة الأهمية، لأن غودل أراد صراحةً التأكيد على "تلك المفاهيم ما وراء الرياضية التي عُرّفت بمعناها المعتاد من قبل..." ( فان هيجينورت، 1967 ، ص 595) . توجد ثلاث ترجمات. يقول جون داوسون عن الأولى: "كانت ترجمة ميلتزر قاصرة للغاية، وتلقت مراجعة لاذعة في مجلة المنطق الرمزي ؛ كما اشتكى غودل من تعليق برايثويت ( داوسون، 1997 ، ص 216) . لحسن الحظ، سُرعان ما استُبدلت ترجمة ميلتزر بترجمة أفضل أعدّها إليوت مندلسون لمختارات مارتن ديفيس " غير القابل للتقرير " ... وجد أن الترجمة "ليست جيدة تمامًا" كما كان يتوقع... [ولكن بسبب ضيق الوقت] وافق على نشرها" (المرجع نفسه). (يذكر داوسون في حاشية أنه "سيندم على موافقته، لأن المجلد المنشور كان مليئًا بالأخطاء المطبعية والطباعة الرديئة" (المرجع نفسه)). ويذكر داوسون أيضًا أن "الترجمة التي فضلها غودل كانت ترجمة جان فان هيجينورت" (المرجع نفسه). وللباحث الجاد، توجد نسخة أخرى عبارة عن مجموعة من ملاحظات المحاضرات التي سجلها ستيفن كلين وجي بي روسر "خلال محاضرات ألقاها غودل في معهد الدراسات المتقدمة خلال ربيع عام 1934" (انظر تعليق ديفيس 1965 ، ص 39 ، وبدايةً من ص 41)؛ هذه النسخة بعنوان "حول القضايا غير القابلة للتقرير في الأنظمة الرياضية الرسمية". مرتبة حسب تاريخ النشر:    

• ب. ميلتزر (ترجمة) و ر. ب. بريثويت (مقدمة)، 1962. حول القضايا غير القابلة للتقرير رسميًا في كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا" والأنظمة ذات الصلة ، منشورات دوفر، نيويورك (طبعة دوفر 1992)، رقم ISBN 0-486-66980-7(غلاف ورقي) يحتوي هذا الكتاب على ترجمة مفيدة للاختصارات الألمانية لغودل في الصفحتين  33-34. وكما ذُكر سابقًا، فإن الطباعة والترجمة والتعليقات مشكوك فيها. وللأسف، أُعيد طبع هذه الترجمة بكل محتواها المشكوك فيه من قِبل

• ستيفن هوكينج (محرر)، 2005. خلق الله الأعداد الصحيحة: الإنجازات الرياضية التي غيرت التاريخ ، دار رانينغ برس، فيلادلفيا، رقم ISBN 0-7624-1922-9. تظهر ورقة غودل بدءًا من الصفحة 1097، مع تعليق هوكينغ بدءًا من الصفحة 1089.

• مارتن ديفيس (محرر)، 1965. غير القابل للتقرير: أوراق أساسية حول القضايا غير القابلة للتقرير، والمسائل غير القابلة للحل، والدوال القابلة للحساب ، دار رافين للنشر، نيويورك، بدون رقم ISBN. تبدأ ورقة غودل في الصفحة 5، مسبوقة بصفحة واحدة من التعليقات.
• جان فان هيجينورت (محرر)، 1967، الطبعة الثالثة 1967. من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي، 1879-1931 ، مطبعة جامعة هارفارد، كامبريدج، ماساتشوستس، رقم ISBN 0-674-32449-8(غلاف ورقي). قام فان هيجينورت بالترجمة. ويذكر أن "البروفيسور غودل وافق على الترجمة، التي رُوعيت فيها رغباته في كثير من المواضع" (ص  ٥٩٥). تبدأ ورقة غودل في الصفحة  ٥٩٥؛ ويبدأ تعليق فان هيجينورت في الصفحة  ٥٩٢.
• مارتن ديفيس (محرر)، ١٩٦٥، المرجع نفسه. "حول القضايا غير القابلة للتقرير في الأنظمة الرياضية الصورية". تبدأ نسخة تتضمن تصحيحات غودل للأخطاء المطبعية وملاحظاته الإضافية من الصفحة ٤١، مسبوقة بصفحتين من تعليق ديفيس. قبل أن يُدرج ديفيس هذا التعليق في مجلده، لم تكن هذه المحاضرة موجودة إلا كملاحظات مطبوعة.

• بولوس، جورج (1989). "برهان جديد لنظرية عدم اكتمال غودل". إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 36 : 388-390 ، 676. أعيد طبعه في بولوس (1998 ، ص  383-388).
• بولوس، جورج (1998). المنطق، المنطق، والمنطق . مطبعة جامعة هارفارد . ص  443. ISBN 0-674-53766-1.
• بيرند بولدت، 2014، " نطاق نظرية عدم الاكتمال الأولى لغودل " (مؤرشف في 6 مارس 2016 على موقع Wayback Machine ) ، مجلة Logica Universalis ، المجلد 8، الصفحات  499-552 . doi : 10.1007/s11787-014-0107-3
• تشارلزورث، آرثر (1981). "برهان نظرية غودل باستخدام برامج الحاسوب". مجلة الرياضيات . 54 (3): 109-121 . doi : 10.2307/2689794 . JSTOR 2689794 . 
• ديفيس، مارتن (1965). غير القابل للتقرير: أوراق أساسية حول القضايا غير القابلة للتقرير، والمسائل غير القابلة للحل، والدوال القابلة للحساب . دار رافين للنشر. ISBN 978-0-911216-01-1.
• ديفيس، مارتن (2006). "نظرية عدم الاكتمال" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 53 (4): 414.
• فينسلر، بول (1926). "Formale Beweise und die Entscheidbarkeit" . الرياضيات Zeitschrift . 25 : 676-682 . دوى : 10.1007 / bf01283861 . S2CID 121054124 . 
• غراتان-غينيس، إيفور ، محرر. (2005). كتابات بارزة في الرياضيات الغربية 1640-1940 . إلسيفير. ISBN 9780444508713.
• فان هيجينورت، جان (1967). “نظرية جودل”. في إدواردز، بول (محرر). موسوعة الفلسفة . المجلد.  3. ماكميلان. ص 348 – 357. 
• هيلمان، جيفري (1981). "كيفية تطبيق نظرية غودل على نظرية فريجه-راسل: نظريات عدم الاكتمال عند غودل والمنطق". نوس . 15 (4 - عدد خاص عن فلسفة الرياضيات): 451-468 . doi : 10.2307/2214847 . ISSN 0029-4624 . JSTOR 2214847 .  
• ديفيد هيلبرت ، 1900، " المسائل الرياضية ". ترجمة إنجليزية لمحاضرة ألقيت أمام المؤتمر الدولي للرياضيات في باريس، تتضمن بيان هيلبرت لمشكلته الثانية.
• مارتن هيرزل، 2000، " حول القضايا غير القابلة للتقرير رسميًا في كتاب مبادئ الرياضيات والأنظمة ذات الصلة، الجزء الأول ". ترجمة إنجليزية لورقة غودل. مؤرشفة من الأصل . 16 سبتمبر 2004.
• كيكوتشي، ماكوتو؛ تاناكا، كازويوكي (يوليو 1994). "حول صياغة البراهين النموذجية لنظريات غودل" . مجلة نوتردام للمنطق الصوري . 35 (3): 403-412 . doi : 10.1305/ndjfl/1040511346 . MR 1326122 . 
• كلين، إس سي (1943). "المسندات والمحددات التكرارية". معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 53 (1): 41-73 . doi : 10.1090/S0002-9947-1943-0007371-8 .أعيد طبعه في ديفيس 1965 ، الصفحات 255-287 
• راتيكاينن، بانو (2020). "نظريات عدم الاكتمال لغودل" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . تم الاطلاع عليه في 7 نوفمبر 2022 .
• راتيكاينن، بانو (2005). "حول الأهمية الفلسفية لنظريات عدم الاكتمال لغودل" . المجلة الدولية للفلسفة . 59 (4): 513-534 . doi : 10.3917/rip.234.0513 . S2CID 52083793 . 
• جون باركلي روسر ، 1936، "امتدادات لبعض نظريات غودل وتشرش"، أعيد طبعه من مجلة المنطق الرمزي ، المجلد 1 (1936) الصفحات  87-91، في مارتن ديفيس 1965، غير القابل للتقرير (المصدر السابق) الصفحات  230-235.
• —، 1939، "عرض غير رسمي لإثباتات نظرية غودل ونظرية تشرش"، أعيد طبعه من مجلة المنطق الرمزي ، المجلد 4 (1939)، الصفحات  53-60، في مارتن ديفيس 1965، غير القابل للتقرير (المصدر السابق)، الصفحات  223-230
• سمورينسكي، سي. (1977). "نظريات عدم الاكتمال". في جون باروايز (محرر). دليل المنطق الرياضي . أمستردام: دار نشر نورث هولاند. ص 821-866 . ISBN  978-0-444-86388-1.
• ويلارد، دان إي. (2001). "أنظمة البديهيات ذاتية التحقق، ونظرية عدم الاكتمال، ومبادئ الانعكاس ذات الصلة". مجلة المنطق الرمزي . 66 (2): 536-596 . doi : 10.2307/2695030 . JSTOR 2695030 . 
• زاك، ريتشارد (2003). "ممارسة التناهي: حساب إبسيلون وبراهين الاتساق في برنامج هيلبرت" (ملف PDF) . سينثيز . 137 (1). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا ​​ذ.م.م: 211-259 . arXiv : math/0102189 . doi : 10.1023/a:1026247421383 . ISSN 0039-7857 . S2CID 16657040 .  
• زاك، ريتشارد (2005). "كورت غودل، ورقة بحثية حول نظريات عدم الاكتمال (1931)". في: غراتان-غينيس، إيفور (محرر). كتابات بارزة في الرياضيات الغربية 1640-1940 . إلسيفير. ص 917-925 . doi : 10.1016/b978-044450871-3/50152-2 . ISBN  9780444508713.

• فرانشيسكو بيرتو. هناك شيء ما يتعلق بغودل: الدليل الكامل لنظرية عدم الاكتمال. جون وايلي وأولاده. 2010.
• نوربرت دوميسن، 1990. Logik der Antinomien . برن: بيتر لانج. 142 س. 1990. ISBN 3-261-04214-1. Zbl 0724.03003 . 
• فرانزين، توركيل (2005). نظرية غودل  : دليل غير مكتمل لاستخدامها وإساءة استخدامها . ويليسلي، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز. ISBN 1-56881-238-8MR 2146326​​ 
• دوغلاس هوفستاتر ، 1979. غودل، إيشر، باخ: ضفيرة ذهبية أبدية . دار فينتج للنشر. رقم ISBN 0-465-02685-0طبعة مُعاد طباعتها عام 1999: رقم ISBN 0-465-02656-7MR 0530196​ 
•  —، 2007. أنا حلقة غريبة . دار بيسيك بوكس. رقم ISBN 978-0-465-03078-1رقم الكتاب المعياري الدولي ( ISBN) 0-465-03078-5MR 2360307​ 
• ستانلي جاكي ، OSB، 2005. دراما الكميات . كتب ريل فيو.
• بير ليندستروم ، 1997. جوانب عدم الاكتمال ، ملاحظات المحاضرات في المنطق المجلد 10.
• جيه آر لوكاس ، زميل الأكاديمية البريطانية، 1970. حرية الإرادة . مطبعة كلارندون، أكسفورد، 1970.
• أدريان ويليام مور ، 2022. نظرية غودل: مقدمة موجزة جداً . مطبعة جامعة أكسفورد، أكسفورد، 2022.
• إرنست ناجل ، جيمس روي نيومان ، دوغلاس هوفستاتر، 2002 (1958). برهان غودل ، طبعة منقحة. ISBN 0-8147-5816-9MR 1871678​ 
• رودي روكر ، 1995 (1982). اللانهاية والعقل: علم وفلسفة اللانهاية . مطبعة جامعة برينستون. MR 0658492 
• سميث، بيتر (2007). مقدمة في نظريات غودل . كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-67453-9MR 2384958. مؤرشف من الأصل بتاريخ 23-10-2005 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-10-2005 . 
• شانكار، ن. (1994). ما وراء الرياضيات، والآلات، وبرهان غودل . سلسلة كامبريدج في علوم الحاسوب النظرية. المجلد  38. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-58533-3.
• ريموند سموليان ، 1987. غير محدد إلى الأبد ISBN 0192801414- ألغاز مبنية على عدم قابلية الحسم في الأنظمة الرسمية
• —، ١٩٩٢. نظريات عدم الاكتمال لغودل . مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 0195046722
• — ، 1994. التقطر والإحالة الذاتية . مطبعة جامعة أكسفورد. MR 1318913. ISBN  0198534507
• —، 2013. كتاب ألغاز غودل: ألغاز ومفارقات وبراهين . شركة كورير. رقم ISBN 978-0-486-49705-1.
• وانغ، هاو (1996). رحلة منطقية: من غودل إلى الفلسفة . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ISBN 0-262-23189-1.MR 1433803 

• بيرتو، فرانشيسكو (2009). "مفارقة غودل وأسباب فيتغنشتاين". فلسفة الرياضيات . الجزء الثالث (17).
• داوسون، جون دبليو. الابن (1996). المعضلات المنطقية: حياة وأعمال كورت غودل . تايلور وفرانسيس. ISBN 978-1-56881-025-6.
• داوسون، جون دبليو. الابن (1997). المعضلات المنطقية: حياة وأعمال كورت غودل . ويليسلي، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز . ISBN 978-1-56881-256-4. OCLC 36104240 . 
• ريبيكا غولدشتاين ، 2005، عدم الاكتمال: برهان ومفارقة كورت غودل ، دار دبليو دبليو نورتون وشركاه للنشر. رقم ISBN 0-393-05169-2
• فلويد، جولييت؛ بوتنام، هيلاري (2000). "ملاحظة حول فقرة فيتغنشتاين الشهيرة حول نظرية غودل". مجلة الفلسفة . 97 (11). JSTOR: 624–632 . doi : 10.2307/2678455 . ISSN 0022-362X . JSTOR 2678455 .  
• هاريسون، ج. (2009). دليل المنطق العملي والاستدلال الآلي . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521899574.
• ديفيد هيلبرت وبول بيرنيز ، Grundlagen der Mathematik ، Springer-Verlag.
• هوبكروفت، جون إي .؛ أولمان، جيفري (1979). مقدمة في نظرية الأوتوماتا واللغات والحوسبة . ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-02988-X.
• هوفستاتر، دوغلاس ر. (2007) [2003]. "الفصل 12. حول السببية التنازلية" . أنا حلقة غريبة . دار بيسيك بوكس. ISBN 978-0-465-03078-1أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 8 مايو 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 أكتوبر 2018 .
• جونز، جيمس ب. (1980). "المعادلات الديوفانتية غير القابلة للتقرير" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 3 (2): 859-862 . doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14832-6 .
• كلين، ستيفن كول (1967). "المنطق الرياضي". مجلة نيتشر . 216 (5111): 201. رمز Bibcode : 1967Natur.216..201G . doi : 10.1038/216201b0 .أُعيد طبعه بواسطة دار نشر دوفر، 2002. رقم الكتاب المعياري الدولي (ISBN) 0-486-42533-9
• أوكونور، راسل (2005). "التحقق من عدم اكتمال الحساب الأساسي بواسطة Coq". إثبات النظريات في منطق الرتبة العليا . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد  3603. الصفحات 245-260 . arXiv : cs/0505034 . doi : 10.1007/11541868_16 . ISBN  978-3-540-28372-0. S2CID 15610367 . 
• بولسون، لورانس (2014). "برهان بمساعدة الحاسوب لنظريات عدم الاكتمال لغودل في نظرية المجموعات المنتهية وراثيًا" . مراجعة المنطق الرمزي . 7 (3): 484-498 . arXiv : 2104.14260 . doi : 10.1017/S1755020314000112 . S2CID 13913592 . 
• بريست، غراهام (1984). "إعادة النظر في منطق المفارقة". مجلة المنطق الفلسفي . 13 (2): 153-179 . doi : 10.1007/BF00453020 .
• بريست، غراهام (2004). "ملاحظات فيتغنشتاين على نظرية غودل". في ماكس كولبل (محرر). الأهمية الدائمة لفيتغنشتاين . دار النشر النفسية. ص 207-227 . ISBN  978-1-134-40617-3.
• بريست، غراهام (2006). في التناقض: دراسة للتناقضات المتداخلة . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-926329-9.
• بوتنام، هيلاري (1960). "العقول والآلات". في سيدني هوك (محرر). أبعاد العقل: ندوة . مطبعة جامعة نيويورك.أعيد طبعه في أندرسون، أ.ر.، محرر، 1964. العقول والآلات . برنتيس هول: 77.
• فولفغانغ راوتنبرغ ، 2010، مقدمة موجزة في المنطق الرياضي ، الطبعة الثالثة، سبرينغر، رقم ISBN 978-1-4419-1220-6
• روديتش، فيكتور (2003). " سوء فهم غودل: حجج جديدة حول فيتغنشتاين وملاحظات جديدة من فيتغنشتاين". ديالكتيكا . 57 (3): 279-313 . doi : 10.1111/j.1746-8361.2003.tb00272.xdoi : 10.1111/j.1746-8361.2003.tb00272.x
• شيلاه، ساهارون (1974). "المجموعات الأبيلية اللانهائية، مسألة وايتهيد وبعض الإنشاءات" . مجلة إسرائيل للرياضيات . 18 (3): 243-256 . doi : 10.1007/BF02757281 . MR 0357114 . 
• شابيرو، ستيوارت (2002). "عدم الاكتمال والتناقض". العقل . 111 (444): 817-32 . doi : 10.1093/mind/111.444.817 .
• سوكال، آلان ؛ بريكمونت، جان (1999). هراء عصري : إساءة استخدام المثقفين ما بعد الحداثيين للعلم . بيكادور. ISBN 0-312-20407-8.
• شوينفيلد، جوزيف ر. (1967). المنطق الرياضي . ناتيك، ماساتشوستس: جمعية المنطق الرمزي (نُشر عام 2001). ISBN 978-1-56881-135-2.
• ستانغروم، جيريمي ؛ بنسون، أوفيليا (2006). لماذا تهم الحقيقة ؟ كونتينوم. ISBN 0-8264-9528-1.
• جورج تورلاكيس، محاضرات في المنطق ونظرية المجموعات، المجلد الأول، المنطق الرياضي ، مطبعة جامعة كامبريدج، 2003. ISBN 978-0-521-75373-9
• ويغدرسون، آفي (2010). "ظواهر غودل في الرياضيات: رؤية حديثة" (ملف PDF) . كورت غودل وأسس الرياضيات: آفاق الحقيقة . مطبعة جامعة كامبريدج.
• هاو وانغ ، 1996، رحلة منطقية: من غودل إلى الفلسفة ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، كامبريدج، ماساتشوستس، رقم ISBN 0-262-23189-1.
• زاك، ريتشارد (2007). "برنامج هيلبرت: الماضي والحاضر". في جاكيت، ديل (محرر). فلسفة المنطق . دليل فلسفة العلوم. المجلد  5. أمستردام: إلسيفير. الصفحات 411-447 . arXiv : math/0508572 . doi : 10.1016/b978-044451541-4/50014-2 . ISBN  978-0-444-51541-4. OCLC 162131413 . S2CID 291599 .